1、 2.2 形体的三面投影图形体的三面投影图第第2 2章章 正投影基础正投影基础 2.1 投影基本知识投影基本知识 2.3 点的投影点的投影 2.4 直线的投影直线的投影 2.5 平面的投影平面的投影第第2 2章章 正投影基础正投影基础2.1 投影基本知识投影基本知识2.1.1 投影的概念投影的概念2.1.2 投影法的分类投影法的分类 1、中心投影法、中心投影法 2、平行投影法、平行投影法 （1）斜投影法）斜投影法 （2）正投影法）正投影法2.1.3 正投影的基本性质正投影的基本性质 1、显实性、显实性 2、积聚性、积聚性 3、类似性、类似性 在灯光或日光的照射下，形体在地面或墙面上会产生的影子
2、。2.1.1 投影的概念投影的概念 这里的灯光或日光称为投影中心，光线称为投射线，地面或墙面称为投影面，这种得到形体的投影方法，称为投影法。2.1.2 投影的分类 图图2-3 中心投影中心投影 图图2-4 斜投影斜投影 图图2-5 正投影正投影 1 1、显实性：若线段和平面图形、显实性：若线段和平面图形平行于平行于投影面投影面, , 其投影反映实长或实形其投影反映实长或实形。2 2、积聚性：若线段和平面图形、积聚性：若线段和平面图形垂直于垂直于投影面，投影面，其投影积聚为一点或一直线段其投影积聚为一点或一直线段。3 3、类似性：若线段和平面图形、类似性：若线段和平面图形倾斜于倾斜于投影面，投影
3、面，其投影短于实长或小于实形，但与空间图形类似其投影短于实长或小于实形，但与空间图形类似。2.2.1 三面投影图的形成三面投影图的形成1、三投影面体系三投影面体系2、形体在三投影面体系中的投影、形体在三投影面体系中的投影3、三投影面的展开、三投影面的展开2.2.2 三面投影图的投影规律三面投影图的投影规律1、投影规律投影规律2、视图与形体的方位关系、视图与形体的方位关系2.2 形体的三面投影图形体的三面投影图u 问题的提出(b) 水平投影图CBAa,b,cH形体的一面投影不能唯一确定其空间形状2.2.1 三面投影图的形成三面投影图的形成 1 1、三投影面体系、三投影面体系由三个互相垂直的投影面
4、组成。由三个互相垂直的投影面组成。HVXO （1）投影面）投影面 正立投影面正立投影面-V ( (正面）正面） 水平投影面水平投影面-H ( (水平面）水平面） 侧侧立投影立投影面面-W ( (侧侧面）面） （2）投影轴）投影轴 OX轴轴 - V H OY轴轴 - H W OZ轴轴 - V W （3）原点）原点 O -原点原点ZYWu 三面投影三面投影图图（三视图）：（三视图）： 正立面投影图（正面图）正立面投影图（正面图）主视图主视图 水平面投影图（平面图）水平面投影图（平面图）俯视图俯视图 侧立面投影图（侧面图）侧立面投影图（侧面图）左视图左视图2 2、形体在三投影面体系、形体在三投影面体
5、系中的投影中的投影 将形体放置在三投将形体放置在三投影面体系中，按正投影法向影面体系中，按正投影法向各投影面投影，则形成了形各投影面投影，则形成了形体的三面投影图。体的三面投影图。 3 3、三面投影图的展开、三面投影图的展开 规定正面规定正面V V不动，将不动，将水平面水平面H H绕绕OXOX轴向下旋转轴向下旋转9090，侧面侧面W W绕绕OZOZ轴向右旋转轴向右旋转9090，就得到如下图所示的在同一平，就得到如下图所示的在同一平面上的三个视图。面上的三个视图。2.2.2 三面投影图的投影规律三面投影图的投影规律1、三面投影图的基本规律三面投影图的基本规律(三等关系三等关系)正面图与平面图正面
6、图与平面图长对正长对正； 正面图与侧面图正面图与侧面图高平齐高平齐；平面图与侧面图平面图与侧面图宽相等宽相等。 正面图正面图反映形体的反映形体的上、下上、下和和左、右左、右，不反映，不反映前前、后后； 平面图平面图反映形体的反映形体的前、后前、后和和左、右左、右，不反映，不反映上上、下下； 侧面图侧面图反映形体的反映形体的上、下上、下和和前、后前、后，不反映，不反映左左、右右。 2、视图与形体的方位关系、视图与形体的方位关系 2.3.1 点的三面投影点的三面投影 1、点三面投影的形成、点三面投影的形成 2、点的投影规律、点的投影规律(特性特性) 2.3.2 点的空间坐标点的空间坐标 2.3.3
7、 特殊位置的点特殊位置的点2.3.4 两点的相对位置两点的相对位置 1、两点的相对位置、两点的相对位置 2、重影点及可见性判别、重影点及可见性判别2.3 点的投影点的投影2.3.1 点的三面投影点的三面投影1 1、点三面投影的形成、点三面投影的形成A A点的点的水平投影水平投影 a A A点的点的正面投影正面投影 a A A点的侧面点的侧面投影投影 a Ha aa VWXOZYWYHHVXZYWOaaaA分析：分析：aaz = aay = xaax = aay = z aaz = aax = y2 2、点的投影规律、点的投影规律( (特性特性) ) aa ox （长对正）（长对正） aa oz
8、 （高平齐）（高平齐） aaz = aax（宽相等）（宽相等）HVXZYWOayaxazxyzaaaHa aa VWXOZYWYHaxayazayA例题例题2.1 已知点已知点B的正面与侧面投影，求点的正面与侧面投影，求点B的水平投影。的水平投影。XZYWYHOb b b2.3.2 点的空间坐标点的空间坐标1 1、点的空间位置可用、点的空间位置可用直角坐标表示：直角坐标表示：X X坐标坐标=A=A点到点到W W面的距离面的距离A Aa a Y Y坐标坐标=A=A点到点到V V面的距离面的距离A Aa a Z Z坐标坐标=A=A点到点到H H面的距离面的距离A Aa a 2 2、书写形式为、书写
9、形式为A (XA (X，Y Y，Z) Z) 。 HVXZYWOayaxazxyzaaaA 2.3.3 特殊位置的点特殊位置的点 位于投影面、投影轴以及原点上的点。位于投影面、投影轴以及原点上的点。 2.3.4 两点的相对位置两点的相对位置X X坐标确定左右：大者在坐标确定左右：大者在左左；Y Y坐标确定前后：大者在坐标确定前后：大者在前前；Z Z坐标确定上下：大者在坐标确定上下：大者在上上。1 1、两点的相对位置两点的相对位置 2 2、重影点及可见性判别、重影点及可见性判别cd(c)dCDa(b)abAB重影点 -若两点位于同一条垂直某投影面的投射线上，则这两点在该投影面上的投影重合，这两点称
10、为该投影面的重影点。2.3.5 点直观图的画法点直观图的画法 为了便于建立空间概念，加深对投影原理的理解，常常需要画出具有立体感的直观图。根据点的投影，画其直观图的方法步骤见例2.2。【例2.2】 已知A(28，0，20)、B(24，12，12)、C(24，24，12)、D(0，0，28)四点，试画出其直观图与投影图。 (a) 直观图 (b) 投影图 2.4.1 各种位置直线的三面投影各种位置直线的三面投影2.4.2 直线上点的投影直线上点的投影2.4.3 一般位置直线的实长及其与投影面的夹角一般位置直线的实长及其与投影面的夹角2.4 直线的投影直线的投影直线的投影直线的投影直线上任意两点同面
11、投影的连线。直线上任意两点同面投影的连线。 直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。HabDCc(d)AB2.4 直线的投影直线的投影2.4.1 各种位置直线的三面投影各种位置直线的三面投影1 1、投影面平行线、投影面平行线 与一个投影面平行，而与另两个倾斜的直线。与一个投影面平行，而与另两个倾斜的直线。（1 1）水平线）水平线与与H H面平行，与面平行，与V V、W W面倾斜；面倾斜；（2 2）正平线）正平线与与V V面平行，与面平行，与H H、W W面倾斜；面倾斜；（3 3）侧平线）侧平线与与W W面平行，与面平行，与V V、H H面倾斜。面倾斜。2 2
12、、投影面垂直线、投影面垂直线 与一个投影面垂直（必与另两个平行）的直线。与一个投影面垂直（必与另两个平行）的直线。（1 1）铅垂线）铅垂线与与H H面垂直，与面垂直，与V V、W W面平行；面平行；（2 2）正垂线）正垂线与与V V面垂直，与面垂直，与H H、W W面平行；面平行；（3 3）侧垂线）侧垂线与与W W面垂直，与面垂直，与V V、H H面平行。面平行。 3 3、一般位置直线、一般位置直线 与三个投影面都倾斜的直线。与三个投影面都倾斜的直线。（1）水平线XZYOaababb Xa b ab baOzYHYWAB投影特性：1) ab = AB 2) ab OX ; ab OYW 3)
13、反映、 角的真实大小XZYO（2）正平线aababbXabab baOZYHYWAB 投影特性： 1) a b = AB 2) ab OX ; a b OZ 3) 反映、角的真实大小XZYO（3）侧平线XZa b bbaOYHYWaaa b a bbAB投影特性： 1) ab = AB 2) ab OZ ; ab OYH 3) 反映 、 角的真实大小OXZYb a(b)a abZb Xa ba(b)OYHYWa投影特性：1) a b 积聚 成一点 2) a bOX ; a b OY 3) a b = a b = AB（1）铅垂线AB（2）正垂线OXZYbababa投影特性： 1) ab积聚 成
14、一点 2) ab OX ; ab OZ 3) ab = ab =ABABzXab baOYHYWab（3）侧垂线OXZYAB投影特性：1) ab 积聚 成一点 2) ab OYH ; ab OZ 3) ab = ab =ABbaababZXabbaOYHYWabOXZY3、一般位置直线ABbbabaaZXabaOYHYWabb投影特性：1） a b、 ab、a b均小于实长 2） a b、ab、a b均倾斜于投影轴 3）不反映 、 、 实角 直线上的点具有两个特性： 1 1、从属性、从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。 利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直
15、线上。 2 2、定比性、定比性 属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即A C: C B = a c : c b= a c : c b = a c : c b 利用这一特性，在不作侧面投影的情况下，可以在侧平线上找点或判断已知点是否在侧平线上。2.4.2 直线上点的投影直线上点的投影ABbbaaXOccCcb Xa abcc 例题2.3 已知线段AB的投影图，试将AB分成 2 ：1 两段， 求分点C 的投影。 求解一般位置线段的实长及倾角是求解画法几何综合题时经常遇到的基本问题之一，而用直角三角形法直角三角形法求解实长、倾角又最为方便简捷。2.4.3 一般位置线段的实长及其与投影面的夹角一
16、般位置线段的实长及其与投影面的夹角 (a) 直观图 (b) 利用水平投影求实长 (c) 利用正面投影求实长 例题2.4 已知线段AB的水平投影ab和点B的正面投影b(如图2-23(a)所示)，线段AB与H面的夹角 =30，求出线段AB的正面投影ab。 (a) 已知条件 (b) 作图方法例题2.5已知线段AB的投影(如图2-24(a)所示)，试定出属于线段AB的点C的投影，使BC的实长等于已知长度L。 (a) 已知条件 (b) 作图方法2.5.1 平面的表示法平面的表示法2.5.2 各种位置平面的投影特性各种位置平面的投影特性2.5.3 平面上点和直线的投影平面上点和直线的投影2.5 平面的投影
17、平面的投影2.5.1 平面的表示法平面的表示法 1、用几何元素表示平面、用几何元素表示平面 用几何元素表示平面有五种形式：用几何元素表示平面有五种形式： （1）不在一直线上的三个点；）不在一直线上的三个点； （2） 一直线和直线外一点；一直线和直线外一点； （3） 平行二直线；平行二直线； （4） 相交二直线；相交二直线； （5） 任意平面图形。任意平面图形。 2、平面的迹线表示法、平面的迹线表示法 平面可以理解为是无限广阔的，这样的平面必然会与平面可以理解为是无限广阔的，这样的平面必然会与投影面产生交线。平面与投影面的交线，称为迹线。投影面产生交线。平面与投影面的交线，称为迹线。 1、用几何
18、元素表示平面、用几何元素表示平面aabcbcbaacbcbaacbcaabcbcabcabcdd平面图形的投影平面图形的投影 组成该平面图形的各线段同面组成该平面图形的各线段同面投影的集合投影的集合。2、平面的迹线表示法、平面的迹线表示法 (a) 直观图 (b) 投影图 2.5.2 各种位置平面的三面投影各种位置平面的三面投影1、投影面的平行面、投影面的平行面 与一个投影面平行（必与另两个垂直)的平面。 （1）水平面与H面平行，与V、W面垂直； （2）正平面与V面平行，与H、W面垂直； （3）侧平面与W面平行，与V、H面垂直；2、投影面的垂直面、投影面的垂直面 与一个投影面垂直，而与另两个倾斜
19、的平面。 （1）铅垂面与H面垂直，与V、W面倾斜； （2）正垂面与V面垂直，与H、W面倾斜； （3）侧垂面与W面垂直，与V、H面倾斜。 3、一般位置平面、一般位置平面 与三个投影面都倾斜的平面。 VWH（1）水平面投影特性：（一框两线）（一框两线） 1、水平投影abc 反映 ABC实形 2 、abc、 abc 分别积聚为一条线CABabcbacabccabbbaacc（2）正平面VWH投影特性：（一框两线）（一框两线） 1、正面投影abc 反映 ABC实形 2 、abc 、 abc 分别积聚为一条线cabbacbcabacabcbcaCBA投影特性：（一框两线）（一框两线） 1、侧面投影abc
20、 反映 ABC实形 2 、abc 、 abc 分别积聚为一条线（3 ）侧平面VWHabbbacccabcbacabcCABaVWHPPH（1）铅垂面投影特性：（一线两框）（一线两框） 1、水平投影abc 积聚为一条线 2、abc、abc 为ABC的类似形 3、abc 与OX、OY的夹角反映、角的真实大小 ABCacbababbacccVWHQQV（2）正垂面 投影特性：（一线两框）（一线两框） 1、正面投影abc 积聚为一条线 2、abc、abc 为 ABC的类似形 3、abc 与OX、OZ的夹角反映、 角的真实大小 ababbacccAcCabBVWHSWS（3 ）侧垂面投影特性：（一线两框
21、）（一线两框） 1、侧面投影abc 积聚为一条线 2、abc、abc 为 ABC的类似形 3、abc 与OZ、OY的夹角反映、角的真实大小 CabABcabbbaaccc3、一般位置平面投影特性：（三框）（三框）1、abc 、 abc 、 abc 均为 ABC的类似形2、不反映、 的真实角度 abcbacababbaccbacCAB2.5.3 平面上点和直线的投影平面上点和直线的投影1、平面上的直线2、平面上的点3、平面上的投影面平行线1、平面上的直线平面上的直线MNABCD 直线在平面上的几何条件是： 通过平面上的两点； 通过平面上的一点且平行于平面上的一条直线。2、平面上的点平面上的点BD
22、F点在平面上的几何条件是：点在平面内的某一直线上。u在平面上取点、直线的作图，实质上就是在平面内作辅助线的问题。利用在平面上取点、直线的作图，可以解决三类问题：判别已知点、线是否属于已知平面；完成已知平面上的点和直线的投影；完成多边形的投影。3、平面上的投影面平行线平面上的投影面平行线 平面上投影面平行线既在平面上又平行于投影面的直线。 在一个平面上对V、H、W投影面分别有三组投影面平行线。平面上的投影面平行线既具有投影面平行线的投影性质，又与所属平面保持从属关系。 属于平面的水平线和正平线 在平面上作正平线和水平线VHP平面上的水平线和正平线PVPH在平面上作正平线和水平线ddee例题2.6 已知三角形ABC的两面投影，如图2-29(a)所示，在三角形ABC平面上取一点K，使K点在A点之下15mm，在A点之前13mm，试求K点的两面投影。 (a) 已知条件 (b) 作图方法
