1、1 最优化设计的基本概念 最优化就是追求最好结果或最优目标，从所有可能方案中选择的最合理的一种方案。在进行工程设计、物资运输或资源分配等工作中，应用最优化技术，可以帮助我们选择出最优方案或作出最优决策。目前，最优化方法在工程技术、自动控制、系统工程、经济计划企业管理等各方面都获得了广泛应用。 最优化设计是从可能设计中选择最合理的设计，以达到最优目标。搜寻最优设计的方法就是最优化设计法，这种方法的数学理论就是最优化设计理论。最优化设计方法是现代设计方法的一种。 微积分中遇到的函数极值问题是最简单的最优化问题。I.1函数的极值 最简单的最优化设计问题，就是微积分中的求函数极值问题。它是应用数学的一
2、个分支，已渗透到科学、技术、工程、经济各领域。 例1.1边长为a的正方形钢板，设计制成正方形无盖水槽，如图：1.1所示，在四个角处剪去相等的正方形，如何剪法使水槽容积虽大？ 解：设剪去的正方形边长为x，与此相应的水槽容积为 解出两个驻点 x=a/2和x=a/6 第一个驻点没有实际意义。现在判别第二个驻点是否为极大点。因为 V(X=a/6)=-4a0说明x=a/6的驻点是极大点。 结论是，每个角剪去边长为a6的正方形可使所制成的水槽容积最大。一般记为 Max V（x）。 例1.2图1.2所示的对称两杆支架，由空心圆管构成。顶点承受的荷载为2P，支座间距为2L，圆管壁厚为6。设密度为P，弹性模量为
3、E，屈服极限为(T。问如何设计圆管平均直径d和支架高度H，使支架的重量最轻？ 解：以圆管平均直径d和支架高度H为两个未知变量。支架总重量的数学表达式为W(H.d)= 2Bpbd最轻支架重量w，一般记为mix W。 式(1.2)中变量d和H还必须满足以下条件： 图1.1正方形钢板 图I 2两杆支架 (1)圆管的压应力小于或等于压杆稳定临界应力Fcr。由材料力学可知，压杆稳定的临界应力为由此得稳定约束条件 (2)圆管压应力小于或等于材料的屈服极限Fy，由此得强度约束条件 (3)变量d和H为有界变量，由此得几何约束条件dminddmax，HminHHmax式中：dmin、dmax、Hmin、Hmax
4、分别为d和H的下界值、上界值。 上述支架的最优设计问题表示为： 求设计变量d和H，一般记为 X(或X)=d H T =X1 X2T 式(1.2)中W(d，H)，一般记为W(x)，称为目标函数。使目标函数最小记为满足以下约束条件gl(X)=g2(X )=g3(x)= dmin-d0g4( X) =d-dmax095(X )= Hmin-H096(X )= H- Hmax0一般记为st Gi (X)0，i=1，2，m 用计算函数极值的分析法，寻求这个问题的最优解。 若假定最优化设计发生在构件中应力达到屈服极限的情形，即选定强度约束方程式（1.4)为等式形式，即 将上式代人目标函数W的方程式(1.2
5、)中，消去变量d，使目标函数成为一个变量H的函数W=计算函数w对变量H的一阶导数，并使之等于零，求得使重量W为最小值时的H解。即由 即当H等于L时，支架总重量最小。 以上两个例题都是微积分中典型的极值问题，它们虽然简单，却代表了经典最优设计出两类问题。 第一，无约束极值问题（例1.1所示）。maxF(x1, x2xn)或：mixF(x1, x2xn)这里的F（x1, x2xn）是定义在n维空间上的可微函数。 如果F(X)在x=xo处满足 F(X) - F( Xo)0，且axb，aXob (1 6)则称F(x)在a，b上的x=xo处有一相对极大值或局部极大值，式(1.6)中的e为一正的小量。 如
6、果F (X)在x=Xo处满足 F(X) - F(Xo)0.，且aXb,aXob (1.7)则称F(X)在a，b上的X=Xo处有一绝对极大值或全域极大值。 如果将式(1.6)和式(1.7)中第一式的“”或“”，则称F(X)在X=Xo处分别有一相对极小值和绝对极小值。 只有当F(Xo)=0时，x= xo处才能满足极大或极小的条件式(1.6)，但这只是必要条件，而不是充分条件。 相对极小的必要条件是F(Xo)=0时，而其充要条件是F(Xo)=0时，F”(Xo)0时；反之，相对极大的必要条件是F(Xo)=0，而其充要条件则是F(Xo)=0，F”(Xo) n，这种情况下的最优化问题无解。（2)确定性和不
7、确定性最优化问题。在确定性最优化问题中，每个变量值是确定的。而在随机（或概率）最优化问题中，某些变革的取值是不确定的。但根据大量实验统计，可以知道变量取值服从一定的概率分布。如电力系统的可靠性问题就是一个随机最优化问题称为随机规划。近年来专家学者认识到由于不可能给事物明确定义和评定标准而存在的模糊性不确定因素，考虑了模糊性因素的最优化问题称为模糊优化设计。(3)线性与非线性最优化问题。如果耳标函数和所有约束函数式都是变量的线性函数，则这种最优化问题称为线性规划。如果目标函数或约束函数式中任一个是变量的非线性函数，则称为非线性规划。 用线性函数近似非线性最优化问题中前非线性函数，就可用线性规划求
8、解非线性规划问题一在求得的最优解附近，弄对非线性两数作线性近似，可再一次用线性规划求解。用一连串线性规划去近似求解一个非线性规划问题，称为近似规划。如果目标函数为二次型，而约束函数式是线性的，则称为二次规划问题。如果目标函数及约束函数式具有多元多项式的形式，则这种非线性规划称为几何规划。(4)静态和动态最优化问题。若最优化问题的解不随时间而变，则称为静态最优化问题，如大坝、水闸等的最优化设计；若最优化问题的解随时间而变，即变量是时间t的函数，则称为动态优化问题，即最优控制问题。这种情况下，变量分为状态变量和控制变量两种。求解动态最优化问题有动态规划法、极大值原理等。(5)网络最优化问题。网络最
9、优化就是从图论的角度来研究网络，并用计算机来寻求这个网络中具有最优参数的路径，如最大流、最短路等。网络最优化是一种复杂系统的规划方法，在运输网络、电路网络、计算机网络以及工程施工网络的分析和设计规划中都有广泛的应用。1.3.4其他几个基本概念 (1)设计空间、设计点。以设计变量为坐标轴所张的空间，称为设计空间。在n个设计变量情况下是一个n维超越空间；只有3个设计变量时，则称为一般的三维空间；只有两个设计变量时，则称为二维平面空间设计空间中的点称为设计点。 (2)约束曲面（线）、约束界面（线）。约束有两类，一类是等式约束，一般是平衡条件（如位移法典型方程）或变形协调条件（如力法典型方程），是结构
10、分析内容，限于由它们来计算内力、应力和位移，因而不参与局部优化过程，故在工程结构优他设计的数学规划里一般只考虑不等式约束。如将不等式约束取等式，则可在设计空间里绘出一个个面或一条条线，这些面或线统称为约束曲面（线）。约束界面（线）是由最严约束曲面（线）去掉重叠部分所联成的曲面（线）。约束界面（线）将设计空间划分为两个区间，一为可行区，一为非可行区。在可行区中的点都满足所有约束条件。 (3)目标函数等值面（线）。令目标函数等于不同的值，即可在设计空司绘出互相平行的一组面或线族。在同一个面或线上不同点，有相同的目标函数值，故各面或线称为等值面或等值线，共同称为等值面（线）族。 (4)最优设计。设计
11、空间中的任何一点，代表一个设计，称为设计点。在可行区内的任一点，代表一个可行设计，因为该点满足所有的约束条件。在非可行区内的任一点，代表一个非可行设计，因为它没有满足所有的约束在约束界面上的任一点代表一个好的可行设计，因为该点使某些约束临界。最优设计点只能是约束界面与目标函数等值线相切或相触的一点，因为该点不仅可行，而且使目标两数值最小。1.4工程结构优化设计发展任何一项工程设计总是要求在一定的技术和物质条件下，能取得一个技术经济指标为最佳的设计方案。优化设计就是在这样一种思想指导下产生和发展起来的。在工业民用建筑中常见到的网架结构、框架结构、压力容器韵薄壁结构，在水工建筑中碰到的大坝结构，如
12、重力坝、拱坝、土石坝等，设计时，对其几何边界都有较大的选择自由。因此，工程设计人员可对结构赋予各种形式，结构的形状变化就很大。尽管工程结构类型千姿百态，但都可以用设计参数确定。如果改变结构类型的实际形状，就有可能取得更好的经济效益，这种把设计扩大到包括结构外形作为更进一步的变量，将使目前的设计水准提高一大步，如此有形状设计变量的最优设计叫形状优化设计。在确定设计参数时，既要使设计方案满足预定的设计要求，又要使之具有优良的技术性能指标，设计者往往需要经过洋细的分析计算和比较，才能从几个或多个可行方案中找出一个好的方案。但是若采用的计算工具比较落后，在完成这一设计过程时，设计者不得不依赖经验，以及
13、类比、推理和直观判断等一系列智力过程。实际上，这是很难找出最优设计方案的。另外，随着新兴科学技术的不断发展，设计目标向着高速、高效、低消耗方向发展。传统的设计方法已越来越适应不了发展的需要。因此，近20年来，优化设计技术在航空、机械、土建设计领域中发展很快。应用计算机进行的最优化设计具有如下特点： (l)设计遵循的原则与目的是使设计最优。为了达到这个目的，就需要建立一个正确的反映设计问题的数学模型。(2)设计的方法是优化数学方法。一个设计方案参数的调整是计算机沿着使方案向着更好的方向自动进行的，从而选出最优方案。(3)设计的手段是计算机及计算机程序。由于计算机的运算速度快，分析一个设计方案以分
14、计甚至以秒升，因而可以从大量的方案中选出最优方案。如果设计过程不需要人参与，由计算机根据用户需要编制的程序自动完成各个设计阶段，直至完成并获得最优设计方案。这种以计算机为中心的设计方法称为自动设计。但是在设计过程中，往往要求随时审查计算结果和设计方案，并且要对设计模型做必要的修改。这种工作如果由设计人员运用设计经验和直觉知识完成，要比由计算完成得好，因而出现了一种人、机结合的交互式的作业过程，并且已成为当前设计领领域技术发展的一个重要方向计算机辅助设计(CAD)。 计算机辅助设计主要是利用图像显示系统作结构形状的修改。而结构形状的确定，一是依靠结构结点坐标，二是依靠结点间构件连接形式，改变结点坐标和结点间构件连接关系，就相应地改变了结构的形状。图1.4计算机辅助设计框图，说明最优化设计和计算机绘图在CAD中的重要地位。 发展计算机辅助设计技术，提高自动设计能力并和设计人员的创造性结合起来，使结构设计尽可能程序化、理想化，进而实现结构分析、结构设计、结构制造一体化。
