1、第九章第九章 空间向量专题复习空间向量专题复习制作人：焦明辉制作人：焦明辉一复习回顾一复习回顾1 平行六面体法则平行六面体法则2.2.共线向量共线向量: :(1)(1)定义定义: :如果表示空间向量的有向线段所在如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合直线互相平行或重合, ,则这些向量叫做共线向量则这些向量叫做共线向量( (或平行向量或平行向量),),记作记作/ab(2)共线向量定理共线向量定理: 对于空间任意两个向量a、b(b=0),a/b的充要条件是存在实数使a= b.(3)推论推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实
2、数t，满足等式OP = OA + t a. (1)其中向量a叫做直线l的方向向量.aPBOP = (1- t)OA + t OB. (2)说明说明: (1),(2)都叫做空间直线的向量参数表示式.OP 、OA 、OB.的终点共线的充要条件是存在实数m、n，且m+n=1，使得 OP = mOA+nOB. (3)。，使，实数对共面的充要条件是存在与向量不共线，则向量如果两个向量byaxpyx,p,baba3 共面向量定理：共面向量定理：推论推论:空间一点空间一点P位于平面位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序内的充分必要条件是存在有序 实数对实数对x、y，使，使 MP = xMA + yMB 1
3、或对空间任一定点或对空间任一定点O，有，有 OP = OM + xMA + yMB. 2 对空间任意一点对空间任意一点O和不共线的三点和不共线的三点A、B、C，OP = xOA + yOB + zOC（其中（其中x+y+z=1）四点P、A、B、C共面。 3 一复习回顾一复习回顾4空间向量基本定理：空间向量基本定理： 如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使pxaybzc。 任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底，零向量的表示唯一。，使，数对，都存在唯一的有序实空间任一点是不共面的四点，则对、推论：设oCzoByoAxopzyxPCBAoCO
4、ABB1A1P1P一复习回顾一复习回顾eaaea,cos0babaaaa2（1）（2）（3）5 空间两个向量的数量积空间两个向量的数量积bababa,cos 数量积的运算律数量积的运算律)()(baba交换律）(abba分配律）()(cabacba（1）（2）（3）2)(cbaaccbbacba2222226 6、向量的直角坐标运算、向量的直角坐标运算. .),(),(321321bbbbaaaa设设则则);,(332211babababa);,(332211babababa);)(,(321Raaaa;332211babababa)(,/332211Rbabababa. 0332211bab
5、ababa(1) 夹角、夹角、|,cosbababa2322212|aaaaaa2322212|bbbbbb;232221232221332211bbbaaabababa;332211babababa7空间向量的夹角和距离公式空间向量的夹角和距离公式(2) 空间两点间的距离公式、空间两点间的距离公式、;)()()(|),(),(A212212212222111zzyyxxABABABzyxBzyx则已知在空间直角坐标系中，学习目标学习目标：1掌握空间向量有关概念、运算及定理、推论。2掌握计算向量的长度、有关角，正确求两点间的距离3学会判断两直线（向量）的位置关系（平行、垂直）411BAABCD
6、A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1E E1 1F F1 1XYZ解析：解析：不妨设不妨设正方体的棱长正方体的棱长为为1；以；以D为原为原点点O建立空间建立空间直角坐标系直角坐标系O-XYZO例例1：在正方体：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，B1E1=D1F1= 求求BE1与与DF1所成的角的余弦值所成的角的余弦值二知识运用与研究二知识运用与研究解：不妨设正方体的边长为1，建立空间直角坐标系Oxyz，则ABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1E E1 1F F1 1XYZB(1，1，0)， E1(1，34，1) ，D(0，0，0)，F1(0，1/4，1)B
7、E1=(0，-14，1)，DF1=(0，1/4，1) BE1 =174 DF1 =174BE1DF1=1516cosBE1，DF1=BE1DF1 BE1 DF1=1517ABCD,BDABABCA解：由已知22)(|DBBAACDCACDBDBBABAACDBBAAC222|222(217)2=62+42+82+26 8cosCA，BDcosCA，BD=1200所求角为所求角为600例例4.已知在平行六面体已知在平行六面体ABCD-ABCD中中,AB=4,AD=3,AA=50090 ,60 ,BADBAADAAAC 求的长ABCDABCD解解 AC=AB+AD+AA AC 2=(AB+AD+A
8、A)2= AB 2+ AD 2+ AA 2+2(ABAD+ABAA+ADAA)=42+32+52+2(0+10+7.5)=85 AC =85ABCDA1B1C1D1例例3 已知已知 正方形正方形ABCD 求证求证 CA1平面平面AB1D1证明证明 连结连结 A1C1CC1平面平面A1B1C1D1 B1D1A1C1A1CB1D1同理可证同理可证 A1CAD1B1D1AD1=D1CA1平面平面AB1D1XyZABCDD解解 由已知有由已知有ACAB =1200 CD 2=CDCD= (CA+AB+BD)2 = CA 2+ AB 2+ BD 2+2CAAB+2CABD+2ABBD =b2+a2+b2+2b2cos1200=a2+b2 CD =a2+b2三三 练习反馈练习反馈2 已知平行六面体已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中，中，底面底面ABCD是边长为是边长为a的正方形，的正方形， 侧棱侧棱AA1的长为的长为b，A1AB=A1AD=1200求求(1) BD1 (2)直线直线BD1和和AC夹角的余弦值夹角的余弦值 ABCDA1B1C1D12019POWERPOINTSUCCESS2022-5-292019THANK YOUSUCCESS2022-5-29
