1、重难点04 概率与统计新高考概率与统计主要考查统计分析、变量的相关关系，独立性检验、用样本估计总体及其特征的思想，以排列组合为工具，考查对五个概率事件的判断识别及其概率的计算。试题考查特点是以实际应用问题为载体，小题部分主要是考查排列组合与古典概型，解答题部分主要考查独立性检验、超几何分布、离散型分布以及正态分布对应的数学期望以及方差。概率的应用立意高，情境新，赋予时代气息，贴近学生的实际生活。取代了传统意义上的应用题，成为高考中的亮点。解答题中概率与统计的交汇是近几年考查的热点趋势，应该引起关注。求解概率问题首先确定是何值概型再用相应公式进行计算，特别对于解互斥事件（独立事件）的概率时，要注
2、意两点：（1）仔细审题，明确题中的几个事件是否为互斥事件（独立事件），要结合题意分析清楚这些事件互斥（独立）的原因；（2）要注意所求的事件是包含这些互斥事件（独立事件）中的哪几个事件的和（积），如果不符合以上两点，就不能用互斥事件的和的概率.离散型随机变量的均值和方差是概率知识的进一步延伸，是当前高考的热点内容.解决均值和方差问题，都离不开随机变量的分布列，另外在求解分布列时还要注意分布列性质的应用.捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列。相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两
3、端。定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法。标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成。有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法。对于二项式定理的应用，只要会求对应的常数项以及对应的n项即可，但是应注意是二项式系数还是系数。新高考统计主要考查统计分析、变量的相关关系，独立性检验、用样本估计总体及其特征的思想，以排列组合为工具，考查对五个概率事件的判断识别及其概率的计算。试题考查特点是以实际应用问题为载体，小题部分主要是考查排列组合与古典概型，解答题部
4、分主要考查独立性检验、超几何分布、离散型分布以及正态分布对应的数学期望以及方差。概率的应用立意高，情境新，赋予时代气息，贴近学生的实际生活。取代了传统意义上的应用题，成为新高考中的亮点。解答题中概率与统计的交汇是近几年考查的热点趋势，应该引起关注。A卷（建议用时90分钟）一、单选题1（2021福建莆田二模）“平均增长量”是指一段时间内某一数据指标增长量的平均值，其计算方法是将每一期增长量相加后，除以期数，即下图是我国年数据根据图中数据，年我国的平均增长量为（ ）A4.60万亿元B5.39万亿元C6.74万亿元D8.99万亿元【答案】C【分析】利用图中的数据结合所给公式直接求解即可【详解】解：令
5、则由题意可得，年我国的平均增长量为，故选：C2（2021福建三模）周髀算经是中国最古老的天文学数学著作，公元3世纪初中国数学家赵爽创制了“勾股圆方图”(如图)，用以证明其中记载的勾股定理.现提供4种不同颜色给如图中5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则不同涂色的方法种数为（ ）A36B48C72D96【答案】C【分析】根据题意，分2步依次分析区域和区域的涂色方法数目，由分步计数原理计算可得答案.【详解】解：根据题意，分2步进行分析：对于区域，三个区域两两相邻，有种涂色的方法，对于区域，若区域与颜色相同，区域有2种选法，若区域与颜色不同，则区域有1种选法，区域也只有1种选法
6、，则区域有种涂色的方法，则有种涂色的方法，故选：C.3（2021辽宁大连一模）我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没，“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化败毒方、宜肺败毒方.若某医生从“三药三方”中随机选出两种，事件表示选出的两种中有一药，事件表示选出的两种中有一方，则（ ）ABCD【答案】D【分析】利用古典概型分别求出，根据条件概率公式可求得结果.【详解】若某医生从“三药三方”中随机选出两种，事件表示选出的两种中有一药，事件表示选出的两种中有一方，则，.故选：D.4（2021重庆九龙坡高三期中）有5把外形一样的钥匙，其
7、中3把能开锁，2把不能开锁，现准备通过一一试开将其区分出来，每次随机抽出一把进行试开，试开后不放回，则恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出来的概率是（ ）ABCD【答案】B【分析】恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出来的情况为3种：前三把都能开锁，第一把不能开锁，第二把能开锁，第三把不能开锁，第一把能开锁，第二把不能开锁，第三把不能开锁，由此能求出恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出来的概率【详解】有5把外形一样的钥匙，其中3把能开锁，2把不能开锁现准备通过一一试开将其区分出来，每次随机抽出一把进行试开，试开后不放回，恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出
8、来的情况为3种：前三把都能开锁，第一把不能开锁，第二把能开锁，第三把不能开锁，第一把能开锁，第二把不能开锁，第三把不能开锁，恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出来的概率为：故选：B5（2021山东青岛高三期末）某种芯片的良品率服从正态分布，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若芯片的良品率不超过，不予奖励；若芯片的良品率超过但不超过，每张芯片奖励元；若芯片的良品率超过，每张芯片奖励元.则每张芯片获得奖励的数学期望为（ ）元附：随机变量服从正态分布，则，.ABCD【答案】B【分析】根据，得出，计算对应的概率值，再求每张芯片获得奖励的数学期望.【详解】因为，得出，所以，；，所以（元）故选：
9、B6（2021山东聊城一中模拟预测）在天文学上恒星的亮度一般用星等来表示，直接测量到的天体亮度被称为视星等，而把天体置于10秒差距的距离处所得到的视星等称为绝对星等，它能反映天体的发光本领如果我们观测到了恒星的光谱，可以知道一些类型恒星的绝对星等，就可以利用光谱视差法来获得这些恒星的距离下表是某校天文爱好者社团在网上收集到一些恒星的相关数据，那么最适合作为星等差关于距离（光年）的回归方程类型的是（ ）星名天狼星南河三织女星大角星五车二水委一老人星参宿四距离8.611.462536.7142.8139.44309.15497.950.260.593.154.885.92ABCD【答案】B【分析】
10、由表格数据在直角坐标系中标注点坐标，勾画出大概图象，对比的图象，即可知其回归方程类型.【详解】根据表格数据，在直角坐标系中从左至右依次标注表格数据代表的点，拟合曲线如下图示，图象左侧无限靠近y轴，不与y轴相交，故其拟合曲线比较接近的图象，故选：B.7（2021山东菏泽二模）下列说法错误的是（ ）A用相关指数来刻画回归效果，越小说明拟合效果越好B已知随机变量，若，则C某人每次投篮的命中率为，现投篮5次，设投中次数为随机变量则D对于独立性检验，随机变量的观测值值越小，判定“两分类变量有关系”犯错误的概率越大【答案】A【分析】对于判断个命题真假，只要对各选项逐个判断即可.对于A相关指数越大说明拟合效
11、果越好，题中说法相反；对于B根据正态分布图像知概率与概率相同，即可判断的概率为；对于C可以根据二项分布得出从而求解；对于D根据独立性检验知识判断即可.【详解】对于A选项，相关指数越大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好，故A错；对于B选项，正态分布图像关于对称，因为概率为，所以概率为，故的概率为，故B正确；对于C选项，服从二项分布，因此，则，故C正确；对于D选项，对于分类变量进行独立性检验时，随机变量的观测值越小，则分类变量间越有关系的可信度越小，故判定两分类变量约有关系发错误的概率越大，故D正确故选:A8（2021河北大名县第一中学高三阶段练习）若，则（ ）A2B0CD【答案】C【分析】
12、根据题意写出并求出，进而结合二项式定理求得答案.【详解】由题意得，.，.故选：C.二、多选题9（2021吉林松原高三阶段练习），随机变量的分布列如下，则下列结论正确的有（ ）A的值最大BC随着概率的增大而减小D随着概率的增大而增大【答案】BD【分析】本题可通过取得出A错误，然后通过得出B正确，最后通过得出C错误，D正确.【详解】当时，A错误；因为，所以，即，B正确，因为，所以随着的增大而增大，C错误，D正确，故选：BD.10（2021重庆市涪陵实验中学校高三期中）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示从甲罐取出的
13、球是红球、白球、黑球，再从乙罐中随机取出一球，以B表示从乙罐取出的球是红球则下列结论中正确的是（ ）ABC事件B与事件相互独立D，两两互斥【答案】AD【分析】首先由互斥事件的定义，可知D正确，再结合条件概率公式，即可计算，并判断选项.【详解】由题意知，两两互斥，故D正确；，故A正确；，所以B与不是相互独立事件，故B，C不正确故选：AD11（2021湖北武汉高三期中）已知二项式，则下列说法正确的是（ ）A若，则展开式的常数为60 B展开式中有理项的个数为3C若展开式中各项系数之和为64，则 D展开式中二项式系数最大为第4项【答案】AD【分析】写出二项式展开式的通项公式，对4个选项进行分析【详解】
14、A选项：当时，其中为整数，且，令，解得：，此时，故常数项为60；A正确；B选项：，其中为整数，且，当时，当时，当时，当时，满足有理项要求，故有4项，故B错误；C选项：令中的得：，所以或，故C错误；D选项：展开式共有7项，最中间一项二项式系数最大，而最中间为第4项，所以展开式中二项式系数最大为第4项，D正确 故选：AD12（2021全国模拟预测）如果知道事件已发生，则该事件所给出的信息量称为“自信息”设随机变量的所有可能取值为，且，定义的“自信息”为一次掷两个不同的骰子，若事件为“仅出现一个2”，事件为“至少出现一个5”，事件为“出现的两个数之和是偶数”，则（ ）A当时，“自信息” B当时，C事
15、件的“自信息” D事件的“自信息”大于事件的“自信息”【答案】ACD【分析】根据题中条件，由对数运算可得A正确；根据对数函数的单调性，可得B错；根据古典概型的概率计算公式，求出，得到，即可判断C正确；根据古典概型的概率计算公式，分别求出事件与事件发生的概率，得出与，即可判断D正确.【详解】A选项，当时，即A正确；B选项，因为对数函数是增函数，所以是减函数；因此，当时，即，故B错；C选项，一次掷两个骰子，所包含的基本事件的个数为个；“出现的两个数之和是偶数”所包含的情况有：，共个基本事件；则，所以，故C正确；D选项，事件“仅出现一个2”，所包含的基本事件有：，共个基本事件；事件“至少出现一个5”
16、，所包含的基本事件有：，共个基本事件；所以，则；因此，即D正确；故选：ACD.三、填空题13（2021北京市第五中学通州校区高三期中）从2008年京津城际铁路通车运营开始，高铁在过去几年里快速发展，并在国民经济和日常生活中扮演着日益重要的角色.下图是2009年至2016年高铁运营总里程数的折线图图（图中的数据均是每年12月31日的统计结果).根据上述信息下列结论中，所有正确结论的序号是_2015年这一年,高铁运营里程数超过0.5万公里;2013年到2016年高铁运营里程平均增长率大于2010到2013高铁运营里程平均增长率;从2010年至2016年，新增高铁运营里程数最多的一年是2014年;从
17、2010年至2016年，新增高铁运营里程数逐年递增;【答案】【分析】根据数据折线图，分别进行判断即可.【详解】看2014，2015年对应的纵坐标之差小于，故错误；连线观察2013年到2016年两点连线斜率更大，故正确；2013年到2014年两点纵坐标之差最大，故正确；看相邻纵坐标之差是否逐年增加，显然不是，有增有减，故错误；故答案为：.14（2021浙江台州一中高三期中）某校毕业典礼由7个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则编排方案共有_种.（用数字作答）【答案】624【分析】讨论甲的位置，把丙丁捆绑在一起，作为一个元素排列排列即
18、可求解【详解】当甲在首位，丙丁捆绑，自由排列，共有；当甲在第二位，丙丁捆绑，首位不能是丙丁，共有；当甲在第三位，丙丁捆绑，分前两位是丙丁与不是丙丁两种情况，共有；因为共有故答案为：62415（2022浙江模拟预测）2021年7月1日是中国共产党成立100周年，小明所在的学校准备举办一场以音乐为载体的“学史知史爱党爱国”歌曲接龙竞赛.该竟赛一共考察的歌曲范围有10首，由于7月学考临近，作为参赛选手的小明没有时间学习全部歌曲，只能完整学会这其中的8首.已知小明完整学会的歌曲成功接上的概率为0.9，没有完整学会的歌曲成功接上的概率为0.4.比赛一共考察10段歌词，每段歌词选自的歌曲均是考察范围内的歌
19、曲，且考察不同歌曲的概率均相同，每首歌曲均可以重复考察.已知每答对一段歌词得10分，答错不扣分.设小明得分是x分，则P（x20）=_（用类似的形式表示），E（x）=_.【答案】 80 【分析】由题意算出每段歌词答对的概率为，然后设小明回答10段歌词答对的个数为，则，然后由二项分布的知识可得答案.【详解】由题意可得，每段歌词答对的概率为设小明回答10段歌词答对的个数为，则所以因为，所以故答案为：；8016（2021辽宁沈阳二中模拟预测）下列说法正确的是_ 函数与函数关于直线对称若两两独立，则方程（其中为复数集）的解集为，角的外角分线交的延长线于点，则通过最小二乘法以模型去拟合一组数据时，可知过点
20、通过最小二乘法以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则的值分别是和0.3.已知点，且为原点，则向量在向量上的投影的数量为【答案】【分析】用函数、概率、复数、解三角形、线性回归方程、向量等知识分别对7个命题判断真假即可.【详解】对于：函数与关于直线对称. 故错误；对于：成立的前提条件是“、相互独立”，而由、两两独立不能得出、相互独立. 故错误；对于：方程的解有三个：，.故错误；对于：在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，依题意知，所以，即. 故正确；对于：设，则，由最小二乘法原理知过点，而. 故错误；对于：设，则，依题意可知，即.故正确；对于：，则在上的投影为.
21、故正确.故答案为：.【点睛】（1）若函数满足对，都有，则函数的图象关于对称；（2）函数与，二者图象关于（轴）对称.四、解答题17（2021山东省实验中学一模）2020年春天随着疫情的有效控制，高三学生开始返校复课学习.为了减少学生就餐时的聚集排队时间，学校食堂从复课之日起，每天中午都会提供、两种套餐（每人每次只能选择其中一种），经过统计分析发现：学生第一天选择类套餐的概率为、选择类套餐的概率为而前一天选择了类套餐第二天选择类套餐的概率为、选择套餐的概率为；前一天选择类套餐第二天选择类套餐的概率为、选择类套餐的概率也是，如此往复记某同学第天选择类套餐的概率为（1）证明数列是等比数列，并求数列的通
22、项公式；（2）记高三某宿舍的3名同学在复课第二天选择类套餐的人数为，求的分布列并求；（3）为了贯彻五育并举的教育方针，培养学生的劳动意识，一个月后学校组织学生利用课余时间参加志愿者服务活动，其中有20位学生负责为全体同学分发套餐如果你是组长，如何安排分发、套餐的同学的人数呢，说明理由【答案】（1）证明见解析，；（2）分布列见解析，1；（3）套餐的8人， 套餐的12人；理由见解析【分析】（1）依题意得，根据递推关系即可证明是等比数列，利用等比数列通项公式求得的通项，即可求得的通项公式；（2）依题意求得第二天选择、类套餐的概率，列出的可能取值，结合二项分布求得分布列与数学期望；（3）由的通项公式得
23、，根据总人数即可求得分发、套餐的同学的人数【详解】（1）依题意，则.当时，可得，数列是首项为公比为的等比数列.（2）第二天选择类套餐的概率；第二天选择类套餐的概率，3人在第二天的有个人选择套餐，的所有可能取值为0、1、2、3，有，的分布列为0123故.（3）由（1）知：，即第30次以后购买套餐的概率约为.则，负责套餐的8人，负责套餐的12人.【点睛】求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或
24、二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）18（2021江苏南通模拟预测）2020年受疫情影响，我国企业曾一度停工停产，中央和地方政府纷纷出台各项政策支持企业复工复产，以减轻企业负担.为了深入研究疫情对我国企业生产经营的影响，帮扶困难职工，在甲乙两行业里随机抽取了200名工人进行月薪情况的问卷调查，经统计发现他们的月薪在2000元到8000元之间，具体统计数据见下表.月薪/元2000，3000)3000，4000)4000，5000)5000，6000)6000，7000)7000，8000)人数203644504010将月薪不低于6000元的工人视为“I类收入群体”，低
25、于6000元的工人视为“II类收入群体”，并将频率视为概率. （1）根据所给数据完成下面的列联表：I类收入群体II类收入群体总计甲行业60乙行业20总计根据上述列联表，判断是否有99%的把握认为“II类收入群体”与行业有关.附件：，其中.3.8416.63510.8280.0500.0100.001（2）经统计发现该地区工人的月薪X(单位：元)近似地服从正态分布，其中近似为样本的平均数(每组数据取区间的中点值).若X落在区间外的左侧，则可认为该工人“生活困难”，政府将联系本人，咨询月薪过低的原因，并提供帮助.已知工人王强参与了本次调查，其月薪为2500元，试判断王强是否属于“生活困难”的工人；
26、某超市对调查的工人举行了购物券赠送活动，赠送方式为：月薪低于的获得两次赠送，月薪不低于的获得一次赠送.每次赠送金额及对应的概率如下：赠送金额/元100200300概率求王强获得的赠送总金额的数学期望.【答案】（1）列联表答案见解析，没有99%的把握认为“II类收入群体”与行业有关；（2）王强不属于“生活困难”的工人；.【分析】（1）根据已知数据，补充列联表，进而计算即可判断；（2）根据题意，计算对应的平均数，再结合正态分布求解即可；结合得Y的可能取值为200，300，400，500，600，再根据独立事件的概率求解概率分布列，计算期望即可.【详解】解析（1）列联表如下：I类收入群体II类收入群
27、体总计甲行业306090乙行业2090110总计50150200于是，从而没有99%的把握认为“II类收入群体”与行业有关.（2）所调查的200名工人的月薪频率分布表如下：月薪/元2000，3000)3000，4000)4000，5000)5000，6000)6000，7000)7000，8000)人数203644504010频率0.10.180.220.250.20.05所以.因为这200名工人的月薪X服从正态分布，所以，从而.因为王强的月薪为2500元，所以王强不属于“生活困难”的工人.由知，王强的月薪为2500元，低于4920元，所以王强可获赠两次购物券，从而他获得的赠送总金额Y的可能取
28、值为200，300，400，500，600，则，故Y的分布列如下：Y200300400500600P所以王强获得的赠送总金额的数学期望.【点睛】本题考查独立性检验，独立事件的概率分布列，正态分布的应用，考查数据处理能力，运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于认真审题，从试题中提炼数据，进而结合相关知识求解.19（2021山东烟台模拟预测）如图是一个质地均匀的转盘，一向上的指针固定在圆盘中心，盘面分为A，B，C三个区域每次转动转盘时，指针最终都会随机停留在A，B，C中的某一个区域现有一款游戏：每局交10元钱随机转动上述转盘3次；每次转动转盘时，指针停留在区域A，B，C分别获得积分10，5，0
29、；三次转动后的总积分不超过5分时获奖金2元，超过25分时获奖金50元，其余情况获奖金5元.假设每次转动转盘相互独立，且指针停留在区域A，B的概率分别是p和.（1）设某人在一局游戏中获得总积分为5的概率为，求的最大值点；（2）以（1）中确定的作为值，某人进行了5局游戏，设“在一局游戏中获得的总积分不低于5”的局数为，求的数学期望；（3）有人注意到：很多玩家进行了大量局数的该游戏，不但没赚到钱，反而输得越来越多.请用概率统计的相关知识给予解释.【答案】（1）；（2）；（3）答案见解析.【分析】（1）先求得，然后利用导数求得.（2）利用二项分布的知识求得.（3）设每一局游戏中获得的奖金数为X，求得，
30、利用导数求得，从而作出解释.【详解】（1）由题可知，所以，令，得或(舍去)，当时，单调递增，当时，单调递减，所以当时，取得最大值，故的最大值点.（2）由（1）知，所以每一局游戏中总积分不低于5的概率，由题意可知，所以.（3）设每一局游戏中获得的奖金数为X，则X的所有可能取值为2，5，50；，所以，令，则，.因为在单调递增，所以，在单调递增，.所以，每局游戏获得奖金的期望远低于所交的钱数，玩得越多，输得越多.20（2021湖北黄冈中学三模）科教兴国，科技强国.探索浩潮宇宙是全人类的共同梦想，我国广大科技工作者航天工作者为推动世界航天事业发展付出了艰辛的努力，为人类和平利用太空推动构建人类命运共同
31、体贡献了中国智慧中国方案中国力量.（1）为助力我国航空事业，某公司试生产一种航空零件，在生产过程中，当每小时次品数超过90件时，产品的次品率会大幅度增加.为检测公司的试生产能力，同时尽可能控制不合格品总量，抽取几组一小时生产的产品数据进行次品情况检查分析，已知在(单位：百件)件产品中，得到次品数量(单位：件)的情况汇总如表所示，且(单位：件)与(单位：百件)线性相关：(百件)520354050(件)214243540请根据表格中的数据，求出关于的线性回归方程：根据公司规定，在一小时内不允许次品数超过90件，请判断可否安排一小时试生产10000件产品的任务？（2）战神”太空空间站工作人员需走出太
32、空站完成某项试验任务，一共只有甲乙丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别为，假设互不相等，且假定各人能否完成任务相互独立.如果按甲最先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能完成的概率.若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？假定，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的数学期望达到最小.(参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式，)(参考数据：，)【答案】（1），可以安排一小时试生产10000件产品的任务；（2）甲最先，乙次之，丙最后的顺序派人，任务被完成的概率为：；任务能被完成的概率不会发生变化；先派甲，再派乙，最后派丙时，派出的人员数目的数学期
33、望达到最小.【分析】（1）根据所给数据求得线性回归直线方程，用代入求得估计值可得；（2）根据相互独立事件同时发生的概率公式计算概率可得；（3）按派出顺序求出概率分布列，计算出期望，比较可得丙先派出期望较大，因此比较甲乙哪个先派出的期望后可得结论【详解】（1）由已知可得：又因为，由回归直线的系数公式知：，所以当(百件)时，符合有关要求，所以可以安排一小时试生产10000件产品的任务.（2）若甲最先，乙次之，丙最后的顺序派人，任务被完成的概率为：若甲在先，丙次之，乙最后的顺序派人，任务被完成的概率为：，发现任务被完成的概率是一样的，同理可以验证，不论如何改变3人的先后顺序，任务能被完成的概率不会发
34、生变化；由题意得的可能取值为1，2，3，按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，所需派出的人员数目的分布列为：123所以因为，且，其它情况同理可得，期望分别为，所以要使所需派出的人员数目的均值得到最小，只能先派甲乙中的一人，若先派甲，再派乙，最后派丙，则若先派乙，再派甲，最后派丙，则；所以，所以先派甲，再派乙，最后派丙时，派出的人员数目的数学期望达到最小.【点睛】本题考查求线性回归直线方程及回归方程的应用，独立事件同时发生的概率公式，随机变量的概率分布列和数学期望解决线性回归直线方程问题的步骤：（1）求；（2）求系数；（3）得回归方程；（4）取值代入方程得估计值21（2021福建福州一模）从202
35、1年1月1日起某商业银行推出四种存款产品，包括协定存款、七天通知存款、结构性存款及大额存单协定存款年利率为1.68%，有效期一年，服务期间客户帐户余额须不少于50万元，多出的资金可随时支取；七天通知存款年利率为1.8%，存期须超过7天，支取需要提前七天建立通知；结构性存款存期一年，年利率为3.6%；大额存单，年利率为3.84%，起点金额1000万元（注：月利率为年利率的十二分之一），已知某公司现有2020年底结余资金1050万元（1）若该公司有5个股东，他们将通过投票的方式确定投资一种存款产品，每个股东只能选择一种产品且不能弃权，求恰有3个股东选择同一种产品的概率；（2）公司决定将550万元作
36、协定存款，于2021年1月1日存入该银行账户，规定从2月份起，每月首日支取50万元作为公司的日常开销将余下500万元中的x万元作七天通知存款，准备投资高新项目，剩余万元作结构性存款求2021年全年该公司从协定存款中所得的利息；假设该公司于2021年7月1日将七天通知存款全部取出，本金x万元用于投资高新项目，据专业机构评估，该笔投资到2021年底将有60%的概率获得万元的收益，有20%的概率亏损0.27x万元，有20%的概率保本问：x为何值时，该公司2021年存款利息和投资高新项目所得的总收益的期望最大，并求最大值【答案】（1）；（2）（万元）；当时，该公司2021年存款利息和投资高新项目所得的
37、总收益的期望取得最大值662.69万元【分析】(1)根据题意可知，当恰好有3个股东同时选择同一款理财产品时，另外2个股东可以选择同一款理财产品，也可以选择不同的理财产品，分类讨论即可；(2)根据协定存款年利率，即可求解；根据题意，表示出存款利息和投资高新项目所得的总收益的期望，结合导数即可求解.【详解】(1)设恰好有3个股东同时选择同一款理财产品的事件为A，由题意知，5个股东共有45种选择，而恰好有3个股东同时选择同一款理财产品的可能情况为种，所以(2)2021年全年该公司从协定存款中所得的利息为：（万元）由条件，高新项目投资可得收益频率分布表：投资收益t0P0.60.20.2所以，高新项目投
38、资所得收益的期望为：，所以，存款利息和投资高新项目所得的总收益的期望为：则，令，得或由，得；由，得由条件可知，当时，取得最大值为：（万元）所以当时，该公司2021年存款利息和投资高新项目所得的总收益的期望取得最大值662.69万元22（2021广东东莞市东方明珠学校模拟预测）某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是不是阳性，现有份血液样本，有以下两种检验方式：方式一：逐份检验，则需要检验次方式二：混合检验，将其中（且）份血液样本分别取样混合在一起检验若检验结果为阴性，这份血液样本全为阴性，因而这份血液样本只要检验一次就够了；若检验结果为阳性，为了明确这份血液样本究竟哪几份为阳性，就要对这份血液样本
39、再逐份检验，此时这份血液样本的检验次数总共为假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为现取其中份血液样本，记采用逐份检验方式，需要检验的总次数为，采用混合检验方式，需要检验的总次数为（1）若，试求关于的函数关系式；（2）若与干扰素计量相关，其中是不同的正整数，且，都有成立求证：数列是等比数列；当时，采用混合检验方式可以使样本需要检验的总次数的期望值比采用逐份检验方式的检验总次数的期望值更少，求的最大值参考数据：，【答案】（1）；（2）证明见详解；.【分析】（1）先由题意，得到；的可能取值为，；由离散型随机变量的期望求出，再由，化简整理，
40、即可得出结果；（2）当时，由题中条件，得到，推出，令；利用数学归纳法证明对任意的正整数，即可；由的结果，得到，根据题中条件，得到，推出；设，对其求导，根据导数的方法判定其单调性，再结合具体的函数值，即可得出结果.【详解】（1）由已知，得；的可能取值为，由题意，所以；又，即，则，所以，即关于的函数关系式为；（2）证明：当时，所以，令，则；因为，所以下面证明对任意的正整数，；（i）当时，显然成立；（ii）假设时，成立；当时，由，所以，则，即，所以，因此，解得或（负值舍去），所以；由（i）（ii）可知，即数列是等比数列；由知，因为采用混合检验方式可以使样本需要检验的总次数的期望值比采用逐份检验方式的
41、检验总次数的期望值更少，即，所以，则，所以，即；设，则，当时，则单调递减；当时，则单调递增；所以；又，所以使的最大整数的取值为，即时，的最大值为；综上，的最大值为.【点睛】求解本题第二问的关键在于先由题中条件，得到，猜想数列的通项公式；再由数学归纳法的一般步骤进行证明即可.B卷（建议用时90分钟）一、单选题1（2021海南二中高三阶段练习）如图所示的曲线图是2020年1月25日至2020年2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例的曲线图，则下列判断不正确的是（ ）A1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例中西安市占比超过了B1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势C
42、2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了97例D2月8日到2月10日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率大于2月6日到2月8日的增长率【答案】D【分析】根据曲线图可得ABC正确，2月8日到2月10日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了，2月6日到2月8日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了，D说法不正确.【详解】1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例共有87例，其中西安32例，所以西安所占比例为，故A正确；由曲线图可知，1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势，故B正确；2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了例，故C正确；2月8日到2月10日西安新冠肺
43、炎累计确诊病例增加了，2月6日到2月8日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了，显然，故D错误.故选：D.2（2021山东邹城市第一中学模拟预测）2020年初，新型冠状病毒(COVID-19)引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某地开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如下表所示：周数(x)12345治愈人数(y)2173693142由表格可得y关于x的二次回归方程为，则此回归模型第2周的残差(实际值与预报值之差)为（ ）A5B4C1D0【答案】C【分析】设，求出，的值，由最小二乘法得出回归方程，代入，即可得出答案.【详解】设，则，所以.令，得.故选
44、：C3（2021江苏常州高三期末）年月日，国家药品监督管理局附条件批准国药集团中国生物北京生物制品研究所有限责任公司的新型冠状病毒灭活疫苗(细胞)注册申请.该疫苗是首家获批的国产新冠病毒灭活疫苗，适用于预防由新型冠状病毒感染引起的疾病().年月日，北京市人民政府新闻办公室召开疫情防控第场例行新闻发布会，表示不在岁接种年龄段范围的人员，需要等待进一步临床试验数据.近日专家对该年龄内和该年龄段外的人进行了临床试验，得到如下列联表：能接种不能接种总计岁内岁外总计附：，其中；参照附表，得到的正确结论是（ ）A在犯错误的概率不超过的前提下，认为“能接种与年龄段无关”B在犯错误的概率不超过的前提下，认为“能接种与年龄段有关”C有以上的把握认为“能接种与年龄段无关”D有以上的把握认为“能接种与年龄段有关”【答案】D【分析】先由列联表，求出的值，然后对照参考表得出答案.【详解】由列联表可得 由所以在犯错误的概率不超过的前提下，认为“能接种与年龄段有关”即有以上的把握认为“能接种与年龄段有关 故选：D4（2021江苏省镇江第一中学高三开学考试）算盘
