1、第一章第一章 实数集与函数实数集与函数1 1 实数实数2 2 数集数集 确界原理确界原理3 3 函数的概念函数的概念4 4 复合函数与反函数复合函数与反函数1.1 1.1 实数实数一一 . .实数及其性质实数及其性质二二. . 绝对值与不等式绝对值与不等式 若若规规定定： 01 201 2.(1)999nna aaaa aaa 则有限十进小数都能表示成无限循环小数则有限十进小数都能表示成无限循环小数.( ,qp qp正分数,有理数为整数且q0)或有限小数和无限小数.负分数,无理数:用无限不循环小数表示. 实实数数00,1 .999xaxa记为一一 . 实数及其性质：实数及其性质：1.回顾中学中
2、关于有理数和无理数的定义回顾中学中关于有理数和无理数的定义.说明: 对于负实数x,y,若有-x = -y与-x -y, 则分别称x = y与x x)2.两个实数的大小关系 说明: .自然规定任何非负实数大于任何负实数.)2 , 1(, 2 , 1,. 90 , 90), 2 , 1(,.,.110000210210 xyyxx，yyxbalkbalbay；x，yxkbaba，kba，babbbbyaaaaxllkkkkkkkknn+或分别记为小于或大于则称而使得或存在非负整数若记为相等与则称若有为整数为非负整数其中 给定两个非负实数 1)定义1 naaaax210.nnaaaax210.nnn
3、xx101+定义定义2 设 为实数x的n位不足近似位不足近似，而有理数 称为x的n位过剩近似，位过剩近似，n=0, 1, 2, .为非负实数.称有理数2) 通过有限小数比较大小的等价条件通过有限小数比较大小的等价条件012.,nxa a aa nnnaaaax101.210nnaaaax210.210 xxx210 xxx 对于负实数对于负实数其n位不足近似位不足近似和n位过剩近似位过剩近似分别规定为和 注意：注意：对任何实数x, 有, 命题1 设实数的性质 1.实数集实数集R对加对加,减减,乘乘,除除(除数不为除数不为0)四则运算是四则运算是封闭的封闭的.即任意两个实数和即任意两个实数和,差
4、差,积积,商商(除数不为除数不为0)仍然是实数仍然是实数. 2.实数集是有序的实数集是有序的.即任意两个实数即任意两个实数a, b必满足下必满足下述三个关系之一述三个关系之一: a b .012012.,.xa a ayb b b为两个实数，则为两个实数，则,nnxynxy存在非负整数使得 3.实数集的大小关系具有传递性实数集的大小关系具有传递性.即若即若a b, b c,则有则有ac.5.实数集实数集R具有稠密性具有稠密性.即任何两个不相等的实数之间必即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数有另一个实数,且既有有理数且既有有理数,也有无理数也有无理数.6.实数集实数集R与数轴上的点具有一一对
5、应关系与数轴上的点具有一一对应关系.即任一实数即任一实数都对应数轴上唯一的一点都对应数轴上唯一的一点,反之反之,数轴上的每一点也都唯数轴上的每一点也都唯一的代表一个实数一的代表一个实数. , 0 , , . 4 b na n a b R b a , 使得使得 则存在正整数则存在正整数 若 即对任何即对任何 实数具有阿基米德性实数具有阿基米德性 例1 证明 例2 证明 .:,yrxr，yx满足存在有理数证明为实数设.,)(21.,yrxyyrxx，ryxryxn，yxnnnnnn+即得且有为有理数则令使得故存在非负整数由于.,:,babaRba+则有若对任何正数证明设ee.,.babababab
6、a,+从而必有矛盾这与假设为正数且则令有则根据实数的有序性假若结论不成立用反证法eeee,0|,0aaaaaa0-a二二. 绝对值绝对值与不等式与不等式从数从数轴轴上看上看的的绝对值绝对值就是到原点的距离：就是到原点的距离： 绝对值定义：绝对值定义：绝对值的一些主要性质绝对值的一些主要性质|00|0aaaa 1.当且仅当时aaa2 .-| | |- ; | |,0a hh a hahh a h h3. |4.ababab+5. | | |abab|6.,0| |aabbb性性质质4（三角不等式）的（三角不等式）的证证明明：由性质2 -|a| a |a|, -|b| b |b|两式相加 -(|a
7、|+|b|) a+b |a|+|b|由性质 3 上式等价于 |a+b| |a|+|b|把上式的 b 换成 -b 得 |a-b| |a|+|b|由此可推出 ( )f xAAfxeee + Afxee+111)1 (1)1 ( , 01nnxnxx).1( )1( xnxnnn+.1)1 ( nxxn+ 利用二项展开式得到的不等式:0,h 对由二项展开式,! 3) 2)(1(! 2) 1(1)1 (32nnhhnnnhnnnhh+ (1)nh+有：上是右端的任何一项.,a b Ra bee思考题：设 、是任意正数， 恒有关系式 a-b成立，请问、 之间关系如何？The Class is over.
8、 Goodbye!2 数集数集确界原理确界原理。R本节先定义中两类重要的数集区间与邻域，然后讨论有界集并给出确界定义与确界原理。2 2 数数集集. . 确确界界原原理理 一一 区区间间与与邻邻域域: : 区区间间 ： ),(ba记作bxax, ba记作称称为为开开区区间间, , bxaxabababab2 2 数数集集. . 确确界界原原理理 一一 区区间间与与邻邻域域: : 区区间间 ： ),(ba记作bxax, ba记作abab2 2 数数集集. . 确确界界原原理理 一一 区区间间与与邻邻域域: : 区区间间 ： ),(ba记作bxax,ba记作称称为为闭闭区区间间, , abababa
9、b2 2 数数集集. . 确确界界原原理理 一一 区区间间与与邻邻域域: : 区区间间 ： ),(ba记作bxax,ba记作称称为为闭闭区区间间, , abab bxax称称为为半半开开区区间间, , ),ba记作ab ao bxax,( ba记作称称为为半半开开区区间间, , ),xaxa+ 无限区无限区间间xaooxb),xaxa+),(bxxb，存在 , |xSxM，则称 S 为无界集。 例如，) , 0 ( , ) 0 , ( , ) , (+，有理数集等都是无界数集, 例 1 证明集合 ) 1 , 0 ( ,1 xxyyE是无界数集. 证明：对任意0M , 存在 11(0,1),11
10、xyEyMMMx+ + 由无界集定义，E为无界集。 确确界界，先给出确界的直观定义：若数集 S 有上界，则显然它有无穷多个上界，其中最小的一个上界我们称它为数集 S 的上确界，记作 Ssup；同样，有下界数集的最大下界，称为该数集的下确界，记作 Sinf。 MM2M1上确界上界 m2mm1下确界下界确确界界的的精精确确定定义义定义 2 设 S 是 R 中的一个数集，若数 满足一下两条： （1） 对一切 Sx 有 x，即 是数集 S 的上界； （2） 对任意0e，存在 Sx 0 使得e0 x（即是 S 的最小上界）， 则称数为数集 S 的上确界。记作 Ssup 定义 3 设 S 是 R 中的一个
11、数集，若数 满足一下两条： 1）对一切 Sx 有 x，即 是数集 S 的下界； 2）对任意 e 0 x 0 x e+ S 确确界界的的精精确确定定义义定义 2 设 S 是 R 中的一个数集，若数 满足一下两条： （1） 对一切 Sx 有 x，即 是数集 S 的上界； （2） 对任意0e，存在 Sx 0 使得e0 x（即是 S 的最小上界）， 则称数为数集 S 的上确界。记作 Ssup 定义 3 设 S 是 R 中的一个数集，若数 满足一下两条： 1）对一切 Sx 有 x，即 是数集 S 的下界； 2）对任意 e 0 x 0 x e+ S 是数集 S 的下界； 2）对任意0e，存在 Sx 0使得
12、e+e，存在 Sx 0使得e+0 x（即是 S 的最大下界）， 则称数为数集 S 的下确界。记作 Sinf 0 x 例 1 （1） ,) 1(1+nSn 则._inf _,supSS （2） .), 0( ,sin xxyyE 则 ._inf _,supEE 定定理理 1.1 (确界原理). 设 S 为非空数集，若 S 有上界，则 S 必有上确界；若 S 有下界，则 S 必有下确界。 证明(建教材 p7) 例2 非空有界数集的上（或下）? 界是唯一的. 例3 设 例 1 （1） ,) 1(1+nSn 则._inf _,supSS （2） .), 0( ,sin xxyyE 则 ._inf _,
13、supEE 定定理理 1.1 (确界原理). 设 S 为非空数集，若 S 有上界，则 S 必有上确界；若 S 有下界，则 S 必有下确界。 证明(建教材 p7) 例2 非空有界数集的上（或下）? 界是唯一的. 例3 设确 定定理理 1.1 (确界原理). 设 S 为非空数集，若 S 有上界，则 S 必有上确界；若 S 有下界，则 S 必有下确界。 证明(建教材 p7) 例2 非空有界数集的上（或下）? 界是唯一的. 例3 设S 和 A是非空数集，且有.AS 则有 .infinf ,supsupASAS. 例 4 设A和B 是非空数集. 若对Ax和,By都有, yx 则有 .infsupBA 证
14、 Ax和,By都有, yx y是 A的上界, 而Asup 是 A的最小上界 .sup yA 此式又Asup 是B 的下界,Asup Binf（B 的最大下界） 定定理理 1.1 (确界原理). 设 S 为非空数集，若 S 有上界，则 S 必有上确界；若 S 有下界，则 S 必有下确界。 证明(建教材 p7) 例2 非空有界数集的上（或下）? 界是唯一的. 例3 设S 和 A是非空数集，且有.AS 则有 .infinf ,supsupASAS. 例 4 设A和B 是非空数集. 若对Ax和,By都有, yx 则有 .infsupBA 证 Ax和,By都有, yx y是 A的上界, 而Asup 是
15、A的最小上界 .sup yA 此式又Asup 是B 的下界,Asup Binf（B 的最大下界） 例 5 A 和 B 为非空数集, .BAS 试证明: . inf , inf mininfBAS 证 ,Sx 有Ax 或,Bx 由Ainf和Binf分别是 A 和 B 的下界,有 Axinf或. inf , inf min .infBAxBx 即 inf , inf minBA是数集 S 的下界, . inf , inf mininf BAS 又 又SAS , 的下界就是 A的下界, Sinf是S 的下界, Sinf 是 A的下界, ;infinf AS 同理有.infinfBS 于是有 inf
16、, inf mininfBAS . 综上, 有 inf , inf mininfBAS . 1. 数集与确界的关系: 确界不一定属于原集合. 2. 确界与最值的关系: 设 又SAS , 的下界就是 A的下界, Sinf是S 的下界, Sinf 是 A的下界, ;infinf AS 同理有.infinfBS 于是有 inf , inf mininfBAS . 综上, 有 inf , inf mininfBAS . 1. 数集与确界的关系: 确界不一定属于原集合. 2. 确界与最值的关系: 设 小 结 ：1、若 数 集 E存 在 上 （ 下） 确 界 ， 则 上 （ 下 ）确 界 是 一 个 唯
17、一 确定的 实 数。. 1. 数集与确界的关系: 确界不一定属于原集合. 2. 确界与最值的关系: 设 E 为数集. E 的最值必属于 E , 但确界未必, 确界是一种临界点. 非空有界数集必有确界(见下面的确界原理), 但未必有最值. 若Emax存在, 必有 .supmaxEE ，对下确界有类似的结论. 2、3、上1.3 函数概念函数概念1映射映射2函数的概念函数的概念3几个特殊的函数举例几个特殊的函数举例4函数的性质函数的性质一、映射定义定义1 1：设设X 与与 Y 是两个非空集合，若对是两个非空集合，若对 X中的每一个元素中的每一个元素 x，均可找到，均可找到 Y 中唯一确定的中唯一确定
18、的元素元素 y 与之对应，则称这个对应是集合与之对应，则称这个对应是集合X 到集合到集合 Y 的一个映射，记为的一个映射，记为 f ，或者更详细地写，或者更详细地写YXf：将将 x 的对应元的对应元 y 记作记作)(: )(xfyxxf1.映射的概念并称并称 y 为映射为映射 f 下下 x 的的像像，而，而 x 称为映射称为映射 f 下下 y 的的原像原像(或称为或称为逆像逆像). 集合集合 X 称为映射称为映射 f 的的定义域定义域，记作记作XDf ，而，而 X 的所有元素的像的所有元素的像f (x) 的集合的集合, )(,|XxxfyYyy 称为映射称为映射 f 的的值域值域，记为，记为)
19、(XfRf或或 概括起来，构成一个映射必须具备下列三概括起来，构成一个映射必须具备下列三个个基本要素基本要素：；，即即定定义义域域集集合合XDXf )1(；，即限制值域的范围：，即限制值域的范围：集合集合YRYf )2(：对应规则对应规则 f)3(，使每个使每个Xx 有唯一有唯一确定的确定的 y=f (x) 与之对应与之对应. 需要指出的是：需要指出的是： （1）映射要求元素的像必须是唯一的）映射要求元素的像必须是唯一的. （2）映射并不要求元素的逆像也是唯一的）映射并不要求元素的逆像也是唯一的.定义定义2 2： 设设 f 是集合是集合X 到集合到集合Y 的一个映射，的一个映射，若若 f 的逆
20、像也是唯一的，即对的逆像也是唯一的，即对X 中的任意两中的任意两个不同元素个不同元素 x1 x2 ，它们的像，它们的像 y1 与与 y2 也满也满足足 y1 y2 ，则称，则称 f 为为单射单射； 如果映射如果映射 f 满足满足 Rf = Y ，则称，则称 f 为为满射满射； 如果映射如果映射 f 既是单射，既是单射， 又是满射，则称又是满射，则称 f 为为双射双射（又称一一对应（又称一一对应 ）.2 一一对应3.逆映射逆映射：逆映射： 如果映射如果映射 f 既是单射，又是满射，则既是单射，又是满射，则，对应关系，对应关系，于是，于是是唯一确定的是唯一确定的的的即满足方程即满足方程它的逆像它的
21、逆像对任一对任一)(,xyxfXxYRyf )(yxfxyXRgf：的的称之为称之为，上的一个映射上的一个映射到到构成了构成了fXRf,1 f记为记为逆映射，逆映射，值域为值域为其定义域为其定义域为,1ffRD .1XRf 4.4.复合映射：复合映射：那就可以构造出一个那就可以构造出一个)(1xguxUXg：和和)(2ufyuYUf：,2fgDUR 如果如果新的对应关系新的对应关系)(xgfyxYXgf ：的的和和也是一个映射，称之为也是一个映射，称之为gf复合映射复合映射. . 二二 函数概念函数概念 函数是整个高等数学中最基本的研究函数是整个高等数学中最基本的研究对对象象, , 可以可以说
22、说数学分析就是研究函数的数学分析就是研究函数的. .因此我因此我们对们对函数的概念以及常函数的概念以及常见见的一些函数的一些函数应应有一个清楚有一个清楚的的认识认识. . 例例 圆内接正多边形的周长圆内接正多边形的周长nnrSn sin2, 5 , 4 , 3 n3S5S4S6S圆内接正圆内接正n 边形边形Orn )因变量因变量自变量自变量.),()(ffDxxfyyXfR RDfRD :，则则称称映映射射设设数数集集记为记为上的函数上的函数为定义在为定义在,D)(xfy D 称为称为定义域，定义域，记作记作Df ，即，即 Df = D .函数值的全体构成的数集称为函数值的全体构成的数集称为值
23、域，值域，记为：记为：定义定义. 1()0 x)(0 xf对应法则对应法则f函数的两要素函数的两要素: :定义域定义域与与对应法则对应法则.xyfXDYfX21xy 例例如如，1 ,1: D211xy 例例如如，)1 ,1(: D自变量自变量因变量因变量约定约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值义的一切实数值.定义定义: :.)(),(),(的图形的图形函数函数称为称为点集点集xfyDxxfyyxC oxy),(yxxyWD 如果自变量在定如果自变量在定义域内任取一个数值义域内任取一个数值时，对应的函数值总时，对应的函数值总是只有一个，这种函是只
24、有一个，这种函数叫做单值函数，否数叫做单值函数，否则叫做多值函数则叫做多值函数例如，例如，222ayx + + 表示函数的主要方法有三种: 表格法、图形法、解析法(公式法). 用图形法表示函数是基于函数图形的概念, 坐标平面上的 函数的表示法.)(),(),(的图形的图形函数函数称为称为点集点集xfyDxxfyyxC 单值函数与多值函数 在函数的定义中在函数的定义中,对每个对每个x D, 对应的函数值对应的函数值y总是唯总是唯一的一的, 这样定义的函数称为单值函数这样定义的函数称为单值函数. 如果给定一个对应法则如果给定一个对应法则, 按这个法则按这个法则, 对每个对每个x D, 总有确定的总
25、有确定的y值与之对应值与之对应, 但这个但这个y不总是唯一的不总是唯一的, 我们称我们称这种法则确定了一个多值函数这种法则确定了一个多值函数. 例如, 由方程x2+y2r2确定的函数是一个多值函数:下页 此多值函数附加条件“y0”后可得到一个单值分支 221)(xrxyy. 22xry. 此函数称为绝对值函数, 其定义域为D(, +),其值域为Rf 0, + ).例 6. 函数0 0 |xxxxxy. (2) (1)常值函数 yc.其定义域为D(, +),其值域为Rf c.下页三几个特殊的函数举例三几个特殊的函数举例 (3) 符号函数符号函数 010001sgnxxxxy当当当当当当xxx s
26、gn 其定义域为D(, +) ,其值域为Rf 1, 0, 1.(4) 取整函数取整函数 y=xx表示不超过表示不超过 的最大的最大整数整数阶梯曲线阶梯曲线x其定义域为D=(-, +),其值域为 =Z. fR（5）“非负小数部分”函数 ,.yxx x +它的定义域是,0,1 .fDR +值域是 是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxDy01)(有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo(6) 狄利克雷函数狄利克雷函数其定义域为D=(-, +) ,其值域为 =0, 1.fR(7) 取最值函数取最值函数)(),(maxxgxfy )(),(minxgxfy yxo)(xf)(xgxo)
27、(xf)(xg在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中,对应法则用对应法则用不同的不同的式子来表示的函数式子来表示的函数,称为称为分段函数分段函数. 0, 10, 12)(,2xxxxxf例例如如12 xy12 xy分段函数分段函数例例1 1脉冲发生器产生一个单三角脉冲脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图其波形如图所示所示,写出电压写出电压U与时间与时间 的函数关系式的函数关系式.)0( tt解解UtoE),2(E )0 ,( 2 ,2, 0时时当当 ttEU2 ;2tE 单三角脉冲信号的电压单三角脉冲信号的电压,2(时时当当 t),(200 tEU)(2 tEU即即,),(时时当
28、当+ t. 0 U其表达式为其表达式为是一个分段函数是一个分段函数,)(tUU + ),(, 0,2(),(22, 0,2)(tttEttEtUUtoE),2(E )0 ,( 2 例例2 2.)3(,212101)(的定义域的定义域求函数求函数设设+ + xfxxxf解解 + + + + + +23121301)3(xxxf 212101)(xxxf 122231xx1, 3 : fD故故四、复合函数四、复合函数 在实际问题中，有很多比较复杂的函数是在实际问题中，有很多比较复杂的函数是由几个比较由几个比较 简单的函数简单的函数“叠置叠置”而成的，如而成的，如在简谐振动中位移在简谐振动中位移y与
29、时间与时间 t 的函数关系的函数关系)sin( + + ty就是由三角函数就是由三角函数uysin 和线性函数和线性函数 + + tu“叠置叠置”而成的，而成的，,uy 设设,12xu 21xy 定义定义:,自自变变量量x,中中间间变变量量u,因变量因变量y注意注意: : 1.不是任何两个函数都可以复合成一个复不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的合函数的; fDZ 复合条件复合条件,arcsinuy 例如例如;22xu+ + 2arcsin(2)yx+复合函数的定义域复合函数的定义域 )(|xuDuDxxDf 使使 D 复合条件在实际应用时常取形式复合条件在实际应用时常取形式fDZ 内层
30、函数的值域落在外层函数的定义域之内内层函数的值域落在外层函数的定义域之内2.复合函数可以由两个以上的函数经过复复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成合构成.,2cotxy 例如例如,yucot ,uv.2xv )(1xf设例; 1,12xx. 1, 12+xx).(xff求解：.)()()(复合而成的复合函数与是由xfuufxff)(xff; 1)(,)(12xfxf, 1)(2+xf. 1)(xf; 10,1122xx,2;0 x. 1x, 1) 1(22+x1)(xf10 x, 1)0(0fx时，当1)0()0(2+ fff1)(xf01xx或. 2时，当10 x.1)(2xxf时，当1
31、x. 1)(2+ xxf; 10,1122xx,2;0 x. 1x, 1) 1(22+x,x;0 x,2,2224+xx ; 10 x. 1x,x;0 x,2,2224+xx ;01x. 1x; 10 x,x证明都是单调递增函数设例,)(),(),(2.xxfx，若)()()(xxfx).()()(xxffx则:证明)()()(xxfx)()()(xxfx)()()()()(xxfxffxfx).()()(xxffx即是单调递增函数)(xf)()(xxf且五、反函数0 x0y0 x0yxyDW)(xfy 函数函数oxyDW)(yx 反函数反函数o射射是是单单射射，则则它它存存在在逆逆映映设设函
32、函数数)(:DfDf,)(:1DDff 的的为为函函数数称称此此映映射射ff1 反函数反函数. .)(1yfxYXf:XYf:1XXIff:1YYIff:1YXff:)(11的反函数，记为 反函数的定义域和值域恰为原函数的值域和定义域 显然有 (恒等变换） (恒等变换) 。)(xfy 函数)(xfy 直直接接函函数数xyo),(abQ),(baP)(1xfy 反函数反函数 这样这样直接函数与反函数的图形关于直线直接函数与反函数的图形关于直线 对称对称.xy 从方程角度看，函数和反函数没什么区别，作为函数，习惯上我们还是把反函数记为 .)(1xfy)(1xfy 严格单调函数是1-1对应的，所以严
33、格单调函数有反函数。 但 1-1 对应的函数（有反函数）不一定是严格单调的，看下面例子 aaayxxey xay xay)1( )1( a)1 , 0(（3）.对数函数对数函数)1, 0(log aaxyaxyln xyalog xya1log )1( a)0 , 1(xOy1122322232周期为2的周期函数有界函数 |sin x|1特殊值：sin 212k+sin0ksin 212k ., 2, 1, 0kTaylor(Maclaurin)公式+12753)!12() 1(! 71! 51! 31sinnnxnxxxxxsinyxxOy22周期为的周期函数无界函数：+xxxxtanlim
34、tanlim0202渐进线：2x特殊值：., 2, 1, 00)tan(kktanyxxOy22周期为的周期函数无界函数：0202lim cotlim cotxxxx+ + 渐进线：xx, 0特殊值：cot020, 1, 2,.kk+ 232正割函数正割函数xysec xysec 余割函数余割函数xycsc xycsc (5)反三角函数的图象 幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数和反三角函数和反三角函数统称为三角函数统称为基本初等函数基本初等函数.2.初等函数初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成
35、并可用和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子一个式子表示表示的函数的函数,称为称为初等函数初等函数.例例3 3).(,0, 10, 2)(,1,1,)(2xfxxxxxxxxexfx + + 求求设设解解 1)(),(1)(,)()(xxxexfx,1)(10时时当当 x, 0 x或或, 12)( + + xx; 1 x, 0 x或或, 11)(2 xx;20 x,1)(20时时当当 x, 0 x或或, 12)( + + xx; 01 x, 0 x或或, 11)(2 xx;2 x综上所述综上所述.2, 120011, 2,)(2122 1函数的有界性函数的有界性:.)(否否则则称称无无界界
36、上上有有界界在在则则称称函函数数Xxf f(x)sin x在(, +)上是有界的: |sin x|1. 函数xxf1)(在开区间(0, 1)内是无上界的. Mxxf111)(, 所以函数无上界. 函数xxf1)(在(1, 2)内是有界的. 这是因为, 对于任一 M1, 总有1x: 1101Mx, 使 下页有界函数举例 例例12函数的单调性函数的单调性:,)(DIDxf 区区间间的的定定义义域域为为设设函函数数,2121时时当当及及上上任任意意两两点点如如果果对对于于区区间间xxxxI ;)(上上是是单单调调增增加加的的在在区区间间则则称称函函数数Ixf),()()1(21xfxf 恒恒有有)(
37、 xfy )(1xf)(2xfxyoI)( xfy )(1xf)(2xfxyoI;)(上上是是单单调调减减少少的的在在区区间间则则称称函函数数Ixf,)(DIDxf 区区间间的的定定义义域域为为设设函函数数,2121时时当当及及上上任任意意两两点点如如果果对对于于区区间间xxxxI 恒恒有有3函数的奇偶性函数的奇偶性:有有对对于于关关于于原原点点对对称称设设,DxD )()(xfxf 偶函数偶函数yx)(xf ox-x)( xf;)(为为偶偶函函数数称称xf有有对对于于关关于于原原点点对对称称设设,DxD )()(xfxf ;)(为为奇奇函函数数称称xf奇函数奇函数)(xf yx)(xfox-
38、x)(xfy .(, )( )l lf x例2 证明定义在对称区间内的任何函数都.与一个偶函数之和可以表示成一个奇函数:证构造两个函数，设法由)(xf使得一个是奇函数一个是偶函数，).(xf且两者之和恰为),()(21)(xfxfxF+令)()(21)(xfxfxG)()(21)(xfxfxF+),(xF).()()(xGxFxf+且)()(21)(xfxfxG)( xG ,)(是偶函数xF,)(是奇函数xG所以因为.这种表示法是唯一的我们还可以进一步证明我们只要能证明，)()(),()(xGxQxFxH.问题就能获得解决,)(是奇函数xQ,)(是偶函数设xH且)()()(xQxHxf+)()
39、(xQxH)()()(xQxHxf+从而: ) 2( +) 1 ()()(21)(xfxfxH+)()(21)(xfxfxG)(xF: ) 2( ) 1 ()(xG.故表示法是唯一的) 1 () 2(4函数的周期性函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正（通常说周期函数的周期是指其最小正周期周期）.2l 2l23l 23l,)(Dxf的定义域为的定义域为设函数设函数如果存在一个不为零的如果存在一个不为零的)()(xflxf + +且且为周为周则称则称)(xf.)( ,DlxDxl 使得对于任一使得对于任一数数.)(,的周期的周期称为称为期函数期函数xfl.恒成立恒成立.( )sin.f
40、 xxx+例3 证明函数不是周期函数:证.通常采用反证法证明函数不是周期函数,sin)(Txxxf有周期假设函数+),()(xfTxf+根据有xxTxTxsin)sin(+即,sin)sin(xTxT+Rx得取, 0 x0sin+TT由此推得0T这与周期定义相矛盾，.sin)(不是周期函数故xxxf+xOy1122322232周期为2的周期函数有界函数 |cos x|1特殊值：02cos+k12cosk1) 12(cos+k., 2, 1, 0kTaylor(Maclaurin)公式+nnxnxxxx2642)!2() 1(! 61! 41! 211coscosyx小结(2) 反函数;(1) 复合函数;(3) 初等函数.;(4) 双曲函数与反双曲函数双曲函数与反双曲函数
