1、离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量的均值与方差、正态分布、正态分布重点难点重点难点教材回扣夯实双基教材回扣夯实双基重点：理解掌握随机变量的期望、方差重点：理解掌握随机变量的期望、方差的概念和正态分布的概念的概念和正态分布的概念. 难点：随机变量的期望与方差的意义、难点：随机变量的期望与方差的意义、正态曲线的性质正态曲线的性质.基础梳理基础梳理1均值均值(1)若离散型随机变量若离散型随机变量X的分布列为的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn则称则称EX_为为随机变量随机变量X的均值或数学期望，它反的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的映了离散型随机变量取值的_(2)若若Ya
2、Xb，其中，其中a，b为常数，则为常数，则Y也是随机变量，且也是随机变量，且E(aXb)_.x1p1x2p2xipixnpn平均水平平均水平aEXbnpp2方差方差(1)设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布列为的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipnX(2)D(aXb)_.(3)若若X服从两点分布，则服从两点分布，则DX_(4)若若XB(n，p)，则，则DX_a2DXp(1p)np(1p)思考探究思考探究1随机变量的均值、方差与样本均随机变量的均值、方差与样本均值、方差的关系是怎样的？值、方差的关系是怎样的？提示：提示：随机变量的均值、方差是一随机变量的均值、方差是一个常数，样本均值
3、、方差是一个随个常数，样本均值、方差是一个随机变量，随观测次数的增加或样本机变量，随观测次数的增加或样本容量的增加，样本的均值、方差趋容量的增加，样本的均值、方差趋于随机变量的均值与方差于随机变量的均值与方差(3)正态曲线的特点正态曲线的特点曲线位于曲线位于x轴轴_,与与x轴轴_；曲线是单峰的，它关于直线曲线是单峰的，它关于直线_对称；对称；曲线在曲线在x处达到峰值处达到峰值_；曲线与曲线与x轴之间的面积为轴之间的面积为_；上方上方不相交不相交x1当当一定时，曲线随着一定时，曲线随着的变化而沿的变化而沿x轴平移；轴平移；当当一定时一定时,曲线的形状由曲线的形状由确定确定_，曲线越，曲线越“瘦高
4、瘦高”，表示总体，表示总体的分布越的分布越_；_，曲线越，曲线越“矮胖矮胖”，表示总体的分布越，表示总体的分布越_越小越小集中集中越大越大分散分散课前热身课前热身答案：答案：B答案：答案：B3口袋中有口袋中有5只球，编号分别为只球，编号分别为1,2,3,4,5，从中任意取，从中任意取3只球以只球以X表示表示取出的球的最大号码，则取出的球的最大号码，则X的期望的期望EX的值是的值是()A4 B4.5C4.75 D5答案：答案：B4在篮球比赛中，罚球命中在篮球比赛中，罚球命中1次得次得1分，不中得分，不中得0分如果某运动员罚球分如果某运动员罚球命中的概率为命中的概率为0.7，那么他罚球，那么他罚球
5、1次的次的得分得分X的均值是的均值是_答案：答案：0.75有一批产品，其中有有一批产品，其中有12件正品和件正品和4件件次品，有放回地任取次品，有放回地任取3次，每次次，每次1件，若件，若X表 示 取 到 次 品 的 次 数 ， 则表 示 取 到 次 品 的 次 数 ， 则 D ( X ) _.考点考点1离散型随机变量的均值与方离散型随机变量的均值与方差差求离散型随机变量求离散型随机变量X的均值与方差的方法的均值与方差的方法步骤步骤(1)理解理解X的意义，写出的意义，写出X可能取的全部可能取的全部值值(2)求求X取每个值的概率取每个值的概率考点探究讲练互动考点探究讲练互动(3)写出写出X的分布
6、列的分布列(4)由均值的定义求由均值的定义求EX.(5)由方差的定义求由方差的定义求DX.(1)求该生至少有求该生至少有1门课程取得优秀成门课程取得优秀成绩的概率；绩的概率；(2)求求p，q的值；的值；(3)求数学期望求数学期望E.【规律方法规律方法】离散型随机变量的分离散型随机变量的分布列、均值、方差是三个紧密相连的布列、均值、方差是三个紧密相连的有机统一体，一般在试题中综合在一有机统一体，一般在试题中综合在一起进行考查其解题的关键是求出分起进行考查其解题的关键是求出分布列，然后直接套用公式即可在解布列，然后直接套用公式即可在解题过程中注意利用等可能性事件、互题过程中注意利用等可能性事件、互
7、斥事件、相互独立事件或独立重复试斥事件、相互独立事件或独立重复试验的概率公式计算概率验的概率公式计算概率考点考点2均值与方差的实际应用均值与方差的实际应用离散型随机变量均值与方差的应用问题离散型随机变量均值与方差的应用问题,一般应先分析题意，明确题目欲求的是一般应先分析题意，明确题目欲求的是均值还是方差，在此基础上将题中考查均值还是方差，在此基础上将题中考查的数量指标用随机变量表示，把实际问的数量指标用随机变量表示，把实际问题转化为随机变量的均值与方差题转化为随机变量的均值与方差价格下降的概率都是价格下降的概率都是p(0p1)，设乙，设乙项目产品价格在一年内进行两次独立项目产品价格在一年内进行
8、两次独立的调整记乙项目产品价格在一年内的调整记乙项目产品价格在一年内的下降次数为的下降次数为X，对乙项目每投资十，对乙项目每投资十万元，万元，X取取0、1、2时，一年后相应利时，一年后相应利润是润是1.3万元、万元、1.25万元、万元、0.2万元，随万元，随机变量机变量X1，X2分别表示对甲、乙两项分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后所获的利润目各投资十万元一年后所获的利润(1)求求X1，X2的分布列和均值的分布列和均值EX1，EX2；(2)当当EX1EX2时，求时，求p的取值范围的取值范围【思路分析思路分析】(1)求分布列，应先确定求分布列，应先确定X2的取值，再求的取值，再求X2的取值
9、对应的概率；的取值对应的概率；(2)由由EX1EX2，找出关于，找出关于p的不等式，即的不等式，即可求出可求出p的范围的范围【解解】(1)X1的分布列为的分布列为X012P(1p)22p(1p)p2故故X2的概率分布列为的概率分布列为X21.31.250.2P(1p)22p(1p)p2所以所以EX21.3(1p)21.252p(1p)0.2p21.3(12pp2)2.5(pp2)0.2p2p20.1p1.3.(2)由由EX11.18，整理得整理得(p0.4)(p0.3)0，解得解得0.4p0.3.因为因为0p1，所以当，所以当EX1EX2时，时，p的取值范围是的取值范围是0p0.3.【失误探究
10、失误探究】在求解在求解X2的分布列的分布列时时,往往因求不出往往因求不出X2的各个取值的概的各个取值的概率而解不出本题，出现这种现象的率而解不出本题，出现这种现象的原因是：没有搞清原因是：没有搞清X取取0,1,2的概率就的概率就是是X2取取1.3万元，万元，1.25万元，万元，0.2万元万元的概率的概率考点考点3正态分布正态分布关于正态总体在某个区间内取值的概率求关于正态总体在某个区间内取值的概率求法法(1)熟记熟记P(X)，P(2X2)，P(3X3)的值的值(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为轴之间的面积为1. 设设XN(5,1)，求，求P(
11、6X7)【思路分析思路分析】利用正态分布的对称利用正态分布的对称性，性，P(6X7)P(3X4)【解解】由已知由已知5，1.P(4X6)0.6826，P(3X7)0.9544.P(3X4)P(6X7)0.95440.68260.2718.【名师点评名师点评】在利用对称性转化在利用对称性转化区间时，要注意正态曲线的对称轴区间时，要注意正态曲线的对称轴是是x，而不是，而不是x0(0)互动探究互动探究若其他条件不变，则若其他条件不变，则P(X7)及及P(5X6)应如何求解？应如何求解？解：由解：由1，5，P(3X7)P(521X521)0.9544，方法技巧方法技巧1释疑离散型随机变量的均值释疑离散
12、型随机变量的均值(1)均值是算术平均值概念的推广，是概均值是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均率意义下的平均(2)EX是一个实数，由是一个实数，由X的分布列唯一确的分布列唯一确定，它描述定，它描述X取值的平均状态取值的平均状态(3)教材中给出的教材中给出的E(aXb)aEXb,说明随机变量说明随机变量X的线性函数的线性函数YaXb的均值等于随机变量的均值等于随机变量X均值的线均值的线性函数性函数2离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差(1)DX表示随机变量表示随机变量X对对EX的平均偏的平均偏离程度，离程度，失误防范失误防范1对于应用问题，必须对实际问题进行对于应用问题，必须对实际问题
13、进行具体分析，一般要先将问题中的随机变量具体分析，一般要先将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的概设出来，再进行分析，求出随机变量的概率分布列，然后按定义计算出随机变量的率分布列，然后按定义计算出随机变量的期望、方差或标准差期望、方差或标准差2离散型随机变量的期望与方差若离散型随机变量的期望与方差若存在则必唯一，期望存在则必唯一，期望E()的值可正也的值可正也可负，而方差的值则一定是一个非负可负，而方差的值则一定是一个非负值它们都由值它们都由的分布列唯一确定的分布列唯一确定. 3D(ab)a2D()，在记忆和使用，在记忆和使用此结论时，请注意此结论时，请注意D(ab)aD()b，
14、D(ab)aD()4在实际问题中进行概率、百分比计在实际问题中进行概率、百分比计算时，关键是把正态分布的两个重要算时，关键是把正态分布的两个重要参数参数，求出，然后确定三个区间求出，然后确定三个区间(范范围围)：(，)，(2,2),(3，3)与已知概率值进行联系与已知概率值进行联系求解求解命题预测命题预测从近几年的广东高考试题来看，离散型从近几年的广东高考试题来看，离散型随机变量的均值与方差是高考的热点随机变量的均值与方差是高考的热点,题题型为填空题或解答题，属中档题常与型为填空题或解答题，属中档题常与排列、组合、概率等知识综合命题，既排列、组合、概率等知识综合命题，既考查基本概念，又注重考查
15、基本运算能考查基本概念，又注重考查基本运算能力和逻辑推理、理解能力力和逻辑推理、理解能力考向瞭望把脉高考考向瞭望把脉高考预测预测2013年广东高考，离散型随机年广东高考，离散型随机变量的均值与方差仍然是高考的热变量的均值与方差仍然是高考的热点点,同时应特别注意均值与方差的同时应特别注意均值与方差的实际应用实际应用规范解答规范解答 (本题满分本题满分12分分)(2010高考浙江高考浙江卷卷)如图，一个小球从如图，一个小球从M处投入，通过处投入，通过管道自上而下落到管道自上而下落到A或或B或或C.已知小球已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的性是相等的某商家按上述投球方式进行促销活动某商家按上述投球方式进行促销活动,若若投入的小球落到投入的小球落到A，B，C，则分别设为，则分别设为1,2,3等奖等奖(1)已知获得已知获得1,2,3等奖的折扣率分别为等奖的折扣率分别为50%,70%,90%.记随机变量记随机变量为获得为获得k(k1,2,3)等奖的折扣率，求随机变量等奖的折扣率，求随机变量的分布列及期望的分布列及期望E；(2)若有若有3人次人次(投入投入1球为球为1人次人次)参加促参加促销活动，记随机变量销活动，记随机变量为获得为获得1等奖或等奖或2等奖的人次，求等奖的人次，求P(2)【解解】(1)由题意得由题意得的分布列为的分布列为
