1、瑕积分的性质与收敛判别, 与无穷积3 瑕积分的性质与收敛判别分的性质与收敛判别相类似. ( ), :baf x dx瑕积分分几种情况,a为瑕点,b为瑕点cacb为瑕点,a皆可化为 为瑕点的情形来讨论.,a因此,本节将只对 为瑕点的情形进行研究所得结论适合所有的瑕积分.,一个瑕点,多个瑕点瑕积分与无穷积分之间的关系( ),.baf x dxa考虑瑕积分其中 是瑕点则0( )lim( )bbaaf x dxf x dx1x ay 令1,xbyba当时1,.xay当时12011lim1b af aydyy12101lim1b af aydyy2111b af ay dyy 所以,瑕积分可以经过适当的
2、变量替换化为无穷积分.反之亦然.:( )lim( )()bbauuaf x dxf x dx a由瑕积分定义为瑕点,于是 我们可以把函数极限的性质转化为瑕积分的性质.由函数极限的柯西收敛准则:lim( ),xaf x存在0,0,:0,0,x xxaxa : ()().f xf x有应用于瑕积分定义,有:有有穷极限定理定理11.7 （瑕积分收敛的柯西准则）（瑕积分收敛的柯西准则）2121( )d( )d( )d.bbuuuuf xxf xxf xx ( )d ()baf xxa瑕瑕积积分分瑕瑕点点为为收收敛敛的的充充要要条条件件是是证证( )( )d ,( , ),( )dbbuaF uf xx
3、 ua bf xx设设则则lim( ).uaF u收收敛敛的的充充要要条条件件是是存存在在 由由函函数数收收敛敛的的1212,( ,)()(),u ua aF uF u，120,0,( ,)u ua a任任给给存存在在当当时时，柯西准则，此等价于柯西准则，此等价于0,0,2121( )d( )d( )d.bbuuuuf xxf xxf xx 即即0,( ), ,f xab 设函数推 在1上可积论( )( )bAaaf x dxf x dx (1)证明:法 0, ,:由定积分的区间可加性 有( )( )( ) ( )bbAaAaf x dxf x dxf x dx,( )baf x dx 于是0
4、lim( )baf x dx存在0lim( )Aaf x dx存在( )Aaf x dx /()法2,由柯西收敛准则( )baf x dx 0,0,( ,),:A Aa a 有( ).Aaf x dx / ( ).AAf x dx,bAaa且设 为瑕点 则a设 为推论2:瑕点,则证明: 由柯西收敛准则,( )baf x dx 0,0,( ,),A Aa a ,Aa上式中 令:( )Aaf x dx有lim( )0.uauaf x dx即/:( ).AAf x dx有( ),lim( )0buaauaf x dxf x dx ,a设 为推3:瑕点论则证明:由柯西收敛准则,( )baf x dx
5、0,0,( ,),:( )AAA Aa af x dx 有( )( )AAAAf x dxf x dx,再由柯西收敛准则知( )baf x dx /:0,( ), ,f xab若函数在定上可积义( ),baf x dx 且瑕积分( ).baf x dx则称绝对收敛( )( )bbaaf x dxf x dx 由瑕积分的定义,定积分的性质也可以移植到瑕积分.由定理11.7的推论3,知:( )( )bbaaf x dxf x dx绝对收敛收敛而逆命题不真,这一点将在后面的例题中说明.:( ),( ),bbaaf x dxf x dx 而定若义( ).baf x dx则称瑕积分条件收敛( )baf
6、x dx ( )baf x dx绝对收敛 ( )baf x dx ( )baf x dx ,a设 为瑕点 则()a为瑕点性质性质11212,ffxa kk设设函函数数与与的的瑕瑕点点同同为为1122( )( )d,bak fxk fxx也也收收敛敛 且且12,( )d( )d,bbaafxxfxx为为任任意意常常数数 若若和和都都收收敛敛 则则1122( )( )dbak fxk fxx1122( )d( )d .bbaakf xxkf xx性质性质2 ,( , ),fxaca b设设函函数数的的瑕瑕点点若若则则( )d( )d,bcaaf xxf xx与与同同时时收收敛敛或或同同时时发发散散
7、 且且( )d( )d( )d .bcbaacf xxf xxf xx性质性质3,( , fxa fa b设设函函数数的的瑕瑕点点为为在在的的任任一一,(),( ) d,bau buaf xx闭闭区区间间上上可可积积 则则收收敛敛时时( )d,( )d( ) d .bbbaaaf xxf xxf xx也也收收敛敛 且且定理定理11.8 (非负函数瑕积分的判别法非负函数瑕积分的判别法)( , ( ),a bf x若若定定义义在在上上的的非非负负函函数数在在任任意意闭闭区区间间 , (),( )dbau buaf xx上上可可积积 则则收收敛敛的的充充要要条条件件( , ,( )d.buMua b
8、f xxM是是: :存存在在，对对任任意意证明:( )0,f x ( )( )( , ,bxF xf t dta b函数在上单调( )( , F xa b由于在上有界.lim( )lim( ),bxxaxaF xf t dt存在( ).baf x dx 即/定理定理11.9 (比较法则比较法则)( , ,a bfg设设定定义义在在上上的的两两个个非非负负函函数数与与瑕瑕点点同同, , ( , xau ba b为为在在任任何何上上都都可可积积, ,且且满满足足( )( ),( , .f xg xxa b( )d,( )d;bbaag xxf xx则则当当收收敛敛时时必必定定收收敛敛( )d,(
9、)d.bbaaf xxg xx发发散散时时必必定定发发散散 由定理由定理11.8，对于非负函数的瑕积分有以下，对于非负函数的瑕积分有以下比较收敛原理比较收敛原理1证明:( ),aub设0( )( )f xg x由( )bag x dx 及，得( )( )( ).bbbuuaf x dxg x dxg x dx( )( )( , buF uf x dxa b即在上有界( )baf x dx / , ()fgu baub若若非非负负函函数数和和在在任任何何推论推论1 则则且且上上可可积积,lim,cxgxfax (i) 0( )d( )d;bbaacf xxg xx 时时，与与收收敛敛性性相相同同
10、(ii)0( )d( )d;bbaacg xxf xx时时，收收敛敛可可推推得得收收敛敛 (iii)( )d( )d.bbaacg xxf xx时时，发发散散可可推推得得发发散散()比较审敛法的极限形式: 1证明 ( )0c 当时,( )lim,( )xaf xcg x( )0,0,( ,),:( )f xxa accg x 有,2c取00,则0( ,),xa a ( )( )2cg xf x3( )2cg x,:由比较审敛法 知0( )aag x dx 0( )aaf x dx ( )( )bbaag x dxf x dx 即20c ( )当时,( )lim0,( )xf xg x1,取10
11、,则1( ,:xa a 有( )11( )f xg x ( )( )f xg x,:由比较审敛法 知11( )( )aaaag x dxf x dx ( )( )bbaag x dxf x dx 即32( )是( )的逆否命题 , ( , u ba b在在任任何何上上可可积积. .则则有有1(i)( ),01,( )d()bpaf xpf xxxa当当时时收收敛敛; ;1(ii)( ),1,( )d.()bpaf xpf xxxa当当时时发发散散推论推论2( , ,fa ba设设非非负负函函数数定定义义在在上上为为瑕瑕点点 且且()柯西审敛法推论推论3( , ,fa ba设设非非负负函函数数定
12、定义义于于为为瑕瑕点点 且且在在任任 , ( , lim()( ),pxau ba bxaf x 何何上上可可积积. .若若则则(i)01,0( )dbapf xx 当当时时，收收敛敛; ;(ii)1,0( )d.bapf xx 当当时时，发发散散 sin tan arcsin arctanxxxxx利用利用可以判别一些非负函数瑕积分的收敛性可以判别一些非负函数瑕积分的收敛性. ln(1) e1 (0),xxx()柯西审敛法的极限形式例例12313sind.1lnxxxx判判别别瑕瑕积积分分的的收收敛敛性性1,x 解解 瑕瑕点点为为1 321 333sin1sin.ln(1)(1)ln(11)
13、1xxxxxxxx由于由于21 33sinsin10(1),(1)3xxxx而而1 31 34 3111,(1)ln(11)(1)(1)(1)xxxxx224 33311dsind.(1)1lnxxxxxx因因此此由由发发散散知知发发散散例例210lnd.xxx判判别别瑕瑕积积分分的的收收敛敛性性解解0ln0(0,1).xxx是是瑕瑕点点, ,由由于于3/ 41 400lnlimlimln0,xxxxxxx 1100lnln3dd.xxxxxx因因此此由由推推论论 知知收收即即, ,收收敛敛敛敛10( )d1axaxx 的的收收敛敛性性. .11101( )dd11aaxxaxxxx (i)(
14、 ).10,1;I aaa先讨论当即时它是定积分先讨论当即时它是定积分讨论反常积分讨论反常积分例例3( )a 把把反反常常积积分分写写成成解解( )( ).I aJ a110lim1,1aaxxxx10.ax当时它是瑕积分,瑕点为由于当时它是瑕积分,瑕点为由于11.9011,pa因因此此由由定定理理的的推推论论 3,3,当当即即, ( )I a时时发发散散. .(ii)( ),J a再再讨讨论论它它是是无无穷穷积积分分. .由由于于0,( )11,0aI apaa时时 瑕瑕积积分分收收敛敛; ;当当即即12limlim1,11aaxxxxxxx11.3321,1paa因因此此由由定定理理的的推
15、推论论 , ,当当即即aa 00 a 1a 1I (a)发散发散收敛收敛定积分定积分J (a)收敛收敛收敛收敛发散发散 (a)发散发散收敛收敛发散发散1, ( ),:J a 时时发发散散. .综综上上所所述述 总总结结如如下下1, ( );21,1J apaa 且且时时收收敛敛 而而当当即即且且( )01.aa 所所以以, ,只只有有当当时时才才是是收收敛敛的的Ex1.ln31的收敛性的收敛性判别广义积分判别广义积分 xdx解解1x 被积函数在点的右邻域内无界由洛必达法则知由洛必达法则知xxxxx11limln1)1(lim0101 , 01 根据柯西极限审敛法根据柯西极限审敛法,所给广义积分
16、发散所给广义积分发散.1( 为瑕点)Ex2101sin.xdxx判别广义积分的收敛性解解也收敛也收敛从而从而dxxx 101sin收敛，收敛，而而 1,11sinxdxxxx收敛，收敛，dxxx 101sin根据比较审敛原理根据比较审敛原理,0( 为瑕点)Ex3解解根据柯西审敛法极限形式根据柯西审敛法极限形式,.判别下列瑕积分的收敛性10ln(1),xdxx21(2),lnxdxx(1) 0( 为瑕点)3 40lnlim(0)xxxx1 40lnlimxxx 1 40lim 4xx0,(0,1)dq10ln xdxx收敛，10ln xdxx从而也收敛(2)()法用比较审敛法13 4(0)dxx
17、 收敛，10ln xdxx收敛，10ln xdxx收敛221(3).321dxxxx(2) 1( 为瑕点)1lim(1)lnxxxx11limlnxxx1,根据柯西审敛法极限形式根据柯西审敛法极限形式,(1,1)dq21lnxdxx发散(3)211( ),(31)(1)321f xxxxxxx.)(1的瑕点的瑕点为为xfx 1 21lim(1)( )xxf x11lim31xxx1,2根据柯西审敛法极限形式根据柯西审敛法极限形式,11(,).22dq221321dxxxx收敛复习思考题1.试给出瑕积分的狄利克雷判别法和阿贝尔判别法试给出瑕积分的狄利克雷判别法和阿贝尔判别法.( ) , ).2.f xa bb设设为为上上的的连连续续函函数数, , 为为瑕瑕点点 试试问问当当2( ) d,( )d?bbaaf xxfxx收收敛敛时时是是否否收收敛敛 反反之之是是?否否成成立立
