1、第十一节第十一节微分方程的幂级数解法 一、一阶微分方程问题一、一阶微分方程问题 二、二阶齐次线性微分方程问题二、二阶齐次线性微分方程问题微分方程解法: 积分法 只能解一些特殊类型方程 幂级数法 本节介绍 数值解法 计算数学内容本节内容本节内容: 第七章 1ppt课件一、问题的提出一、问题的提出,22yxdxdy 例如例如解不能用初等函数或其积分式表达解不能用初等函数或其积分式表达.寻求近似解法寻求近似解法: 幂级数解法幂级数解法;数值解法数值解法.卡比逐次逼近法卡比逐次逼近法;2ppt课件二、二、 特解求法特解求法),(yxfdxdy 问题问题.),(00的特解的特解满足满足求求yyyxfdx
2、dyxx .)()()()(),(0000101000mllmyyxxayyaxxaayxf 其中其中 202010)()(xxaxxayy.,21为待定的系数为待定的系数其中其中naaa假设所求特解可展开为假设所求特解可展开为 的幂级数的幂级数0 xx3ppt课件.0|02的的特特解解满满足足求求 xyyxdxdy解解，00 x, 00 y,33221 nnxaxaxaxay设设方程方程的幂级数展开式带入原的幂级数展开式带入原将将yy , 342321432xaxaxaa24433221)( xaxaxaxax,32123121 nnxnaxaxaay例例1 14ppt课件,201, 0,
3、0,21, 054321 aaaaa.2012152 xxy所求解为所求解为 43122321221)2(2xaaaxaaxax比较恒等式两端比较恒等式两端x的同次幂的系数的同次幂的系数, 得得小结小结: : 无初始条件求解无初始条件求解 1nnnxaCy可设可设(C是任意常数是任意常数)5ppt课件 如果方程如果方程0)()( yxQyxPy中的系数中的系数)(xP与与)(xQ可在可在RxR 内展为内展为x的幂级数的幂级数, ,那么在那么在RxR 内原方程必有形如内原方程必有形如 nnnxay 0的解的解. .定理定理三、二阶齐次线性方程幂级数求法三、二阶齐次线性方程幂级数求法6ppt课件作
4、法作法,0 nnnxay设解为设解为的幂级数，的幂级数，展开为展开为将将0)(),(),(xxxfxQxP 比较恒等式两端比较恒等式两端x的同次幂的系数的同次幂的系数, 确定确定y.0的解的解求方程求方程 yyxy,0nnnxay 设方程的解为设方程的解为解解例例2 2,10 nnnxnay则则7ppt课件21)1( nnnxanny, 0, yyxyyyy带入带入将将,)1)(2(02nnnxann , 00 nnnxa10 nnnxnaxnnnxann 02)1)(2(, 0)1()1)(2(02 nnnnxanann,22 naann, 2 , 1 , 0 n8ppt课件,313aa ,
5、1515aa ,!)!12(112 kaak, 3 , 2 , 1 k,202aa ,804aa ,2!02kkkaa 原方程的通解原方程的通解 0121020!)!12(!2nnnnnnxanxay),(10是任意常数是任意常数aa9ppt课件例3.42)( )2(xyyxxyx 求方程的一个特解.解解: 设特解为,0nnnxay代入原方程整理得41200)2()2)(1(2xxanannxaannnn比较系数得:,00a12634aa)4,2(0)2()2)(1(1nnanannnn21, aa显然可任意取值, 因是求特解, 故取,021 aa从而得61, 043aa当n 4 时,111n
6、nana44)2)(1(1ann! ) 1(1n10ppt课件因此nnnxay0nnxn4! ) 1(1nnxnx3!1,!10nnxxne)211(2xxexyx注意到:此题的上述特解即为11ppt课件例4.0) 1(2)1 (2 ynnyxyx)( 为常数n解解:,12)(2xxxP21) 1()(xnnxQ内都可在)1 , 1(求解勒让德 (Legendre) 方程 展成幂级数, 满足定理条件(因其特点不用具体展开它).设方程的解为,0kkkxay代入: 22) 1(kkkxakkkkkxakk2) 1(kkkxak120) 1(0kkkxann12ppt课件整理后得整理后得:0) 1)
7、() 1)(2(20kkkkxaknknakk比较系数, 得), 1 ,0() 1)(2() 1)(2kakkknknakk例如:02!2) 1(anna13!3)2)(1(anna2443)2)(2(anna0!4)3)(1()2(annnn3554)4)(3(anna1!5)4)(2)(1)(3(annnn13ppt课件于是得勒让德方程的通解: 420!4)3)(1()2(!2) 1(1xnnnnxnnay31!3)2)(1(xnnxa5!5)4)(2)(1)(3(xnnnn) 11(x上式中两个级数都在(1, 1 )内收敛, 10, aa可以任意取, 它们是方程的两个线性无关特解. 14
8、ppt课件四、小结四、小结微分方程解题思路微分方程解题思路一阶方程一阶方程高阶方程高阶方程分离变量法分离变量法全微分方程全微分方程常数变易法常数变易法特征方程法特征方程法待定系数法待定系数法非全微分方程非全微分方程非变量可分离非变量可分离幂级数解法幂级数解法降降阶阶作作变变换换作变换作变换积分因子积分因子15ppt课件思考题思考题 什么情况下采用什么情况下采用“幂级数幂级数”解法求解解法求解微分方程？微分方程？16ppt课件思考题解答思考题解答 当微分方程的解不能用初等函数或其积分当微分方程的解不能用初等函数或其积分表达时表达时, 常用幂级数解法常用幂级数解法.17ppt课件一、一、 试用幂级
9、数求下列各微分方程的解试用幂级数求下列各微分方程的解: :1 1、1 xxyy；2 2、0)( myymxyx. .)(为自然数为自然数m二、试用幂级数求下列方程满足所给初始条件的特解二、试用幂级数求下列方程满足所给初始条件的特解: : 1 1、21,032 xyxyy； 2 2、0,0cos0022 ttdtdxaxtxdtxd. .练练 习习 题题18ppt课件练习题答案练习题答案一、一、1 1、 3231112xxCeyx )12(53112 nxn； 2 2、 mkkxkxCeCy021!. .二、二、1 1、 432329161814121xxxxy； 2 2、 842! 855! 69! 42! 211(tttax. .19ppt课件
