1、微积分初步微积分初步函数的导数与微分函数的导数与微分函数的不定积分与定积分函数的不定积分与定积分1 函数、导数与微分函数、导数与微分一、变量、常量与函数一、变量、常量与函数变量：变量：在某一过程中取值会在某一过程中取值会不断变化不断变化的量。的量。常量：常量：在某一过程中取值在某一过程中取值始终不变始终不变的量。的量。函数：函数：变量变量 y 按某种确定的关系随变量按某种确定的关系随变量 x 的变化而的变化而变化，则称变化，则称 y 是是 x 的函数的函数，x 叫自变量，叫自变量，y 叫因变量，叫因变量，写作：写作： y=f (x) 例：例：y=3x2+2x, y=5sinx, y=ax, y
2、=e2x复合函数：复合函数：若若 y 是是 z 的函数的函数 y=f (z)，而，而 z 又是又是 x 的的函数函数 z=g(x)，则称，则称 y 是是 x 的复合函数，记作：的复合函数，记作： y= (x)=fg(x)例：例：y=sin(ax2+bx+c), y=esin(2x+3)二、函数的导数二、函数的导数xyxyy=f(x)xx+ x 设函数设函数 y=f (x) 在在 x 处有一增量处有一增量x，相应地函数有增量相应地函数有增量 y ，则比值，则比值xxfxxfxy)()(叫函数叫函数 y=f (x) 在在 x 到到x+ x 之间的之间的平均变化率平均变化率。dxdyxyxfyx0l
3、im)( 函数函数 y=f (x) 在在 x 处的导数定义为：处的导数定义为：例：求函数例：求函数 y = x2 在在 x= 1 和和 x = 3 时的导数值。时的导数值。解：解：由由有有xxxxxxxxfxxfxy222)()()(xxyyx20lim所以当所以当 x = 1 时，时，y = 2，当，当 x = 3 时，时，y = 6xyxyy=f(x)xx+ xPQ导数的几何意义：导数的几何意义：从图中知道，从图中知道， y/ x 是是过过P、Q 两点的割线的斜率，而当两点的割线的斜率，而当x 0 时，割线成为过时，割线成为过P 点的切线，因点的切线，因而导数而导数 y=f (x) 表示曲
4、线在表示曲线在 x 处处切线切线的斜率的斜率。函数函数 y=f (x) 在某处的导数值，就表示了该处在某处的导数值，就表示了该处切线的斜率，也就是在该点处函数切线的斜率，也就是在该点处函数 y=f (x) 随随 x 的的变化率。变化率。基本函数导数公式基本函数导数公式1212121211221)1 ()()1 ()() 11( ,)1()(arccos) 11( ,)1()(arcsin)(ln)()(ln)ln()(logcsc)(sec)(sin)(coscos)(sin)()( , 0)(xarcctgxxarctgxxxxxxxeeaaaxxaxxxctgxxtgxxxxxnxxccx
5、xxxann为常数导数的基本运算法则：导数的基本运算法则：（设（设 u = u(x), v = v(x) ）dxdududydxdyxguufyxxfxfyyxvvvuvuvucuccuvuvuuvvuvu 则则若若的的反反函函数数，则则为为若若为为常常量量),(),()()()()()( ,)( ,)(;)()(102例例1：求：求 y = x3 ln x 的导数的导数解解)ln(ln1313232xxxxxxy例例2求求 y = sin x / x 的导数的导数解解22xxxxxxxxysincossincos二阶导数与高阶导数二阶导数与高阶导数前述函数的导数是前述函数的导数是 y 对对
6、x 的一阶导数，若将一的一阶导数，若将一阶导数阶导数 y 再次对再次对 x 求导，则为二阶导数：求导，则为二阶导数：22dxyddxdydxdxfy )(同理，将二阶导再对同理，将二阶导再对x 求导则为三阶导，三阶求导则为三阶导，三阶导的导数则为四阶导等。导的导数则为四阶导等。例求例求 y = x3+3x2 的二阶导数的二阶导数66632 xyxxy三、函数的极值三、函数的极值x1x2x3xy若函数若函数 y =f (x) 在某一点在某一点 x1 的函数值的函数值 f (x1) 比邻近各点的函比邻近各点的函数值都大或都小，则称数值都大或都小，则称x1 为一为一个极值点，个极值点， f (x1)
7、 为函数的一个为函数的一个极值。图中极值。图中x1 和和x3为极大值点，为极大值点， x2为极小值点，为极小值点， f (x1) 和和f (x3) 为为极大值，极大值， f (x2) 为极小值。为极小值。极值点处的切线一定是水平的，因而极值点的极值点处的切线一定是水平的，因而极值点的判定条件是：判定条件是：f (x) = 0极大值点的条件是：极大值点的条件是： f (x) = 0，f (x) 0极小值点的条件是：极小值点的条件是： f (x) = 0，f (x) 0例求函数例求函数 y = 4x3- 3x2+5 的极值点和极值的极值点和极值解：因解：因 y =12x2-6x 令令 y=0 得得
8、 x1=0, x2=1/2 此为其两个极值点。此为其两个极值点。 又又y=24x - 6， 有有 y(x1)= - 6 0， y(x2)= 60因而因而 x1=0 是极大值点，对应的极大值为是极大值点，对应的极大值为 y1=5 x2=1/2 是极小值点，对应的极小值为是极小值点，对应的极小值为 y2=19/4四、函数的微分四、函数的微分例求函数例求函数 y = 5x + sin x 的微分的微分dxxdxxxdxxfdy)cos()sin()(55函数函数 y 对自变量对自变量 x 的导数的导数dxdyxf)(可将可将 dx 看成是自变量看成是自变量x 的一个趋于零的微小增量，的一个趋于零的微
9、小增量，称为称为自变量的微分自变量的微分；而相应的将；而相应的将 dy 看成是函数看成是函数 y 的微小增量，称为的微小增量，称为函数的微分。函数的微分。有：有：dxxfdy)( 2 2不定积分不定积分一、原函数一、原函数前一节学了求函数前一节学了求函数 y = f (x) 的导数的导数 f (x)，现若现若已知已知一函数一函数 F(x) 的导数为的导数为 f (x) ，要求，要求原函数原函数F(x) 例因例因 (x3) = 3x2 ，所以所以 x3 为为3x2 的原函数的原函数（sin x) = cos x ， sin x 是是cos x 的原的原函数函数 F (x) =F(x) +c ，c
10、 为任意常数，为任意常数，函数函数 f (x) 的原函数有任意多个：的原函数有任意多个： F(x) +c 二、不定积分二、不定积分定义：定义：函数函数 f (x) 的所有原函数的所有原函数F(x) +c 叫叫 f (x) 的的不定积分不定积分，记为：，记为：cxFdxxf)()(不定积分的性质：不定积分的性质：cxFdxxFxfdxxf)()()()(这说明不定积分是求导数的逆运算。这说明不定积分是求导数的逆运算。不定积分公式：不定积分公式：caxarctgadxxacaxdxxacctgxxdxctgxxdxcxxdxcxxdxcedxecaadxacxdxxcnxdxxcaxadxcdxx
11、xxxnn11arcsin1cscsecsincoscossinlnln1102222221不定积分运算法则：不定积分运算法则： dxxgdxxfdxxgxfkdxxfkdxxkf)()()()(.,)()(.21为为常常数数3. 若能找到函数若能找到函数 u= u(x) ，使，使 duugdxxf)()(且积分且积分 cuFduug)()(较易求出，则：较易求出，则： cxuFduugdxxf)()()(例例1求求 xdx1解：令解：令 u = 1+x , 微分得：微分得：du =dx ，有：，有： cxcuuduxdx11lnln例例2求求 dxbax)sin(解：令解：令 u = ax+
12、b , 微分得：微分得：du =adx ，有：，有：cbaxacuauduadxbax )cos(cossin)sin(111例例3求求 dxxx12解：令解：令 u = x2+1 , 微分得：微分得：du =2xdx ，有：，有：cxcuduudxxx 232232121312321211/)(例例4求求 dxeexx)cos(33解：令解：令 u = e3x, 微分得：微分得：du =3 e3x dx ，有：，有：cecuududxeexxx )sin(sincos)cos(3333131313 3 定积分定积分 设函数设函数 y=f (x) 在闭区间在闭区间 a, b 上连续，将区间上连
13、续，将区间 a, b 作作 n 等分，各小区间的宽度为等分，各小区间的宽度为x ，又在各小区间内选取一点又在各小区间内选取一点xi 得出函数在这些得出函数在这些点处的值点处的值 f (xi) (i= 1,2,3,n)ab xyxiy=f (x)f (xi)x定义：定义： baniixndxxfxxf)()(lim10为函数为函数 f (x) 在区间在区间 a, b 上的上的定积分定积分。 f (x) 为被积为被积函数，函数，a ,b 分别为积分下限和上限。分别为积分下限和上限。定积分的几何意义：定积分的几何意义：ab xyy=f (x)f (xi)x由图可知由图可知 f (xi) x 为图中一
14、个小区为图中一个小区间的面积，因而定积分：间的面积，因而定积分： badxxf)(表示了区间表示了区间 a, b 上，上，曲线曲线 y =f (x) 下方的面积。下方的面积。注意：注意：定积分的值有正也有负，因而这并非通常意定积分的值有正也有负，因而这并非通常意义下的面积。义下的面积。定积分的主要性质：定积分的主要性质： bccabababababababaabdxxfdxxfdxxfdxxgdxxfdxxgxfdxxfkdxxkfdxxfdxxf)()()(.)()()()(.)()(.)()(.4321定积分的计算（牛顿莱布尼茨公式）定积分的计算（牛顿莱布尼茨公式）若不定积分若不定积分 c
15、xFdxxf)()(则定积分则定积分)()()()(aFbFxFdxxfbaba 由此可知：求函数的定积分，通常是先求出其由此可知：求函数的定积分，通常是先求出其不定积分（原函数不定积分（原函数 F (x) ），再求），再求 F(b) - F(a) 例例1求求 2121xxdx解：令解：令 u = x2+1 , 微分得：微分得：du =2xdx ，有：，有：2521252112111212121121212222ln)ln(ln)ln()ln(ln xxxdxxcuuduxxdx例例2求求 302/sincosxdxx解：令解：令 u = cos x , 微分得：微分得：du = - sin x dx24718131313133033023322 )(cossincoscossincos/xxdxxcxuduuxdxxyxy=x2y=4-x2AB例例3求由曲线求由曲线 y=x2 和曲线和曲线 y=4-x2所包围的面积。所包围的面积。解：先求出两曲线交点解：先求出两曲线交点A , B的的 x 坐标为坐标为:2221 xx由定积分的几何意义知有：由定积分的几何意义知有： 23153222242232222222 )()()(xxdxxdxxxSEND
