1、第三章第三章 导数及其应用复习小结导数及其应用复习小结*本章知识结构本章知识结构 导数导数导数概念导数概念导数运算导数运算导数应用导数应用 函数的瞬时变化率函数的瞬时变化率 运动的瞬时速度运动的瞬时速度 曲线的切线斜率曲线的切线斜率 基本初等函数求导基本初等函数求导 导数的四则运算法则导数的四则运算法则 函数单调性研究函数单调性研究 函数的极值、最值函数的极值、最值 最优化问题最优化问题一一. 导数的定义和几何意义导数的定义和几何意义函数的平均变化率函数的平均变化率函数函数y=f(xy=f(x) )的定义域为的定义域为D,xD,x1.1.x x2 2D,f(x)D,f(x)从从x x1 1到到
2、x x2 2平均变化率为平均变化率为: :121)()f xxx2f(xOABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=y函数的瞬时变化率函数的瞬时变化率xxfxxfxyxx)()(limlim0000导数导数)(0 xf 割线的斜率割线的斜率切线的斜率切线的斜率过过p(x0,y0)作一曲线的切线方程作一曲线的切线方程1) p(x0,y0)为切点为切点切线方程切线方程00y - y = f (x)(x - x )2)p(x0,y0)不为切点不为切点 切点切点11P(x ,y )1110110y = f(x )y - y= f (x )x - x1.2.(
3、)3.4.5.ln6.7.8.nRa nn-1nn-1 xxxxxxxx a a 若f(x)=c，则f(x)=0若f(x)=c，则f(x)=0若f(x)=x ，则f(x)=nx若f(x)=x ，则f(x)=nx若f(x)=sinx，则f(x)=cosx若f(x)=sinx，则f(x)=cosx若f(x)=cosx，则f(x)=-sinx若f(x)=cosx，则f(x)=-sinx若f(x)=a ，则f(x)=a若f(x)=a ，则f(x)=a若f(x)=e ，则f(x)=e若f(x)=e ，则f(x)=e1 1若f(x)=log x，则f(x)=若f(x)=log x，则f(x)=xlnaxl
4、na1 1若f(x)=lnx，则f(x)=若f(x)=lnx，则f(x)=x x二二.对基本初等函数的导数公式的应用对基本初等函数的导数公式的应用三三.导数的基本运算导数的基本运算四四.导数的应用导数的应用（1）单调性区间）单调性区间1) 1) 如果恒有如果恒有 f(x)0f(x)0，那么，那么 y=fy=f（x) x) 在这个区间（在这个区间（a,ba,b) )内单调递增；内单调递增；2) 2) 如果恒有如果恒有 f(x)0f(x)0，那么，那么 y=fy=f（x x）在这个区间在这个区间(a,b(a,b) )内单调递减。内单调递减。一般地，函数一般地，函数y yf f（x x）在某个区间）
5、在某个区间(a,b(a,b) )内内已知三次函数已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d（xR）的导数为的导数为f（x）=3ax2+2bx+c(1)有三个单调区间有三个单调区间(2)有极大值和极小值有极大值和极小值(3)有极值有极值(4)仅有一个单调区间仅有一个单调区间(5)没有极值没有极值00a00a（2）极值与最值）极值与最值2)2)如果如果a a是是f(x)=0f(x)=0的一个根，并且在的一个根，并且在a a 的左侧的左侧附近附近f(x)0f(x)0f(x)0，那么是，那么是f(af(a) )函数函数f(x)f(x)的一个极小值的一个极小值. . 1)1)如果如果b b是是f(x
6、)=0f(x)=0的一个根，并且在的一个根，并且在b b左侧附近左侧附近f(x)0f(x)0，在，在b b右侧附近右侧附近f(x)0f(x) x2对任对任意的意的a( (0，+) )都成立，求实数都成立，求实数x的取的取值范围值范围.一、利用分离参数法解决恒成立问题一、利用分离参数法解决恒成立问题 已知函数已知函数f(x)=ax - -lnx . 若若f(x)1在在 ( (1，+) )上恒成立，求上恒成立，求a的取值范围的取值范围.解题依据：解题依据：（1 1）af(x)恒成立恒成立（2 2）af(x)恒成立恒成立max)( xfamin)( xfa【例例4】 当当(1,2)x240 xmxm
7、时，不等式时，不等式恒成立，恒成立，则则的取值范围是的取值范围是 . (1,2)x240 xmx24xmx 244( )xf xxxx( )f x(1,2)( )(1)5maxf xf5m 解：当解：当时，由时，由得得. .令令则易知则易知在在上是减函数，上是减函数，. .所以所以2. 变量分离法：变量分离法：强调应用分离参数法强调应用分离参数法例一：已知函数 ，（1）函数 有三个零点，求参数 的取值范围？32( )69f xxxx 2fxf xaa含参数的的函数零点个数含参数的的函数零点个数函数 有三个零点，求参数 的取值范围？2fxfxaa即：即：04a )0()(2xxexxf已知函数已知函数求求 有解时有解时m的范围的范围mxf)(三：课后练习三：课后练习(2014年全国卷）已知函数年全国卷）已知函数 ，若，若 存在唯一的零存在唯一的零点点 ，且，且 ， 则则 的取值范围？的取值范围？ 3231f x axx f x0 x00 x aTHANK YOUSUCCESS2022-5-26可编辑
