1、2.3 变量间的相关关系变量间的相关关系2.3.1 变量之间的相关关系变量之间的相关关系2.3.2 两个变量的线性相关两个变量的线性相关1.掌握两个变量间的相关关系及正相关掌握两个变量间的相关关系及正相关 负相关负相关 不具相关关不具相关关系的判定系的判定.2.通过收集实际生活中两个变量的有关数据作出散点图通过收集实际生活中两个变量的有关数据作出散点图.3.利用散点图直观地认识变量间的相关关系利用散点图直观地认识变量间的相关关系.4.正确理解回归直线方程正确理解回归直线方程 最小二乘法的概念最小二乘法的概念.5.能够根据散点图得到回归直线能够根据散点图得到回归直线.6.掌握利用最小二乘法求回归
2、直线方程的方法掌握利用最小二乘法求回归直线方程的方法.1.相关关系与函数关系不同相关关系与函数关系不同,相关关系是一种相关关系是一种_性关性关系系.2.从散点图上看从散点图上看,点散布在从左下角到右上角的区域内点散布在从左下角到右上角的区域内,两个两个变量的这种相关关系称为变量的这种相关关系称为_,点散布在从左上角到右点散布在从左上角到右下角的区域内下角的区域内,两个变量的这种相关关系称为两个变量的这种相关关系称为_.3.从散点图上看从散点图上看,如果这些点从整体上看大致分布在通过散点如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近图中心的一条直线附近,称两个变量之间具有称两个变量之
3、间具有_,这条直线叫这条直线叫_.不确定不确定正相关正相关负相关负相关线性相关关系线性相关关系回归直线回归直线4.假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据据(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn).且所求回归方程是且所求回归方程是其中其中b是回归方程的是回归方程的_, 是是_,则有则有,ybxa a_,_,_.ba斜率斜率截距截距121()()()niiiniixxyyxx1221niiiniix ynxyxnxybx通过求通过求Q=_的的最小最小值而得出回归直线的方法值而得出回归直线的方法,即使得样本数据的点到回即使得样本数
4、据的点到回归直线归直线的距离的平方和最小的距离的平方和最小,这一方法叫做最小二乘法这一方法叫做最小二乘法. (y1-bx1-a)2+(y2-bx2-a)2+(yn-bxn-a)21.变量之间的相关关系变量之间的相关关系(1)相关关系相关关系自变量取值一定时自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫相关关系量之间的关系叫相关关系.(2)相关关系与函数关系的异同点相关关系与函数关系的异同点相同点相同点:两者均是指两个变量的关系两者均是指两个变量的关系;不同点不同点:函数关系是一种确定的关系函数关系是一种确定的关系.如匀速直线运动中时如匀速直
5、线运动中时间间t与路程与路程s的关系的关系;相关关系是一种非确定的关系相关关系是一种非确定的关系.如一块农如一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系田的水稻产量与施肥量之间的关系.事实上事实上,函数关系是两个函数关系是两个非随机变量的关系非随机变量的关系,而相关关系是非随机变量与随机变量的而相关关系是非随机变量与随机变量的关系关系.函数关系是一种因果关系函数关系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果关系而相关关系不一定是因果关系,也可能是伴随关系也可能是伴随关系.例如例如,有人发现有人发现,对于在校儿童对于在校儿童,鞋的大小与鞋的大小与阅读能力有很强的相关关系阅读能力有很强的相关关系,然而学会新词
6、并不能使脚变大然而学会新词并不能使脚变大,而是涉及到第三个因素而是涉及到第三个因素年龄年龄,当儿童长大一些当儿童长大一些,他的阅读他的阅读能力会提高能力会提高,而且由于长大而且由于长大,脚也变大脚也变大.(3)相关关系的分析方向相关关系的分析方向由于相关关系的不确定性由于相关关系的不确定性,在寻找变量间相关关系的过程中在寻找变量间相关关系的过程中,统计发挥非常重要的作用统计发挥非常重要的作用.我们可以通过收集大量的数据我们可以通过收集大量的数据,在在对数据进行统计分析的基础上对数据进行统计分析的基础上,发现其中的规律发现其中的规律,对它们的关对它们的关系作出判断系作出判断.2.两个变量的线性相
7、关两个变量的线性相关(1)回归分析回归分析对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析.通俗地讲通俗地讲,回归分析是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性回归分析是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性.(2)散点图散点图将将n个数据点个数据点(xi,yi),(i=1,2,n)描在平面直角坐标系中描在平面直角坐标系中,以表示以表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图.散点图形象地反映了各对数据的密切程度散点图形象地反映了各对数据的密切程度.(3)正相关正相关 负相关负相关如果
8、从散点图看到点散布的位置是左下角到右上角的区域如果从散点图看到点散布的位置是左下角到右上角的区域.这种相关称为正相关这种相关称为正相关.反之反之,如果两个变量的散点图中如果两个变量的散点图中,点散布点散布的位置是从左上角到右下角的区域的位置是从左上角到右下角的区域.即一个变量的值由小变即一个变量的值由小变大时大时,另一个变量的值由大变小另一个变量的值由大变小,这种相关称为负相关这种相关称为负相关.如果关于两个变量统计数据的散点图呈现如图的形状如果关于两个变量统计数据的散点图呈现如图的形状,则这则这两个变量之间不具有相关关系两个变量之间不具有相关关系.例如例如,学生的身高与学生的数学生的身高与学
9、生的数学成绩没有相关关系学成绩没有相关关系.利用散点图可以判断变量之间有无相关关系利用散点图可以判断变量之间有无相关关系.3.回归直线方程回归直线方程(1)回归直线回归直线观察散点图的特征观察散点图的特征,发现各点大致分布在一条直线的附近发现各点大致分布在一条直线的附近,就就称这两个变量之间具有线性相关的关系称这两个变量之间具有线性相关的关系,这条直线叫做回归这条直线叫做回归直线直线.(2)回归直线方程回归直线方程设设x与与y具有相关关系的两个变量具有相关关系的两个变量,且相应于且相应于n组观测值的组观测值的n个个点大致分布在一条直线的附近点大致分布在一条直线的附近,则由则由1122211()
10、()()nniiiiiinniiiixxyyx ynxybxxxnxaybx 其中其中,b是回归方程的斜率是回归方程的斜率,a是截距是截距.所得到的方程所得到的方程 叫作回归直线方程叫作回归直线方程,相应的直线叫相应的直线叫作回归直线作回归直线,而对两个变量所进行的统计分析叫作线性回归而对两个变量所进行的统计分析叫作线性回归分析分析. ybxa(3)最小二乘法最小二乘法设与设与n个观测点个观测点(xi,yi)(i=1,2,n)最接近的直线方程为最接近的直线方程为 (注意它与表示一次函数的习惯注意它与表示一次函数的习惯y=ax+b不同不同 表示表示y的估的估算值算值).其中其中a,b是待定系数是
11、待定系数.用用Q=(y1-bx1-a)2+(y2-bx2-a)2+(yn-bxn-a)2来刻画来刻画n个点与个点与回归直线在整体上的偏差回归直线在整体上的偏差.上式展开后上式展开后,是一个关于是一个关于a,b的二次多项式的二次多项式,运用配方法运用配方法,可求出可求出使使Q取得最小值时取得最小值时a,b的值的值(即上述公式即上述公式中的中的a,b值值). ybxa; y上述求回归直线的方法上述求回归直线的方法,是使得样本数据的点到它的距离的是使得样本数据的点到它的距离的平方和最小平方和最小.由于平方又叫二乘方由于平方又叫二乘方,所以这种使所以这种使“偏差平方和为偏差平方和为最小最小”的方法的方
12、法,叫做最小二乘法叫做最小二乘法.题型一题型一 相关关系的判断相关关系的判断例例1:下表是某地的年降雨量与年平均气温下表是某地的年降雨量与年平均气温,两者是相关关系吗两者是相关关系吗?求回归直线方程有意义吗求回归直线方程有意义吗?年平均年平均气温气温()()12.5112.51 12.8412.84 12.8412.84 13.6913.69 13.3313.33 12.7412.74 13.0513.05年降雨年降雨量量(mm)(mm)748748542542507507813813574574701701432432分析分析:利用散点图进行判别利用散点图进行判别.解解:以以x轴为年平均气温
13、轴为年平均气温,y轴为年降雨量轴为年降雨量,可得相应的散点图如可得相应的散点图如下图所示下图所示:因为图中各点并不在一条直线的附近因为图中各点并不在一条直线的附近,所以两者不具有相关所以两者不具有相关关系关系,没必要用回归直线进行拟合没必要用回归直线进行拟合,如果用公式求得回归直线如果用公式求得回归直线也是没有意义的也是没有意义的.规律技巧规律技巧:用回归直线进行拟合两变量关系的一般步骤为用回归直线进行拟合两变量关系的一般步骤为:(1)作出散点图作出散点图,判断散点是否在一条直线附近判断散点是否在一条直线附近;(2)如果散点在一条直线附近如果散点在一条直线附近,用公式求出用公式求出a,b并写出
14、线性回归并写出线性回归方程方程.变式训练变式训练1:5个学生的数学和物理成绩如下表个学生的数学和物理成绩如下表: 学生学生学科学科A AB BC CD DE E数学数学80807575707065656060物理物理70706666686864646262画出散点图画出散点图,并判断它们是否有相关关系并判断它们是否有相关关系. 分析分析:解答本题可以以数学成绩为自变量解答本题可以以数学成绩为自变量,考察因变量物理成考察因变量物理成绩的变化趋势绩的变化趋势,从而作出判断从而作出判断.解解:以以x轴表示数学成绩轴表示数学成绩,y轴表示物理成绩轴表示物理成绩,可得相应的散点图可得相应的散点图如图所示
15、如图所示:由散点图可见由散点图可见,图中的图中的点大致在一条直线点大致在一条直线附近附近,故两者之间具故两者之间具有相关关系有相关关系.题型二题型二 求回归直线方程求回归直线方程例例2:每立方米混凝土的水泥用量每立方米混凝土的水泥用量(单位单位:kg)与与28天后混凝土的天后混凝土的抗压强度抗压强度(单位单位:kg/cm2)之间的关系有如下数据之间的关系有如下数据:x x 150150160160 170170 180180 190190 200200 210210 220220 230230 24240 025250 0260260y y 56.56.9 958.58.3 361.61.6
16、664.64.6 668.68.1 171.71.3 374.74.1 177.77.4 480.80.2 282.82.6 686.86.4 489.89.7 7(1)画出散点图画出散点图;(2)如果散点图中的各点大致分布在一条直线的附近如果散点图中的各点大致分布在一条直线的附近,求求y与与x之间的回归直线方程之间的回归直线方程.分析分析:(1)将表中的各对数据在平面直角坐标系中描点将表中的各对数据在平面直角坐标系中描点,便得到便得到具有相关关系的两个变量的一组数据的图形具有相关关系的两个变量的一组数据的图形,即得散点图即得散点图;(2)按照求回归直线方程的步骤和公式按照求回归直线方程的步骤
17、和公式,写出回归直线方程写出回归直线方程.解解:(1)如下图如下图.(2)由散点图知由散点图知,x与与y之间具有线性相关关系之间具有线性相关关系,下面求回归直线下面求回归直线方程方程.制表制表:i i1 12 23 34 45 56 6x xi i150150160160170170180180190190200200y yi i56.956.958.358.361.661.664.664.668.168.171.371.3x xi iy yi i853585359328932810472104721162811628129391293914260i14260ii i7 78 89 91010
18、11111212x xi i210210220220230230240240250250260260y yi i74.174.177.477.480.280.282.682.686.486.489.789.7x xi iy yi i15561155611702817028184461844619824198242160021600233222332212211212211205,72.6,518600,64572.94,182943iiiiiiixyxyx y2182943 12 205 72.64340.3047518600 12 20514300.72.60.304 20510.28,0.
19、30410.28.baybxyx于是所求的线性回归方程是规律技巧规律技巧:用公式求回归直线方程的一用公式求回归直线方程的一般步骤般步骤:(1)列表列表xi,yi,xiyi.(2)计算计算 (3)代入公式求代入公式求 的值的值.(4)写出回归直线方程写出回归直线方程.211, ,.nniiiiix yxx y?b a变式训练变式训练2:求变式训练求变式训练1中的回归直线方程中的回归直线方程.解解:列表列表:i i1 12 23 34 45 5x xi i80807575707065656060y yi i70706666686864646262x xi iy yi i56005600495049
20、5047604760416041603720372064006400562556254900490042254225360036002ix5170,66,23190iiixyx y515221590.36,25540.8.0.3640.8.iiiiix yxybxxaybxyx 所求回归直线方程为题型三题型三 利用回归直线方程对总体进行估计利用回归直线方程对总体进行估计例例3:在在7块并排块并排 形状大小相同的实验田上进行施化肥量对水形状大小相同的实验田上进行施化肥量对水稻产量影响的试验稻产量影响的试验,得数据列表得数据列表(单位单位:kg):施化肥施化肥量量x x15152020252530
21、30353540404545水稻产水稻产量量y y330330345345365365405405445445450450455455(1)画出散点图画出散点图;(2)求水稻产量求水稻产量y与施化肥量与施化肥量x之间的回归直线方程之间的回归直线方程;(3)当施化肥当施化肥50 kg时时,对水稻的产量予以估计对水稻的产量予以估计.分析分析:解答本题应先画散点图解答本题应先画散点图,判断其是否线性相关判断其是否线性相关,再利用最再利用最小二乘法求其回归方程小二乘法求其回归方程.(1)画出散点图如图画出散点图如图:由图可见是线性相关的由图可见是线性相关的.(2)借助计算器列表借助计算器列表:i i1
22、 12 23 34 45 56 67 7x xi i1515202025253030353540404545y yi i330330345345365365405405445445450450455455x xi iy yi i49504950690069009125912512150121501557515575180001800020475204752871757 30 399.34.75,70007 30257:ba399.34.75430257.75 .yx 计算得即得回归直线方程(3)施化肥施化肥50 kg时时,可以估计水稻产量约为可以估计水稻产量约为495kg.规律技巧规律技巧:(
23、1)回归分析是寻找相关关系中非确定性关系的某回归分析是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性种确定性;(2)求回归直线方程求回归直线方程,关键在于正确地求出系数关键在于正确地求出系数a,b,由于由于a,b的计算量大的计算量大,计算时要仔细计算时要仔细,避免计算失误避免计算失误.变式训练变式训练3:改革开放以来改革开放以来,我国高等教育事业有了迅速发展我国高等教育事业有了迅速发展,这里我们得到了某省从这里我们得到了某省从1990年到年到2000年年18岁到岁到20岁的青年岁的青年人每年考入大学的百分比人每年考入大学的百分比.我们把农村我们把农村,县镇和城市分开统计县镇和城市分开统计.为了便于计算
24、为了便于计算,把把1990年编号为年编号为0,1991年编号为年编号为1,2000年年编号为编号为10.如果把每年考入大学的百分比作为因变量如果把每年考入大学的百分比作为因变量,把年份把年份从从0到到10作为自变量作为自变量,进行回归分析进行回归分析,可得到下面三条回归直线可得到下面三条回归直线:城市城市: 县镇县镇: 农村农村:9.502.84 ;yx6.762.32 ;yx1.800.42 .yx(1)在同一坐标系中作出这三条回归直线在同一坐标系中作出这三条回归直线;(2)对于农村青年来讲对于农村青年来讲,系数等于系数等于0.42意味着什么意味着什么?(3)在这一阶段哪一组的大学入学率年增
25、长最快在这一阶段哪一组的大学入学率年增长最快?解解:(1)图象如下图象如下:(2)对于农村青年来讲对于农村青年来讲,0.42意味着考入大学的百分比平均以意味着考入大学的百分比平均以每年每年0.42的速度递增的速度递增,由此可以看出农村经济条件及教育现状由此可以看出农村经济条件及教育现状与城镇的差别与城镇的差别.(3)城市组的大学入学率年增长最快城市组的大学入学率年增长最快.基础强化基础强化1.下列两个变量具有相关关系且不是函数关系的是下列两个变量具有相关关系且不是函数关系的是( )A.正方形的边长与面积正方形的边长与面积B.匀速行驶的车辆的行驶距离与时间匀速行驶的车辆的行驶距离与时间C.人的身
26、高与体重人的身高与体重D.人的身高与视力人的身高与视力解析解析:A B都是函数关系都是函数关系,C是相关关系是相关关系,D中人的视力与身高中人的视力与身高没有关系没有关系.答案答案:C2.下列关系是函数关系的是下列关系是函数关系的是( )A.产生样本与生产数量产生样本与生产数量B.球的表面积与体积球的表面积与体积C.家庭的支出与收入家庭的支出与收入D.人的年龄与学习成绩人的年龄与学习成绩解析解析:球的表面积与体积存在函数关系球的表面积与体积存在函数关系,应选应选B.答案答案:B3.如下图所示如下图所示,有有5组组(x,y)数据数据,去掉去掉( )组数据后组数据后,剩下的剩下的4组组数据的线性相
27、关系数最大数据的线性相关系数最大.( )解析解析:由相关关系及图象可知由相关关系及图象可知,去掉去掉D(3,10)组数据后组数据后,余下的四余下的四组数据相关关系最大组数据相关关系最大.答案答案:D4.设有一个回归方程设有一个回归方程 ,则则变量变量x增加一个单位时增加一个单位时( )A.y平均增加平均增加1.5个单位个单位B.y平均增加平均增加2个单位个单位C.y平均减少平均减少1.5个单位个单位D.y平均减少平均减少2个单位个单位解析解析:由回归方程由回归方程 知知,x与与y负相关负相关,即即x增加一个增加一个单位单位,y平均减少平均减少1.5个单位个单位.答案答案:C2 1.5yx2 1
28、.5yx5.线性回归方程线性回归方程 必定过必定过( )A.(0,0)点点 B.( , 0)点点C.(0, )点点 D.( )点点解析解析:回归直线方程一定经过样本点的回归直线方程一定经过样本点的中心中心答案答案:D yabxxy,x y( , ).x y6.实验测得四组实验测得四组(x,y)的值为的值为(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),则则y与与x之之间的回归直线方程为间的回归直线方程为( )解析解析:把四组实验值代入验证知把四组实验值代入验证知, 适合适合.答案答案:A.1.2.21.1A yxB yxC yxD yx1yx7.正常情况下正常情况下,年龄在年龄在18岁到岁到3
29、8岁的人岁的人,体重体重y(kg)对身高对身高x(cm)的回归方程为的回归方程为 ,张刚同学张刚同学(20岁岁)身高身高178 cm,他的体重应该在他的体重应该在_kg左右左右.解析解析:回归方程对身高回归方程对身高178 cm的人的的人的体重进行预测体重进行预测,当当x=178时时, 0.7258.2yx0.72 17858.269.96().ykg69.968.下列关于回归直线方程下列关于回归直线方程 bx+a叙述正确的是叙述正确的是_.反映反映 与与x之间的函数关系之间的函数关系;反映反映y与与x之间的函数关系之间的函数关系;表示表示 与与x之间的不确定关系之间的不确定关系;表示最接近表
30、示最接近y与与x之间直线关系的一之间直线关系的一条直线条直线.解析解析: =bx+a表示表示 与与x之间的函之间的函数关系数关系,而不是而不是y与与x之间之间的函数关系的函数关系.但它反映的关系最接近但它反映的关系最接近y与与x之间的真实关系之间的真实关系,故故选选.yyyyy能力提升能力提升9.下列说法下列说法:线性回归方程适用于一切样本和总体线性回归方程适用于一切样本和总体;线性回归方程一般都有局限性线性回归方程一般都有局限性;样本取值的范围会影响线性回归方程的适用范围样本取值的范围会影响线性回归方程的适用范围;线性回归方程得到的预测值是预测变量的精确值线性回归方程得到的预测值是预测变量的
31、精确值.其中正确的是其中正确的是_.解析解析:样本和总体具有线性相关关系时样本和总体具有线性相关关系时,才能求线性回归方程才能求线性回归方程,而由线性回归方程得到的函数值是近似值而由线性回归方程得到的函数值是近似值,非精确值非精确值.因此线因此线性回归方程有一定的局限性性回归方程有一定的局限性.10.(2007广东广东)下表提供了某厂节能降耗技术下表提供了某厂节能降耗技术,改造后生产甲改造后生产甲产品过程中记录的产量产品过程中记录的产量x(吨吨)与相应的生产能耗与相应的生产能耗y(吨标准煤吨标准煤)的几组对照数据的几组对照数据.(1)请画出上表数据的散点图请画出上表数据的散点图;(2)请据上表
32、提供的数据请据上表提供的数据,用最小二乘法求出用最小二乘法求出y关于关于x的线性回的线性回归方程归方程x x3 34 45 56 6y y2.52.53 34 44.54.5;ybxa(3)已知该厂技改前已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤吨标准煤,试根据试根据(2)求出的线性回归方程求出的线性回归方程,预测生产预测生产100吨甲产品的生产吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤能耗比技改前降低多少吨标准煤?(参考参考值值:32.5+43+54+64.5=66.5)解解:(1)由题设所给数据由题设所给数据,可得散点图如下图所示可得散点图如下图所示: 421
33、41414222134562.5344.586,4.5,443.5.66.5.466.54 4.5 3.50.72:3.5,864 4.540.70.350.7 4 55.0.3 ,iiiiiiiiiixxyx yx yxybxxaybxyx 由对照数据计算得由最小二乘法确定的回归方程的系数由此所求的线性回归方程(3)由由(2)的回归方程及技改前生产的回归方程及技改前生产100吨甲产品的生产能耗得吨甲产品的生产能耗得降低的生产能耗约为降低的生产能耗约为:90-(0.7100+0.35)=19.65(吨标准煤吨标准煤).品味高考品味高考11.(2009海南海南 宁夏宁夏)对变量对变量x,y有观测
34、数据有观测数据(xi,yi)(i=1,2,10),得散点图得散点图1;对变量对变量u,v有观测数据有观测数据(ui,vi)(i=1,2,10),得散点图得散点图2.由这两个散点图可以判断由这两个散点图可以判断( )A.变量变量x与与y正相关正相关,u与与v正相关正相关B.变量变量x与与y正相关正相关,u与与v负相关负相关C.变量变量x与与y负相关负相关,u与与v正相关正相关D.变量变量x与与y负相关负相关,u与与v负相关负相关答案答案:C12.(2010广东卷广东卷)某市居民某市居民20052009年家庭年平均收入年家庭年平均收入x(单位单位:万元万元)与年平均支出与年平均支出Y(单位单位:万
35、元万元)的统计资料如下表所的统计资料如下表所示示: 根据统计资料根据统计资料,居民家庭年平均收入的中位数是居民家庭年平均收入的中位数是_,家家庭年平均收入与年平均支出庭年平均收入与年平均支出_线性相关关系线性相关关系.年份年份2005200520062006200720072008200820092009收入收入x x11.511.512.112.1131313.313.31515支出支出Y Y6.86.88.88.89.89.81010121213是是解析解析:由表易知由表易知,居民家庭年平均收入的中位数是居民家庭年平均收入的中位数是13,把表中数把表中数作出散点图作出散点图,如下图如下图.由散点图知由散点图知,家庭年平均收入与年平均支出是线性相关关系家庭年平均收入与年平均支出是线性相关关系.
