1、微积分应用微积分应用-积分、级数、微分方程的应用积分、级数、微分方程的应用一、下雪时间的确定一、下雪时间的确定背景背景 某地从上午开始下雪，均匀地下着，一直持续到天某地从上午开始下雪，均匀地下着，一直持续到天黑。从正中午开始，一个扫雪队沿着公路清除前方的积黑。从正中午开始，一个扫雪队沿着公路清除前方的积雪，他们头两个小时清扫了两公里长的路面，但是在接雪，他们头两个小时清扫了两公里长的路面，但是在接下来的两个小时里只清扫了一公里的路面。如果扫雪队下来的两个小时里只清扫了一公里的路面。如果扫雪队在相等的时间里清除的雪量相等，试问雪是在什么时候在相等的时间里清除的雪量相等，试问雪是在什么时候下的？下
2、的？分析分析 设扫雪队的扫雪速率为设扫雪队的扫雪速率为v(t)，从已知条件看，从已知条件看，速率函数速率函数v(t)是递减函数。假设扫雪队开始扫雪前已经是递减函数。假设扫雪队开始扫雪前已经下了下了t0小时的雪，每小时下雪的厚度为小时的雪，每小时下雪的厚度为h（厘米），扫（厘米），扫雪队每小时清除的雪量为雪队每小时清除的雪量为C(单位：厘米单位：厘米.公里公里)，单位，单位时间内清除的雪量时间内清除的雪量C与午后与午后t时刻积雪的厚度时刻积雪的厚度h(t+t0)之之比，就表示比，就表示t时刻扫雪的速率时刻扫雪的速率12tt0h(t+t0)C)()(0tthCtv(公里公里/小时小时) 由于头两个
3、小时清扫了两公里，即由于头两个小时清扫了两公里，即2)()(20020dttthCdttv求得求得22ln00tthC1 又由于后两个小时清扫了一公里，即又由于后两个小时清扫了一公里，即1)()(42042dttthCdttv求得求得124ln00tthC2由由1，2联解得联解得20000242tttt510t（舍去负根）（舍去负根）即即t01小时小时14分分10秒秒也就是说，大概是上午也就是说，大概是上午10时时45分分50秒开始下的雪。秒开始下的雪。四、资源的合理开发与利用四、资源的合理开发与利用 人类赖以生存的资源中，有些可以再生的，比如森林、草场、牲畜、鱼人类赖以生存的资源中，有些可以
4、再生的，比如森林、草场、牲畜、鱼类等。如何合理开发与利用这些资源呢？下面以鱼为例来简单阐述资源管理类等。如何合理开发与利用这些资源呢？下面以鱼为例来简单阐述资源管理模型。模型。 假设某养鱼场养有某经济鱼类假设某养鱼场养有某经济鱼类A0条，这种鱼的年平均增长率（出生率与条，这种鱼的年平均增长率（出生率与死亡率之差）为死亡率之差）为r，每年捕捞，每年捕捞x条。此外，从第一年开始捕捞时，每年的年出都条。此外，从第一年开始捕捞时，每年的年出都要投放一定数量的幼鱼，以使鱼类的生产能持续地进行。现在的问题是，如何要投放一定数量的幼鱼，以使鱼类的生产能持续地进行。现在的问题是，如何制定每年的捕捞量，才能避免
5、鱼类资源的枯竭而使得该鱼场获得可持续良性发制定每年的捕捞量，才能避免鱼类资源的枯竭而使得该鱼场获得可持续良性发展？展？合理假设合理假设（1）以）以A0表示初始年放养并存活的幼鱼数，以后每年投放幼鱼的工作都在年表示初始年放养并存活的幼鱼数，以后每年投放幼鱼的工作都在年初进行，且每年存活的幼鱼数都是初进行，且每年存活的幼鱼数都是Y；（2）幼鱼经过一年生长，到下一年年初才长成具有繁殖能力的成鱼，且繁）幼鱼经过一年生长，到下一年年初才长成具有繁殖能力的成鱼，且繁殖过程就在年初完成；殖过程就在年初完成；（3）捕捞作业在每年年底一次完成，且可以通过控制网眼的大小做到只捕）捕捞作业在每年年底一次完成，且可以
6、通过控制网眼的大小做到只捕捞成鱼。捞成鱼。建立模型建立模型 记记yk为第为第k年养鱼场内存有的鱼数（包括当年放养的幼鱼和自然繁殖的幼年养鱼场内存有的鱼数（包括当年放养的幼鱼和自然繁殖的幼鱼），则下一年，养鱼场原有的鱼数鱼），则下一年，养鱼场原有的鱼数yk（注，此时的（注，此时的yk已经全部是成鱼）和已经全部是成鱼）和以以yk为基数繁殖的鱼之和为为基数繁殖的鱼之和为(1+r)yk，减去捕捞的鱼数，减去捕捞的鱼数x，再加上投放的幼鱼，再加上投放的幼鱼数数Y，就得到了第，就得到了第k+1年养鱼场内存有的总鱼数，即年养鱼场内存有的总鱼数，即Yxyrykk)1(15且初值为且初值为y0=A0。求解差分方
7、程求解差分方程5，即，即)()1()1()1(.)(1()1()1()1(10112211-xYryryrxYryryrxYyrykkkkkkk+1-00)1()()1(kiikkrxYyry即鱼场第即鱼场第k年鱼量为年鱼量为,.2 , 1,) 1)1()1 (0krrxYrAykkk 如若要可持续发展，则需要每一年的鱼数都要维持在初始年份的鱼数，如若要可持续发展，则需要每一年的鱼数都要维持在初始年份的鱼数，即即600) 1)1()1 (ArrxYrAykkk解此不等式，有解此不等式，有YrAx0 即捕捞量不超过自然繁殖的部分和人工放养的部分的和就可以保持可持即捕捞量不超过自然繁殖的部分和人工
8、放养的部分的和就可以保持可持续发展。续发展。五、江河污染物的降解系数五、江河污染物的降解系数 一般说来，江河自身对污染物有一定的自然净化能力，即污染物在水环一般说来，江河自身对污染物有一定的自然净化能力，即污染物在水环境中通过物理降解、化学降解、生物降解等，可以使水中污染物浓度降低。境中通过物理降解、化学降解、生物降解等，可以使水中污染物浓度降低。这种变化的规律可以通过建立和求解微分方程来描述。这种变化的规律可以通过建立和求解微分方程来描述。 设设t时刻河水中污染物的浓度为时刻河水中污染物的浓度为N(t)，如果反映某江河自然净化能力的讲，如果反映某江河自然净化能力的讲解系数为解系数为k(0k0
9、0是比例常数，可以由该元素的半衰期（质量衰变到一半所需的是比例常数，可以由该元素的半衰期（质量衰变到一半所需的时间）来确定。时间）来确定。 设初始时刻（设初始时刻（t=0）放射性元素质量）放射性元素质量m=m0，则可求得微分方程，则可求得微分方程8的特的特解为解为temtm0)(9 为了确定方程为了确定方程9中的参数中的参数 ，假设放射性元素的半衰期为，假设放射性元素的半衰期为T T，从而有，从而有TemmT2ln200代入代入9，有，有tTemtm2ln0)(由此可以确定放射性元素从由此可以确定放射性元素从m0衰变到质量为衰变到质量为m(t)的衰变时间为的衰变时间为)(ln2ln0tmmTt
10、 10 放射性元素衰变规律常被考古、地址方面专家用来测定文物和地质年代，放射性元素衰变规律常被考古、地址方面专家用来测定文物和地质年代，其中常用的是其中常用的是14C（碳（碳-12的同位素）测定法，其原理就是大气层在宇宙射线不的同位素）测定法，其原理就是大气层在宇宙射线不断轰击下所产生的中子和氮气作用生成了具有放射性的断轰击下所产生的中子和氮气作用生成了具有放射性的14C，进一步氧化为二，进一步氧化为二氧化碳，二氧化碳被动植物吸收体内，对于具有放射性的氧化碳，二氧化碳被动植物吸收体内，对于具有放射性的14C来说，不论其存来说，不论其存放在哪里，都会不断地衰变。放在哪里，都会不断地衰变。 197
11、2年年8月，湖南长沙出土了马王堆一号墓（注：出土时因为墓中女尸历月，湖南长沙出土了马王堆一号墓（注：出土时因为墓中女尸历经千年而未腐烂曾轰动世界）。经检测，出土的木炭标本中经千年而未腐烂曾轰动世界）。经检测，出土的木炭标本中14C的平均原子蜕的平均原子蜕变速度为变速度为29.78次次/分，而新砍伐烧成的木炭中分，而新砍伐烧成的木炭中14C的平均原子蜕变速度为的平均原子蜕变速度为38.73次次/分；如果分；如果14C的半衰期为的半衰期为5568年（注：年（注：14C的半衰期在各种资料中说法不一：的半衰期在各种资料中说法不一：5568年，年，5580年，年，5730年不等），那么怎么样才能利用上面
12、的数据确定这座年不等），那么怎么样才能利用上面的数据确定这座墓的大致年代呢？墓的大致年代呢？ 在公式在公式8中，中，m0和和m(t)表示该墓下葬时和出土时木炭标本中表示该墓下葬时和出土时木炭标本中14C的含量，的含量，而检测标本中测到的是而检测标本中测到的是14C的平均原子蜕变速度，因此对第的平均原子蜕变速度，因此对第8作修改：作修改：mdtdm800)()0( )( )0( )()( mtmmtmmmtmtm11)(ln2ln0tmmTt 1000)()0( )( )0( )()( mtmmtmmmtmtm11由由10和和11有有)( )0( ln2lntmmTt 12在本案例中，在本案例中
13、，T=5568，)0( ,78.29)( mtm虽然表示下葬期虽然表示下葬期烧制的木炭烧制的木炭14C的衰变速度，但考虑宇宙射线的强度在千年内的变化不会大，的衰变速度，但考虑宇宙射线的强度在千年内的变化不会大，因此可以假设现代生物体中因此可以假设现代生物体中14C的蜕变速度与马王堆墓葬时代生物体中的蜕变速度与马王堆墓葬时代生物体中14C的衰的衰变速度相同，即可以用现代变速度相同，即可以用现代14C的平均原子蜕变速度的平均原子蜕变速度38.37次次/分代替。分代替。)( )0( ln2lntmmTt 12在本案例中，在本案例中，T=5568，)0( ,78.29)( mtm虽然表示下葬期虽然表示
14、下葬期烧制的木炭烧制的木炭14C的衰变速度，但考虑宇宙射线的强度在千年内的变化不会大，的衰变速度，但考虑宇宙射线的强度在千年内的变化不会大，因此可以假设现代生物体中因此可以假设现代生物体中14C的蜕变速度与马王堆墓葬时代生物体中的蜕变速度与马王堆墓葬时代生物体中14C的衰的衰变速度相同，即可以用现代变速度相同，即可以用现代14C的平均原子蜕变速度的平均原子蜕变速度38.37次次/分代替。分代替。203678.2937.38ln2ln5568)0( )( ln2lnmtmTt（年）（年） 即马王堆一号墓大约是即马王堆一号墓大约是2000年前我国汉代的墓（后进一步考证，墓主人年前我国汉代的墓（后进
15、一步考证，墓主人为汉代长沙国丞相利仓的夫人辛追。）为汉代长沙国丞相利仓的夫人辛追。）七、梵塔问题七、梵塔问题 传说中认为世界中心的现印度北邦瓦拉西纳县内有一座大庙的穹顶下面传说中认为世界中心的现印度北邦瓦拉西纳县内有一座大庙的穹顶下面放着一个黄金盘子，盘子上有三根钻石柱子，在其后总一根柱子上套有放着一个黄金盘子，盘子上有三根钻石柱子，在其后总一根柱子上套有64个个大小不同的中空纯金盘子（称为梵塔），且按上小下大的顺序依次排列。该大小不同的中空纯金盘子（称为梵塔），且按上小下大的顺序依次排列。该庙的和尚按梵天（吠陀时代晚期印度教三大神之一）的法令昼夜不停地每秒庙的和尚按梵天（吠陀时代晚期印度教三
16、大神之一）的法令昼夜不停地每秒把一个盘子移到没有盘子的柱子上去，或者放到比它大的盘子上面。传说如把一个盘子移到没有盘子的柱子上去，或者放到比它大的盘子上面。传说如果一旦把果一旦把64个纯金盘子组成的梵塔按原样移到另一根柱子上时，梵塔及和尚个纯金盘子组成的梵塔按原样移到另一根柱子上时，梵塔及和尚都会化为乌有，世界末日也就到来了，试问和尚们需要多少时间才能把梵塔都会化为乌有，世界末日也就到来了，试问和尚们需要多少时间才能把梵塔原样移到另一根钻石柱子上？世界末日真的会来临吗？原样移到另一根钻石柱子上？世界末日真的会来临吗？ 按传说的要求，移动盘子必须遵守规律：一次只能移动一个盘子；移动按传说的要求，
17、移动盘子必须遵守规律：一次只能移动一个盘子；移动的盘子要么放在空柱子上，要么放在比它大的盘子上。为了讨论方便，假设的盘子要么放在空柱子上，要么放在比它大的盘子上。为了讨论方便，假设按上小下大的次序依次把排好的按上小下大的次序依次把排好的t个盘子从一根柱子上原样地移动到另一根个盘子从一根柱子上原样地移动到另一根柱子上需要移动柱子上需要移动yt次，则把梵塔上的次，则把梵塔上的t+1个盘子原样地移动到另一根柱子上个盘子原样地移动到另一根柱子上可以按照下列步骤进行：可以按照下列步骤进行：（1）将梵塔上面的）将梵塔上面的t个盘子原样地移动到第二根柱子需要个盘子原样地移动到第二根柱子需要yt次；次；（2）
18、再将第）再将第t+1个盘子移动到第三个柱子只需要一次；个盘子移动到第三个柱子只需要一次；（3）最后将第二根柱子上的）最后将第二根柱子上的t个盘子原样地移动到第三根柱子上，又需要个盘子原样地移动到第三根柱子上，又需要yt次。次。完成上述三个步骤共需要完成上述三个步骤共需要yt+1+yt次，即将梵塔上面的次，即将梵塔上面的t+1个盘子原样地移动个盘子原样地移动到另一根柱子上需要到另一根柱子上需要2yt+1次，所以有次，所以有121ttyy13121ttyy13于是有于是有21122233222211222.22222212nnnttttttyyyyyyyy+)222(221011tttyy) 1(
19、1212221)21 ( 121111111yyyttttt13 13的结果表明，要将的结果表明，要将t个盘子原样地移动到另一根柱子上需要个盘子原样地移动到另一根柱子上需要2t-1次，次，所以梵塔要原样地移动到完，需要所以梵塔要原样地移动到完，需要12 tty13661064102416)2(162=1.8447x1019（秒）（秒） 5849.424（亿年）（亿年）对我们来说，这个世界末日永远不会来临！对我们来说，这个世界末日永远不会来临！八、利用差分方程解决几何问题八、利用差分方程解决几何问题问题问题1 平面内有平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，条直线，其中任何两条
20、不平行，任何三条不过同一点，求其交点个数。求其交点个数。 设满足条件的设满足条件的n条直线的交点数为条直线的交点数为an，显然，显然a1=0,a2=1,，若，若n-1条直线的条直线的交点数为交点数为an-1，则在添加第，则在添加第n条直线时，按照要求，会与前面的条直线时，按照要求，会与前面的n-1条直线都条直线都有交点，所以有有交点，所以有)1(1naann14根据根据14和初始值，可以求得和初始值，可以求得1.)2()1(12211aanaanaannnn+) 1(21) 1(211nnnaan问题问题2 平面内平面内n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，问条直线，其中任何两条不
21、平行，任何三条不过同一点，问这这n条直线将平面分成多少部分。条直线将平面分成多少部分。 设满足条件的设满足条件的n条直线将平面分成的部分为条直线将平面分成的部分为an，显然，显然a1=2；a2=4；n-1条直线将平面分成条直线将平面分成an-1部分，当第部分，当第n条直线添加到平面内时，与前面条直线添加到平面内时，与前面n-1条条直线都有交点，且交点都不与前面的交点重复，当第直线都有交点，且交点都不与前面的交点重复，当第n条直线添加时，把原条直线添加时，把原来的每条直线两边都一分为二，则有来的每条直线两边都一分为二，则有naann1-152.112211aanaanaannnn+) 1(211
22、)21 (1321nnnnaan问题问题3 平面有平面有n个圆，任意两个圆都交于两点，任意三个圆都不相交于个圆，任意两个圆都交于两点，任意三个圆都不相交于同一个点，问这同一个点，问这n个圆将平面分成多少个部分？个圆将平面分成多少个部分？ 设满足条件的设满足条件的n个圆将平面分成个圆将平面分成an部分，显然部分，显然a1=2，a2=a1+2,a3=a2+2x2，若平面上已经有，若平面上已经有n-1个圆，已经将平面分割成个圆，已经将平面分割成an-1部部分，分， 当第当第n个圆添加进来时，按照已知条件，原来的个圆添加进来时，按照已知条件，原来的n-1个圆中每个圆都把个圆中每个圆都把第第n个圆一分为
23、二，即个圆一分为二，即)1(21naann152.)2(21221aanaann+2) 1(2) 1(22)1(21 (22) 1(22221nnnnnnaan九、逻辑斯蒂方程九、逻辑斯蒂方程 生产活动要消耗资源，生物生存也要消耗资源，所以研究生产产量及速生产活动要消耗资源，生物生存也要消耗资源，所以研究生产产量及速度和研究生物种群数量增长和增长率是同一类问题，时常用到微分方程。度和研究生物种群数量增长和增长率是同一类问题，时常用到微分方程。1、马尔萨斯模型（、马尔萨斯模型（Malthus） 设某种群的生育率为设某种群的生育率为b，死亡率为，死亡率为d，b，d都是常数，则都是常数，则r=b-d
24、为该种群为该种群的自然增长率，它也是常数。设的自然增长率，它也是常数。设N(t)为为t时刻该种群的数量，则时间段时刻该种群的数量，则时间段t,t+t群体数量的变换为群体数量的变换为)()()(tNtrtNttN由此得到群体数量满足的微分方程由此得到群体数量满足的微分方程rNdtdN1又假设又假设t0时刻种群数量为时刻种群数量为N0，即，即N(0)=N0，则，则1的特解为的特解为)(00)(ttreNtN2即群体数量按指数规律增长，即群体数量按指数规律增长，2又称为马尔萨斯生物总群增长定律。又称为马尔萨斯生物总群增长定律。例如，某人观察某田地的田鼠数量：开始有例如，某人观察某田地的田鼠数量：开始
25、有2只，只，2个月后繁殖为个月后繁殖为5只，只，6个个月后为月后为20只，只，10个月后达到个月后达到109只。若假设田鼠的增长率为只。若假设田鼠的增长率为40%，则由拟合，则由拟合知，田鼠的数量规律为知，田鼠的数量规律为0,2)(4 . 0tetNt t=0 2 6 10;N=2 5 20 109; Nt=2*exp(0.4*t); t;N;Ntans = 0 2.0000 6.0000 10.0000 2.0000 5.0000 20.0000 109.0000 2.0000 4.4511 22.0464 109.1963时间时间t观测值观测值N理论值理论值Nt经过计算，得到比较如下：经过
26、计算，得到比较如下： 由此可见，用马尔萨斯模型描述由此可见，用马尔萨斯模型描述10个月田鼠的数量变化规律相当准确个月田鼠的数量变化规律相当准确的。但是的。但是 t=24,120; format long Nt=2*exp(0.4*t); Nt(1)ans = 2.952956313115459e+004 Nt(2)ans = 1.403347182419526e+021计算结果显示的结果计算结果显示的结果不可能实现。不可能实现。2、Logistic模型（逻辑斯蒂模型，自限模型，模型（逻辑斯蒂模型，自限模型，S型曲线增长模型）型曲线增长模型） 1838年，比利时生物数学家皮埃尔年，比利时生物数学
27、家皮埃尔.弗朗索瓦弗朗索瓦.韦吕勒韦吕勒(P.F.Verhulst)在研在研究人口增长规律时提出的逻辑斯蒂模型。究人口增长规律时提出的逻辑斯蒂模型。 考虑在自然环境下，群体可达到的最大总数为考虑在自然环境下，群体可达到的最大总数为K（生存极限），若开（生存极限），若开始时自然增长率为始时自然增长率为r，随着种群体的增大，增长率下降，一旦总群数达到，随着种群体的增大，增长率下降，一旦总群数达到K，则总群停止生长，即增长率为则总群停止生长，即增长率为0，因此增长率是该群体中生物总数的函数，因此增长率是该群体中生物总数的函数，即即.)0(),1(0NNKNrNdtdN33式变形为式变形为2NKrrN
28、dtdN3式变形为式变形为2NKrrNdtdN44中第二项反映了群体在有限的生存空间和资源下对自身增长的限制，称中第二项反映了群体在有限的生存空间和资源下对自身增长的限制，称为自限制，为自限制，r/K为自限系数。为自限系数。 微分方程微分方程3是一阶可分离变量微分方程，在初值条件下，可求得其特是一阶可分离变量微分方程，在初值条件下，可求得其特解为解为rtrtrteNKKkeNeKNtN)1(1)1()(0005rtrtrteNKKkeNeKNtN)1(1)1()(0005 从从5可以看出，（可以看出，（1）当）当N0K时，时，N(t)K（一开始生物群就泛滥成（一开始生物群就泛滥成灾）灾）;（2
29、）当）当N0K时，时，N(t)K（一开始生物群体稀少）。但无论如何，都（一开始生物群体稀少）。但无论如何，都有有KtNt)(limN(t)对对t的一阶导数和二阶导数为（在（的一阶导数和二阶导数为（在（2）的情况下）的情况下:N(t)K）dtdNKNrdtdNNKrdtdNrdtNdNKNrdtdN)21 (2)1 (22N(t)对对t的一阶导数和二阶导数为（在（的一阶导数和二阶导数为（在（2）的情况下）的情况下:N(t)K）dtdNKNrdtdNNKrdtdNrdtNdNKNrdtdN)21 (2)1 (22由此可知由此可知, 0dtdN即即N(t)是是t的单调递增函数，另一方面，的单调递增函数，另一方面，0|, 0|, 0|222222222KNKNKNdtNddtNddtNd即曲线即曲线N(t)在在N=K/2对应的点处为拐点，前凹后凸，即对应的点处为拐点，前凹后凸，即tKK/2N生物总群增长曲线生物总群增长曲线NN/2dtdN生物总群增长率与总群数量的关系生物总群增长率与总群数量的关系3、Logistic模型在其它领域的应用模型在其它领域的应用1 生产总值的增长模型生产总值的增长模型2 人口增长模型人口增长模型3 有限人口的传染病模型有限人口的传染病模型4 净利润与广告支出之间的关系模型净利润与广告支出之间的关系模型5 信息传播模型信息传播模型
