1、31空间中向量的概念和运算空间中向量的概念和运算3.1课堂互动讲练课堂互动讲练知能优化训练知能优化训练课前自主学案课前自主学案学习目标学习目标1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示方法和字母表示方法方法和字母表示方法2掌握空间向量的线性运算，数量积掌握空间向量的线性运算，数量积3能运用运算法则及运算律解决一些简单几何问能运用运算法则及运算律解决一些简单几何问题题课前自主学案课前自主学案1平面上有平面上有_和和_的量叫作向量，方向的量叫作向量，方向相同且模相同且模_的向量称为相等向量的向量称为相等向量2向量可以进行加减和数乘运算，向量加法满足向量
2、可以进行加减和数乘运算，向量加法满足_律和律和_律律大小大小方向方向相等相等交换交换结合结合1空间向量空间向量(1)空间向量的定义空间向量的定义在空间，把具有在空间，把具有_和和_的量叫作空间向的量叫作空间向量，向量的量，向量的_叫作向量的长度或模叫作向量的长度或模大小大小方向方向大小大小长度长度1空间两向量的加减法与平面内两向量的加减空间两向量的加减法与平面内两向量的加减法完全一样吗？法完全一样吗？提示：提示：一样因为空间中任意两个向量均可平一样因为空间中任意两个向量均可平移到同一个平面内，所以空间向量与平面向量移到同一个平面内，所以空间向量与平面向量加减法均可以用三角形或平行四边形法则，是
3、加减法均可以用三角形或平行四边形法则，是一样的一样的思考感悟思考感悟3空间向量加法的运算律空间向量加法的运算律(1)交换律：交换律：ab_.(2)结合律：结合律：(ab)ca(bc)4空间向量的数乘运算空间向量的数乘运算(1)定义：实数定义：实数与空间向量与空间向量a的乘积的乘积_仍然是仍然是一个一个_，称为向量的数乘运算，称为向量的数乘运算(2)向量向量a与与a的关系的关系向量向量baa的范的范围围方向关系方向关系模的关系模的关系0方向相同方向相同a的模是的模是a的模的的模的|倍倍0a0，其方向是任意，其方向是任意的的0方向相反方向相反AOBab数乘向量与向量数乘向量与向量数量积的结合律数量
4、积的结合律(a)b(ab)交换律交换律abba分配律分配律a(bc)abac思考感悟思考感悟2(1)两个向量两个向量a、b垂直的充要条件是垂直的充要条件是ab0，对吗？，对吗？(2)若若ab0，则，则a0或或b0，对吗？，对吗？提示：提示：(1)不对；不对；(2)不对不对课堂互动讲练课堂互动讲练空间向量的加减运算空间向量的加减运算(1)计算两个空间向量的和或差时，与平面向量计算两个空间向量的和或差时，与平面向量完全相同运算中掌握好三角形法则和平行四完全相同运算中掌握好三角形法则和平行四边形法则是关键边形法则是关键(2)计算三个或多个空间向量的和或差时，要注计算三个或多个空间向量的和或差时，要注
5、意以下几点：意以下几点：三角形法则和平行四边形法则；三角形法则和平行四边形法则；正确使用运算律；正确使用运算律；有限个向量顺次首尾相连，则从第一个向量的有限个向量顺次首尾相连，则从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量即表示这有起点指向最后一个向量的终点的向量即表示这有限个向量的和向量限个向量的和向量【名师点评名师点评】化简向量表达式主要是利用平行化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则在化简过程中遇到减四边形法则或三角形法则在化简过程中遇到减法时可灵活应用相反向量转化成加法，也可按减法时可灵活应用相反向量转化成加法，也可按减法法则进行运算，加、减法之间可相互转化法法则进行运算
6、，加、减法之间可相互转化空间向量的线性运算空间向量的线性运算空间向量加法、减法、数乘向量的意义及运算空间向量加法、减法、数乘向量的意义及运算律与平面向量类似律与平面向量类似【思路点拨】【思路点拨】连接连接AM得得到到ADM，利用线段中点，利用线段中点的向量表示和三角形的重心的向量表示和三角形的重心的意义，在的意义，在ADM中开始中开始进行向量运算进行向量运算(1)对向量的数量积的运算律应注意以下几点：对向量的数量积的运算律应注意以下几点：要准确区分两向量数量积的运算性质与数乘要准确区分两向量数量积的运算性质与数乘向量实数与实数之积之间的差异向量实数与实数之积之间的差异数量积运算不满足消去律数量
7、积运算不满足消去律若若a、b、c(b0)为实数，为实数，abbcac；但对；但对于向量，就不正确，即于向量，就不正确，即abbc ac.由图由图可以看出可以看出 向量的数量积及应用向量的数量积及应用 如图所示，已知平行六面体如图所示，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中，底面中，底面ABCD是边长为是边长为a的正方形，侧的正方形，侧棱棱AA1的长为的长为b，A1ABA1AD120，(1)求求AC1的长；的长；(2)证明：证明：AC1BD.自我挑战自我挑战2在三棱锥在三棱锥SABC中，中，SABC，SBAC，求证：，求证：SCAB.1在运用空间向量的运算法则化简向量表达式在运用空间向量的运算法则化简向量表达式时，要结合空间图形，观察分析各向量在图形中时，要结合空间图形，观察分析各向量在图形中的表示，运用运算法则，化简到最简为止的表示，运用运算法则，化简到最简为止2证明两向量共线的方法为：首先判断两向量中证明两向量共线的方法为：首先判断两向量中是否有零向量若有，则两向量共线；若两向量是否有零向量若有，则两向量共线；若两向量a，b中，中，b0，且有，且有ab(R)，则，则a，b共线共线2019POWERPOINTSUCCESS2022-5-292019THANK YOUSUCCESS2022-5-29
