1、思考一二三例1例3四例2例4检测作业问题提出问题提出1.1.现在我们是怎样认识角这一数学概念的，现在我们是怎样认识角这一数学概念的，包括哪些情形？包括哪些情形？ （1 1）角是由平面内一条射线绕其端点从一）角是由平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形个位置旋转到另一个位置所组成的图形. .（2 2）按逆时针方向旋转形成的角为）按逆时针方向旋转形成的角为正角正角，按顺时针方向旋转形成的角为按顺时针方向旋转形成的角为负角负角，没有，没有作任何旋转形成的角为作任何旋转形成的角为零角零角. .（3 3）角的大小是任意的）角的大小是任意的. .2.2.什么叫做什么叫做1 1弧度的角
2、？度与弧度是怎样换算的？弧度的角？度与弧度是怎样换算的？（1 1）等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做）等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1 1弧度的角弧度的角. . 3. 3. 与角与角终边相同的角的一般表达式是什么？终边相同的角的一般表达式是什么？= =k360k360（kZkZ）2()kkZbap=+（2 2）180180 rad.rad.4 4. .如图，在直角三角形如图，在直角三角形ABCABC中，中，sinsin，coscos，tantan分别叫做角分别叫做角的正弦、余弦和正切，它们的的正弦、余弦和正切，它们的值分别等于什么？值分别等于什么？A AB BC C5.5.当角当角不是锐角时，
3、我们必须对不是锐角时，我们必须对sinsin，coscos，tantan的值进行推广，以适应任意角的需要的值进行推广，以适应任意角的需要. . si nB CA Ba=cosA CA Ba=tanB CA Ca=22:barOPbMPaOM其中 yx思考思考1 在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？raOPOMcosrbOPMPsinabOMMPtanbaP,Moabr知识 探究一如果改变点在终边上的位置，这如果改变点在终边上的位置，这三个比值会改变三个比值会改变吗？吗？PMOPMPsinOPOMcosOMMPtanOMPPMOPOPMPOOMMO
4、PMMOyxP(a,b)诱思探究诱思探究能否通过能否通过|op|取特殊值将表达式简化呢？取特殊值将表达式简化呢？OPMPsinOPOMcosOMMPtan，则若1 rOPbaab以原点为圆心以原点为圆心, ,以单位以单位长度为半径的圆叫做长度为半径的圆叫做单位圆单位圆. .1、任意角的三角函数第一定义、任意角的三角函数第一定义 设 是一个任意角任意角，它的终边与单位圆交于点),(yxP 规定规定:（1） 叫做 的正弦正弦，记作 ，即 ；ysinysin （2） 叫做 的余弦余弦，记作 ，即 ； cosxxcos（3） 叫做 的正切正切，记作 ，即 。 xytanxytan 注意：正弦，余弦，正
5、切都注意：正弦，余弦，正切都是以是以角为自变量角为自变量，以，以单位圆单位圆上点上点的的坐标或坐标的比值坐标或坐标的比值为函数值的为函数值的函数，我们将他们称为函数，我们将他们称为三角函数三角函数.0 , 1AOyxyxP ,)0(x根据三角函数的定义，确定它们的根据三角函数的定义，确定它们的定义域（弧度制）定义域（弧度制）思思考考3三角函数三角函数定义域定义域sincostanR)(2ZkkR0 , 1AOyxyxP ,任意角的三角函数的定义过程：任意角的三角函数的定义过程：直角三角形中定义锐角三角函数 abrarbtan,cos,sin直角坐标系中定义锐角三角函数 abrarbtan,co
6、s,sin单位圆中定义锐角三角函数 ababtan,cos,sin单位圆中定义任意角的三角函数 ,sinyxcosxytan,例例1：如图已知角：如图已知角的终边与单位圆的交点是的终边与单位圆的交点是 ， 求角求角的正弦、余弦和正切值。的正弦、余弦和正切值。)23,21(P解：根据任意角的三角函数定义：23sin21cos3tanOxy)23,21(P点评：若已知角点评：若已知角的终边与单位圆的交点坐标，则可直接利用的终边与单位圆的交点坐标，则可直接利用定义求三角函数值。定义求三角函数值。实例剖析实例剖析例例2、求、求 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值.3535AOB解：在直角坐标系中
7、，作解：在直角坐标系中，作 AOB，易知，易知 的终边与单位圆的交点坐标为的终边与单位圆的交点坐标为 )23,21(所以所以 2335sin2135cos335tan思考：若把角思考：若把角 改为改为 呢呢? 3567,2167sin， 3367tanxyoAB35,2367cosC例例3 已知角已知角 的终边经过点的终边经过点 ，求角，求角 的正弦、余的正弦、余弦和正切值弦和正切值 .)4, 3(0P5)4()3(220OP解解:由已知可得由已知可得设角设角 的终边与单位圆交于的终边与单位圆交于 ，),(yxP分别过点分别过点 、 作作 轴的垂线轴的垂线 、0PMPP00PMx400PM 于
8、是，于是， ;54|1sin000OPPMOPMPyyyMP30OMxOMOMP00POM;531cos00OPOMOPOMxx34cossintanxy4, 30P0MOyxMyxP ,例例3、已知角、已知角 的终边经过点的终边经过点 ，求角，求角 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值 .)4, 3(0P22223( 4)5rxy 3cos5xr 4tan3yx 4sin5yr 于是于是，法二解：由已知可得：法二解：由已知可得：返回 设角设角 是一个任意角，是一个任意角， 是终边上的任意一点，是终边上的任意一点，点点 与原点的距离与原点的距离),( yxP022yxrP那么那么 叫做叫做
9、 的正弦，即的正弦，即ryrysin 叫做叫做 的余弦，即的余弦，即rxrxcos 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即xy0tanxxy 任意角任意角 的三角函数值仅与的三角函数值仅与 有关，而与点有关，而与点 在角的在角的终边上的位置无关终边上的位置无关.P定义推广：定义推广：点评：已知角终边上异于单位圆上一点的坐标，求三角函数点评：已知角终边上异于单位圆上一点的坐标，求三角函数值，可根据三角形相似将问题化归到单位圆上，再由定义得值，可根据三角形相似将问题化归到单位圆上，再由定义得解。解。2、任意角的三角函数第二定义：、任意角的三角函数第二定义：几个特殊角的三角函数值几个特殊角的三角函数值角角0
10、o30o45o60o90o180o270o360o角角的弧的弧度数度数sinsincoscostantan2 32 2 000000001111 1 不不存存在在不不存存在在03 4 6 2222112323332123变式变式1、已知角、已知角 的终边过点的终边过点 ， 求求 的三个三角函数值的三个三角函数值.5 ,12P135122222yxr1312cosrx125tanxy135sinry于是于是，解：由已知可得：解：由已知可得：合作 演练变式变式2 2：已知角已知角的终边经过点的终边经过点P(2a,-3a)，求角，求角的正弦、的正弦、余弦、正切值余弦、正切值32sin ,cos ,t
11、an.yx、已知角 的终边在直线上，求角 的的值 1解： 当角 的终边在第一象限时，221,2125在角 的终边上取点，则r=22 5152sin,cos,tan255155 2当角 的终边在第三象限时，221, 2125r 在角 的终边上取点，则22 5152sin,cos,tan255155 三角函数的符号三角函数的符号三角函数在各象限内的符号：三角函数在各象限内的符号：1sinyr、正弦函数值, 00,yryr 第一象限：故为正值；, 00,yryr 第二象限：故为正值；oxy, 00,yryr 第三象限：故为负值；, 00,yryr 第四象限：故为负值；2cosxr、余弦函数值, 00
12、,xrxr 第一象限：故为正值；, 00,xrxr 第二象限：故为负值；, 00,xrxr 第三象限：故为负值；, 00,xrxr 第四象限：故为正值；oxy三角函数在各象限内的符号：三角函数在各象限内的符号：00,yxyx第一象限：故为正值；00,yxyx第二象限：故为负值；oxy00,yxyx第三象限：故为正值；00,yxyx第四象限：故为负值；3tanyx、正切函数值三角函数在各象限内的符号：三角函数在各象限内的符号：oxyoxyoxy规律：规律： “一全正、二正弦、三正切、四余弦一全正、二正弦、三正切、四余弦” tancossin 例例4 求证：当且仅当下列不等式组成立时，求证：当且仅
13、当下列不等式组成立时， 角角 为第三象限角为第三象限角.反之也对。反之也对。0tan 0sin 证明：证明： 因为式因为式 成立成立,所以所以 角的终边可能位于第三角的终边可能位于第三 或第四象限，也可能位于或第四象限，也可能位于y 轴的非正半轴上；轴的非正半轴上；0sin 又因为式又因为式 成立，所以角成立，所以角 的终边可能位于的终边可能位于第一或第三象限第一或第三象限. 0tan 因为式都成立，所以角因为式都成立，所以角 的终边只能位于第三象限的终边只能位于第三象限.于是角于是角 为第三象限角为第三象限角.反过来请同学们自己证明反过来请同学们自己证明.如果两个角的终边相同，那么这两个角如
14、果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？的同一三角函数值有何关系？ ？yoP),(yxx1M如果两个角的终边相同，那么这两个角如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？的同一三角函数值有何关系？ 终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(kkk（其中（其中 ）zk 公式作用：公式作用：可以把求任意角的三角函数值，可以把求任意角的三角函数值，转化为求转化为求 角的三角函数值角的三角函数值 . .360020到或到 ？例例5 求下列三角函数值：求下列三角函数值： （1
15、） （2）49cos)611tan( 解：（解：（1） 224cos)24cos(49cos练习练习 求下列三角函数值求下列三角函数值319tan)431tan( 31336tan6tan)26tan()611tan(（2）例例6 确定下列三角函数值的符号：确定下列三角函数值的符号： （1） （2） （3）250cos)672tan(4sin（2）因为）因为 = ， 而而 是第一象限角，所以是第一象限角，所以 ；)672tan(48tan)483602tan(0)672tan(48练习练习 确定下列三角函数值的符号确定下列三角函数值的符号516cos)34sin()817tan(（1）因为）因
16、为 是第三象限角，所以是第三象限角，所以 ；2500250cos解：解： （3）因为）因为 是第四象限角，所以是第四象限角，所以 .404sin1. 内容总结：内容总结： 三角函数的概念三角函数的概念.三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号.诱导公式一诱导公式一.运用了定义法、公式法、数形结合法解题运用了定义法、公式法、数形结合法解题.划归的思想，数形结合的思想划归的思想，数形结合的思想.归纳 总结2 .方法总结：方法总结：3 .体现的数学思想：体现的数学思想：yxxyyyxxMMMMOOOOPPPP的的终边终边的的终边终边的的终边终边的的终边终边
17、A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)()()()()角角的终边与单位圆的终边与单位圆交于点交于点P.过点过点P作作x轴轴的垂线的垂线,垂足为垂足为M.|MP|=|y|=|sin|OM|=|x|=|cos|三角函数线三角函数线正弦线和余弦线正弦线和余弦线 【思考思考】为了去掉为了去掉上述等式中的绝对值上述等式中的绝对值符号符号, ,能否给线段能否给线段OMOM、MPMP规定一个适当的方规定一个适当的方向向, ,使它们的取值与点使它们的取值与点P P的坐标一致的坐标一致? ?【定义定义】有向线段有向线段* 带有方向的线段叫有向线段带有方向的线段叫有向线段.*有向线段的大小称为它的数量有
18、向线段的大小称为它的数量.在坐标系中在坐标系中, ,规定规定: : 有向线段的方向与坐标系的方向相同有向线段的方向与坐标系的方向相同.即同向时即同向时,数量为正数量为正;反向时反向时,数量为负数量为负.yxxyyyxxMMMMOOOOPPPP的的终边终边的的终边终边的的终边终边的的终边终边A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)()()()() 当角当角的终边不在坐的终边不在坐标轴上时标轴上时,以以M为始点、为始点、P为终点为终点,规定规定: 当线段当线段MP与与y轴轴同向同向 时时,MP的方向为的方向为正向正向,且有且有正值正值y; 当线段当线段MP与与y轴轴反向反向时时MP的的方向
19、方向为为负向负向,且有且有负值负值y. MP=y=sin 有有向线段向线段MP叫角叫角的的正正弦线弦线yxxyyyxxMMMMOOOOPPPP的的终边终边的的终边终边的的终边终边的的终边终边A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)()()()()|MP|=|y|=|sin|OM|=|x|=|cos| 当角当角的终边不在坐的终边不在坐标轴上时标轴上时,以以O为始点、为始点、M为终点为终点,规定规定: 当线段当线段OM与与x轴轴同向同向 时时,OM的方向为的方向为正向正向,且且有有正值正值x; 当线段当线段OM与与x轴轴反向反向时时,OM的方向为的方向为负向负向,且且有有负值负值x. OM
20、=x=cos 有有向线段向线段OM叫角叫角的的余余弦线弦线TTTyxxyyyxxMMMMOOOOPPPP的的终边终边的的终边终边的的终边终边的的终边终边A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)()()()()T过点过点A(1,0)作单位作单位圆的切线圆的切线,设它与设它与的终边或其反向延的终边或其反向延长线相交于点长线相交于点T.tanMPOMATyATOAx有向线段有向线段ATAT叫叫角角的的正切线正切线这三条与单位圆有关的有向线段这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT,分别叫做角分别叫做角的的正弦线、余弦线、正切正弦线、余弦线、正切线线,统称为统称为三角函数线三角函数线yxT
21、M OP的的终边终边A(1,0)当角当角的终边与的终边与x轴重合时轴重合时,正弦线、正切正弦线、正切线线,分别变成一个点分别变成一个点,此时角此时角的的正弦值和正正弦值和正切值都为切值都为0;当角当角的终边与的终边与y轴重合时轴重合时,余余弦线变成一个点弦线变成一个点,正切线不存正切线不存在在,此时角此时角的的正切值不存在正切值不存在.例例 在单位圆中作出符合下列条件的角的终边在单位圆中作出符合下列条件的角的终边:;21sinxOy-1-11121y角的终边PM例题1(2)sin;2)(265,26Zkkk -1xy11-1O例例:在单位圆中作出符合条件的角的终边在单位圆中作出符合条件的角的终
22、边: 21sin121y665Zkkk)652 ,62(-1xy11-1O例例:在单位圆中作出符合条件的角的终边在单位圆中作出符合条件的角的终边: 21cos221x335Zkkk352 ,32变式：变式： 写出满足条件写出满足条件 cos 的角的角的集合的集合.2123xOy-1-1116611323462 |k，或322k342kZkk，6112Zkkkkk)6112 ,342322 ,62(5.5.利用单位圆中的三角函数线，确定下列各角的利用单位圆中的三角函数线，确定下列各角的取值范围：取值范围：sincos; sincos; 课堂课堂 练习练习1. 内容总结：内容总结： (1)三角函数的概念三角函数的概念.(2)三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号(3)诱导公式一诱导公式一.(4)三角函数线三角函数线运用了定义法、公式法、数形结合法解题运用了定义法、公式法、数形结合法解题.划归的思想，数形结合的思想划归的思想，数形结合的思想.归纳 总结2 .方法总结：方法总结：3 .体现的数学思想：体现的数学思想：
