1、指数函数与对数函数对照表指数函数与对数函数对照表 名名 称称 解析式解析式 指数函数指数函数 y=ax y y=ax(a1) 对数函数对数函数 y=logax y=ax(0a1 调调性性 0a1) x o ( 0 , + ) x y=logax(0a1)32xy=a0a1)-1y=logax0a146-2-2探究一探究一反函数定义反函数定义 一般地，函数一般地，函数 y=f(x) (x A) 中设它中设它的值域为的值域为C.我们根据这个函数中我们根据这个函数中x，y的关的关系，用系，用y把把x表示出，得到表示出，得到 x= (y). 如果如果对于对于y在在C中的任何一个值，通过中的任何一个值，
2、通过x=(y) ，x在在A中都有唯一的值和它对应，那么中都有唯一的值和它对应，那么x=(y) 就表示以就表示以y为自变量的函数为自变量的函数. 这样的函数这样的函数 x=(y) 叫做函数叫做函数 y=f(x) -1-1(x A) 的的反函数反函数，记作，记作 x=f f (y). 我们常常把我们常常把x，y对调一下，把它改成对调一下，把它改成 -1-1y= f f (x). 反函数与原来函数的联系反函数与原来函数的联系: 名名 称称 解析式解析式 定义域定义域 值值 域域 图象图象 y= f(x ) A C 它们的图象关于直线它们的图象关于直线y=x对称对称 原来函数原来函数 反函数反函数 y
3、=f-1(x) C A 探究二探究二求一个函数的反函数求一个函数的反函数 例例1 1、 求下列函数的反函数：求下列函数的反函数： （1 1）y y3x3x1 1 ； （2 2）y y x1 1 （x0 x0）；）； （3 3）y ?3?2； (4) . (4) . y?log1(x?4)2x?1求反函数的求反函数的步骤步骤： 1、反解：反解：y = f(x) ? ?x? ?f? ?1(y)2、求原函数的值域、求原函数的值域 3、互换：互换：x、y互换位置，得互换位置，得y=f -1(x) 4、写定义域：写定义域：根据原来函数的值域，写出反函数根据原来函数的值域，写出反函数及其定义域及其定义域.
4、 探究三探究三不是所有函数都有反函数不是所有函数都有反函数 只有在定义域上单调的只有在定义域上单调的 函数才有反函数。（一函数才有反函数。（一 对一）对一）例如：例如：y? ?x 没有反函数。没有反函数。2探究四探究四互为反函数的两个函数图象关于互为反函数的两个函数图象关于 y=x对称对称 x? ?5y? ? y? ?x对 例2已知函数 的图象关于直线2x? ?m 称， 求m的值。 探究五探究五点点P(a,b)在函数在函数y=f(x)图象上，则点图象上，则点P (b,a)在函数在函数y=f-1(x)图象上图象上 例3.若点P（1，2）同时在函数y ax? ?b 及其反函数的图象上，求 a、b的
5、值. 探究六探究六互为反函数的两个函数单调性相同互为反函数的两个函数单调性相同 若函数若函数f(x)在其定义域在其定义域D上是单调增函数上是单调增函数, -1求证它的反函数求证它的反函数f (x)也是增函数也是增函数。 -1证明：在证明：在f (x)的定义域内任取的定义域内任取x-1令令 f (x-11)=y1, f (x2)=y2 1,x2且且x1x2 于是有于是有f(y1)=x1; f(y2)=x2 所以所以 f(y1)f(y2) 因为因为f(x)在其定义域在其定义域D上是增函数，所以上是增函数，所以y1y2 -1-1-1所以所以 f (x1)f (x2)，所以，所以f (x)也是增函数也
6、是增函数 性质：性质： 1.函数函数y=f（x）的图象和它的反函数）的图象和它的反函数y=f -1(x)的图象关于的图象关于 直线直线y=x对称对称; 2.互为反函数的两个函数在各自的定义域内具有相同的互为反函数的两个函数在各自的定义域内具有相同的 单调性。单调性。 3.如果两个函数的图像关于直线如果两个函数的图像关于直线y=x对称对称,那么这两个函数那么这两个函数 互为反函数互为反函数. 4.如果一个函数的图像关于直线如果一个函数的图像关于直线y=x对称对称,那么这个函数的那么这个函数的 反函数就是它本身反函数就是它本身.反之也成立。反之也成立。 5.点点P（a，b）关于直线）关于直线 y=
7、x 对称的点是对称的点是P1（b，a）. ?16. fa?b?f b?a ? ?例例2、求函数、求函数y=3x-2（xR）的反函数，）的反函数，并画出原函数和它的反函数的图象。并画出原函数和它的反函数的图象。 y?2x?解：从解：从y=3x-2，解得，解得 。因。因3此，函数此，函数y=3x-2 x?2,(x?R)的反函数是的反函数是 y?3函数函数y=3x-2（xR）和它的反函数）和它的反函数 x?2y?,?x?R?的图象如图的图象如图 3y Y=3x-2 x?2y?3o 1 Y=x x 3例例3、求函数、求函数y=x（xR）的反函）的反函数，并画出原来的函数和它的反函数，并画出原来的函数和
8、它的反函数的图象。数的图象。 33解：从解：从y=x，解得，解得 ，所以函数，所以函数33y=x（xR）的反函是）的反函是 。 x?yy 0 y?x?x?R?33函数函数y=x（xR）和它的反函数）和它的反函数 y?x?x?R?的图像如图的图像如图 x y?ax?b的的例例4：若点若点P（1，2）在函数）在函数 图象上，又在它的反函数的图象上，求图象上，又在它的反函数的图象上，求a，b的值。的值。 y?ax?b解：解：由题意知由题意知, 点点P(1,2)在函数在函数 的反函数的图象上，根据互为反函数的函的反函数的图象上，根据互为反函数的函数图象关于直线数图象关于直线y=x对称的性质知，点对称的性质知，点P1y?ax?b 的图象上。的图象上。 （2，1）也在函数）也在函数 ?2?a?b因此，得因此，得 ?1?2 a?b解得， a=-3，b=7 例例5、若函数若函数f（x）与）与g（x）的图象关于）的图象关于2直线直线y=x对称，且对称，且f（x）=（x-1） （x1）2求求g（x） 解：解：函数函数f（x）与）与g（x）的图象关于直）的图象关于直线线y=x对称对称 g（x）是）是f（x）的反函数，）的反函数， -1 g（x）=f （x）= ?2x?1 (x?0)?1(x?R)?g (x )? ?2x
