1、数学归纳法数学归纳法1学习目标：学习目标：1.通过学习过的归纳推理及几个例子，弄明白数学归纳法的证明原理（重点）2.通过几个证明问题，梳理清楚数学归纳法的一般实施步骤，并会证明等式与不等式恒成立问题（难点）1,5,3,7,9,11,15你猜、你猜、你猜猜猜你猜、你猜、你猜猜猜归纳推理归纳推理：由部分到整体的推理，结论未必正确可从简单情形出发可从简单情形出发观察、归纳、猜想观察、归纳、猜想(不完全归纳法不完全归纳法)费马费马(Fermat) 曾经提出一个猜想：曾经提出一个猜想：形如形如Fn22n+1(n=0,1,2)的数都是质数的数都是质数0,31,52,173,2574,65537nnnnnn
2、FnFnFnFnF100100年后年后542949672976700417641F 费马费马(1601-1665)法国法国伟大的业余伟大的业余数学家。数学家。 欧拉欧拉(17071783)，瑞士数学家瑞士数学家及自然科学及自然科学家。家。 费马您错了费马您错了! !不完全归纳法能帮助我们发现猜想不完全归纳法能帮助我们发现猜想, ,但不能保证猜想正确但不能保证猜想正确. . 在使用归纳法探究数学命题时，必须对在使用归纳法探究数学命题时，必须对任何可能的情况任何可能的情况进行论证后，才能判别命题进行论证后，才能判别命题正确与否。正确与否。思考思考1 1：与正整数与正整数n n有关的数学命题都能否通
3、有关的数学命题都能否通过过一一验证一一验证的办法来加以证明呢？的办法来加以证明呢？思考思考2 2：如果一个数学命题与正整数如果一个数学命题与正整数n n有关有关, ,我们能否找到一种既简单又有效的证明方法我们能否找到一种既简单又有效的证明方法呢？呢？思考：这个游戏中，能使所有多米诺骨全部倒思考：这个游戏中，能使所有多米诺骨全部倒下的条件是什么？下的条件是什么？多米诺骨牌（多米诺骨牌（domino）是一种用木制、骨）是一种用木制、骨制或塑料制成的长方形骨牌。玩时将骨牌制或塑料制成的长方形骨牌。玩时将骨牌按一定间距排列成行，轻轻碰倒第一枚骨按一定间距排列成行，轻轻碰倒第一枚骨牌，其余的骨牌就会产生
4、连锁反应，依次牌，其余的骨牌就会产生连锁反应，依次倒下。倒下。多米诺是一项集动手、动脑于一体的运动。多米诺是一项集动手、动脑于一体的运动。一幅图案由几百、几千甚至上万张骨牌组成。骨牌需一幅图案由几百、几千甚至上万张骨牌组成。骨牌需要一张张摆下去，它不仅考验参与者的体力、耐力和要一张张摆下去，它不仅考验参与者的体力、耐力和意志力，而且还培养参与者的智力、想象力和创造力。意志力，而且还培养参与者的智力、想象力和创造力。多米诺是种文化。它起源于中国，有着上千年的历史。多米诺是种文化。它起源于中国，有着上千年的历史。 只要满足以下两个条件，所有多米诺骨只要满足以下两个条件，所有多米诺骨牌就能全部倒下：
5、牌就能全部倒下： （2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。一定导致后一块倒下。 （传递）（传递） 条件（条件（2）事实上给出了一个递推关系：当）事实上给出了一个递推关系：当第第k块倒下时，相邻的第块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。块也倒下。思考思考：你认为证明数列的通项公式：你认为证明数列的通项公式 是是这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性？你这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？12 nna（1）第一块骨牌倒下）第一块骨牌倒下；（基础）这种一种严格的证明方法这种一种严格的
6、证明方法数学归纳法数学归纳法.数学归纳法的概念：数学归纳法的概念： 定义：对于某些与正整数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：1.先证明当先证明当n取第一个值取第一个值n0 (n0 N*)时命题成立时命题成立 (归纳奠基归纳奠基） ；2.然后假设当然后假设当n=k(k N*，kn0)时命题成立，时命题成立，证明当证明当n=k+1时命题也成立时命题也成立(归纳递推归纳递推）。这种证明方法就叫做_。数学归纳法数学归纳法注意：注意：1.数学归纳法是用来证明与正整数有关的命题2.数学归纳法的一般步骤(1)(1)证明证明当当n n取第一个值取第一个值n n0 0 时命题成立时命题成立*000
7、0,123nNnnn= 或= 或= 等(2)(2)假设假设当当 时时, ,命题成立命题成立 证明证明当当 时时, ,命题也成立命题也成立*0,nk kNkn1nk（基础）（基础）（传递）（传递）3.数学归纳法第二步的证明可以用各种证明方法，但必须用到假设思考思考5 5：试问等式试问等式2+4+6+2+4+6+2+2n nn n2 2+n+1+n+1成立吗？某同学成立吗？某同学用数学归纳法给出了如下的证明，请问该同学得到的用数学归纳法给出了如下的证明，请问该同学得到的结论正确吗？结论正确吗？解解: :设设n nk k时成立，即时成立，即这就是说，这就是说，n nk+1k+1时也成立时也成立2+4
8、+6+2kk2+k+1则当则当n=k+1n=k+1时时 2+4+6+2+4+6+2k+2(k+1)+2k+2(k+1) k2+k+1+2k+2(k+1)2+(k+1)+1所以等式对任何所以等式对任何nNnN* *都成立都成立事实上，当事实上，当n n1 1时，左边时，左边2 2，右边，右边3 3左边左边右边，等式不成立右边，等式不成立该同学在没有证明当该同学在没有证明当n=1n=1时，等式是否成立的前提下，时，等式是否成立的前提下，就断言等式对任何就断言等式对任何nNnN* *都成立，为时尚早都成立，为时尚早下面是某同学用数学归纳法证明命题下面是某同学用数学归纳法证明命题 的过程的过程.你认为
9、他的证法正确吗你认为他的证法正确吗?为什么为什么? (1).当当n=1时时,左边左边= , 右边右边= (2).假设假设n=k时命题成立时命题成立 即即那么那么n=k+1时时, 左边左边 =右边右边,即即n=k+1时时,命题也成立命题也成立.由由(1)(2)知知,对一切正整数对一切正整数,命题均正确命题均正确. 212111) 1(1321211nnnn211111) 1(1321211kkkk1)1(211)2111()3121()211(kkkkk思考思考6:证明：证明：当当n=1时，左边时，左边,21右边右边,212111假假设设n=k时，时，等式成立，等式成立，,21121212121
10、32kk那么那么n=k+1时时 1322121212121kk等式成立等式成立这就是说，当这就是说，当n=k+1时，等式也成立时，等式也成立根据（根据（1）和（）和（2），可知等式对任何），可知等式对任何nN都成立都成立即即211)21(1 211 k.2111 k第二步的证明没有在假设条件下进行，因此不符合第二步的证明没有在假设条件下进行，因此不符合数学归纳法的证明要求数学归纳法的证明要求思考思考7 7：下面是某同学下面是某同学 用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明等式成立的过程成立的过程, ,它符合数学归纳法的证明要求吗？为什么它符合数学归纳法的证明要求吗？为什么？（nN）nn211212
11、1212132 因此，用数学归纳法证明命题的两个步因此，用数学归纳法证明命题的两个步骤，缺一不可。第一步是骤，缺一不可。第一步是递推的递推的基础基础，第二步，第二步是是递推的递推的依据依据。缺了第一步递推失去基础；缺。缺了第一步递推失去基础；缺了第二步，递推失去依据，因此无法递推下去。了第二步，递推失去依据，因此无法递推下去。题型一、利用数学归纳法证明等式应用举例应用举例6) 12)(1(3212222nnnn例1、利用数学归纳法证明等式证明：证明：（1）当）当n=1时，左边时，左边121，右边，右边等式成立。等式成立。（2）假设当）假设当n=k时，等式成立，就是时，等式成立，就是163216
12、) 12)(1(3212222kkkk那么那么n=k+1时时 61)1(21)1()1(6)32)(2)(1(6)672)(1(6)1(6)12)(1()1(6)12)(1()1(32122222222 kkkkkkkkkkkkkkkkkkk这就是说，当这就是说，当n=k+1时等式也成立。时等式也成立。根据（根据（1）和（）和（2），可知等式对任何），可知等式对任何nN都成立。都成立。4) 1(.321223333nnn当堂检测1：用数学归纳法证明证明：（1）n=1时左边=1=右边（2）假设n=k时，结论成立，即4) 1(.321223333kkk当n=k+1时32233333) 1(4) 1
13、() 1(.321kkkkk) 14() 1(22kkk444) 1(22kkk4)2() 1(22kk=右边所以，n=k+1时，结论成立.由（1）（2）可知4) 1(.321223333nnn题型二、利用数学归纳法证明不等式例2.用数学归纳法证明:*11113(2,).12224nnNnnn 证明：（1）n=2时左边=24131274131（2）假设n=k时，结论成立，即*11113(2,).12224kkNkkk 当n=k+1时左边=1112222kkk 1112kk 121k 122k 11k 1112kk 121k 122k 1311242122kk 1324 *11113(2,).12224nnNnnn 所以，n=k+1时，结论成立.由（1）（2）可知当堂检测2：证明不等式:*11112().23n nNn 证明：（1）n=1时左边=12=右边（2）假设n=k时，结论成立，即1111223kk 当n=k+1时111112211kkkk 2(1)11k kk 2211kkk 212141kkk 212 ()121kk 22211kkk *1112().2n nNn 所以，n=k+1时，结论成立.由（1）（2）可知小结与复习小结与复习谈谈你本节课的收获1.用数学归纳法证明： 1221 3 521nnnnnn 2.作业作业
