1、 科目代码：813 科目名称：概率论与数理统计 第 1 页 共 2 页 南京审计大学南京审计大学 2021 年硕士研究生招生年硕士研究生招生考试考试初试初试（笔试）（笔试）试题试题（ A 卷卷 ） 科目代码: 813 满分: 150 分 科目名称: 概率论与数理统计 注意: 认真阅读答题纸上的注意事项；认真阅读答题纸上的注意事项； 所有答案必须写在所有答案必须写在答题纸答题纸上， 写在本试题纸或草稿纸上均无效；上， 写在本试题纸或草稿纸上均无效；本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回！本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回！ 一、计算题（共一、计算题（共 3 小题，每题小题，每题 15 分，共
2、分，共 45 分）分） 1. 设随机变量X服从标准正态分布(0,1)N， （1）求|YX的概率密度函数( )Yfy；（2）求Y的变异系数。 2. 设随机变量X服从均匀分布(0,1)U，当给定Xx时，随机变量Y的条件概率密度为 |1,0( | )0Y Xxyfy xx，其他， （1）求X和Y的联合概率密度( , )f x y；（2）求Y的边缘密度( )Yfy；（3）求概率()P XY。 3. 设1,nXX是来自正态分布( ,1)N的样本，考虑如下假设检验问题 0123HH：,：， 若检验由拒绝域2.6WX确定。 （1）当20n 时，求检验犯两类误差的概率； （2）如果要使得检验犯第二类错误的概率
3、0.01，n最小应取多少？ 二、综合题（共二、综合题（共 3 小题，每题小题，每题 15 分，共分，共 45 分）分） 1. 甲、 乙两选手进行乒乓球单打比赛， 已知在每局中甲胜的概率为 0.6， 乙胜的概率为 0.4。比赛可采用三局二胜制或者五局三胜制， 问哪一种比赛制度对甲更有利？ （需要分别计算甲在这两个比赛制度下的获胜概率） 2. （1）设1,nXX是来自总体密度函数(1)( ; ),0,1f xc xxc c的样本， 求参数的最大似然估计； （2）设总体为均匀分布( ,1)U ，的先验分布为均匀分布(10,16)U。现有三个观测值：11.7，11.1，12.0。求的后验分布。 科目代
4、码：813 科目名称：概率论与数理统计 第 2 页 共 2 页 3. 在无理数3.1415926的前 800 位小数中，数字0,1,2,9各出现的次数如下： 数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 频数 74 92 83 79 80 73 77 75 76 91 利用皮尔逊2拟合优度检验方法，检验这 10 个数字的出现是否是等概率的？ （0.05） 三、应用题（共三、应用题（共 3 小题，每题小题，每题 15 分，共分，共 45 分）分） 1. 袋中装有m枚正品硬币、n枚次品硬币(次品硬币的两面均印有国徽)，在袋中任取一枚，将它投掷r次， （1）求投掷r次都出现国徽的概率； （2）已知投
5、掷r次都出现国徽，问这枚硬币是正品的概率。 2. 现在人民富裕了，小轿车越来越多，各小区的车位日益紧张。假设一小区有 200 个家庭，每个家庭拥有汽车辆数X的分布律为(0)0.1P X ，(1)0.6P X ，(2)0.3P X ，求需要多少车位，才能使每辆汽车都拥有一个车位的概率至少为 0.95。 3. 在钢丝碳含量对于电阻效应的研究中，得到以下数据： 碳含量x(%) 0.10 0.30 0.40 0.55 0.70 0.80 0.95 电阻y() 15 18 19 21 22.6 23.8 26 经计算7777722111113.8,145.4,2.595,3104.2,85.61iiii
6、iiiiiiixyxyx y， （1） 建立线性回归方程yabx； （2） 使用t检验对建立的回归方程做显著性检验( =0.01)。 （3） 求0.50 x 处观察值y置信水平为 0.95 的预测区间。 四、证明题（共四、证明题（共 2 小题，第小题，第 1 小题小题 7 分，第分，第 2 小题小题 8 分，分，共共 15 分）分） 1. 设12,XX是来自正态分布2(0,)N的简单随机样本，证明21212(1,1)XXYFXX. 2. 设1,nXX是来自泊松分布( )P的简单随机样本，证明1niiTX是充分统计量。 （本试卷可能用到的（本试卷可能用到的数和数和分位数：分位数：52.236，21.414，(1.645)0.95，(2.68)0.9963，(1.79)0.9633，(2.33)0.9900，20.05(9)3.325, 20.05(10)3.940,20.95(9)16.919, 20.95(10)18.307，0.995(5)4.0322t，0.975(5)2.5706t，0.995(7)3.4995t，0.975(5)2.3646t，这里分位数均为下侧分位数）
