1、.学习目标v1.掌握基本不等式的证明方法。掌握基本不等式的证明方法。v2.理解基本不等式的应用条件。理解基本不等式的应用条件。v3.会用基本不等式解决简单的最大（小）值会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题问题.20022002年在北京举行的第年在北京举行的第2424届国际数学家大会会标届国际数学家大会会标.思考：这会标中含有思考：这会标中含有怎样的几何图形？怎样的几何图形？思考：你能否在这个思考：你能否在这个图案中找出一些相等图案中找出一些相等关系或不等关系？关系或不等关系？探究探究1 1.abab22+ +问问2 2：RtRtABF,RtABF,RtBCG,RtBCG,RtCDH,RtC
2、DH,RtADEADE是全等三是全等三角形，它们的面积是角形，它们的面积是S S= =问问1 1：在正方形在正方形ABCDABCD中中, ,设设AF=a,BF=b,AF=a,BF=b,则正方形的面积则正方形的面积为为S=S=，问问3 3：S S与与S S有什么样的关系？有什么样的关系？ 22ab2ab222abab从图形中易得，从图形中易得，s ss s, ,即即探究探究1 1.探究探究2 2 图片说明：当直角三角形变为等图片说明：当直角三角形变为等腰直角三角形，即腰直角三角形，即a=ba=b时，正方形时，正方形EFGHEFGH缩为一个点，这时有缩为一个点，这时有 22=2ababa=bu形的
3、角度形的角度u数的角度数的角度(a2+b2)2ab=(ab)2当当a=b时时,(ab)2=0222aba b222aba b.结论：结论：一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a a、b b，我们有，我们有 当且仅当当且仅当a=ba=b时，等号成立时，等号成立222aba b此不等式称为此不等式称为重要不等式重要不等式. 类类 比比 联联 想想 推推 理理 论论 证证 （特别的）如果（特别的）如果 也可写成也可写成 ,abab用用和和代代替替 、 可可得得abab 2 2a0 ,b0 ,(,)002ababab 当且仅当当且仅当 a=b a=b 时时“”号成号成立立 此不等式称为此不等式称为
4、基本不等式基本不等式探究探究3 3222aba b.aba b2算术平均数算术平均数几何平均数几何平均数(1)(1)两个正数的两个正数的算术平均数算术平均数不小于不小于它们的它们的几何平几何平 均数均数. .(2)(2)两个正数的两个正数的等差中项等差中项不小于不小于它们的它们的等比中项等比中项. . 当且仅当当且仅当 a=b a=b 时时“”号成立号成立 .例例1（1）一个矩形的面积为）一个矩形的面积为100平方米平方米，问这个矩，问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？是多少？分析：在（分析：在（1）中，矩形的长与宽的乘积
5、是一个）中，矩形的长与宽的乘积是一个常数，求长与宽的和的常数，求长与宽的和的2倍的最小值；倍的最小值；三.典例分析.解：（解：（1）设矩形的长、宽分别为）设矩形的长、宽分别为x(米米)，y(米米)，依题，依题意有意有xy=100(平方米平方米)，因为因为x0，y0，所以，所以，2xyxy因此，即因此，即2(x+y)40。 当且仅当当且仅当x=y时，式中等号成立，此时时，式中等号成立，此时x=y=10。因此，当这个矩形的长与宽都是因此，当这个矩形的长与宽都是10米米时，它的周长最时，它的周长最短，最短周长是短，最短周长是40米米.（2）已知矩形的周长是）已知矩形的周长是36米米，问这个矩形的长、
6、，问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的面积最大？最大面积是多少？宽各为多少时，矩形的面积最大？最大面积是多少？分析：在（分析：在（2）中，矩形的长与宽的和的）中，矩形的长与宽的和的2倍是一个常倍是一个常数，求长与宽的乘积的最大值。数，求长与宽的乘积的最大值。.（2）设矩形的长、宽分别为）设矩形的长、宽分别为x(米米)，y(米米)，依题意有，依题意有2(x+y)=36，即，即x+y=18，因为因为x0，y0，所以，所以， 2xyxy因此因此 因此，当这个矩形的长与宽都是因此，当这个矩形的长与宽都是9米米时，它的面积时，它的面积最大，最大值是最大，最大值是81平方米。平方米。xy 9将这个正值不等
7、式的两边平方，得将这个正值不等式的两边平方，得xy81,当且仅当当且仅当x=y时，式中等号成立，此时时，式中等号成立，此时x=y=9，.规律：规律：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。.已知函数已知函数 ，求函数的最小值，求函数的最小值和此时和此时x的取值的取值xxxf1)(.2112121)(:取到最小值时函数即当且仅当解xxxxxxxxf 运用基本不等式的过程中，忽略了运用基本不等式的过程中，忽略了“正数正数”这个条件这个条件 探究：探究：下面几道题的解答可能下面几道
8、题的解答可能有错有错，如果，如果错了错了，那么，那么错错在哪里？在哪里？.的最小值。，（其中求函数20sin4sin 3y。函数的最小值为解：4, 4sin4sin2sin4siny用基本不等式求最值用基本不等式求最值,必须注意必须注意 “相等相等” 的条的条件件.如果取等的条件不成立如果取等的条件不成立,则不能取到该最值则不能取到该最值.2.四.归纳总结在运用基本不等式时，要注意“一正、二定、三相等”.（1 1）两个正数积为定值，和有最小值。）两个正数积为定值，和有最小值。（2 2）两个正数和为定值，积有最大值。）两个正数和为定值，积有最大值。应用要点：一正、二定应用要点：一正、二定 、三相等、三相等 重要不等式重要不等式基本基本不等式不等式2abba22 ab2ba (a(a、bRbR+ +) )结论结论.
