1、第一章第一章 解三角形解三角形11.2余弦定理第一章第一章 解三角形解三角形第一章第一章 解三角形解三角形1RtABC中，C90，则a2b2 .2若为锐角，则cos 0；若为钝角，则cos 0；若为直角，则cos 0.c2第一章第一章 解三角形解三角形(1)语言叙述三角形任何一边的平方等于 减去 的积的 (2)公式表达a2 ；b2 ；c2 .其他两边的平方和这两边与它们夹角的余弦两倍b2c22bccosAa2c22accosBa2b22abcosC第一章第一章 解三角形解三角形(3)推论cosA ；cosB ；cosC .第一章第一章 解三角形解三角形2余弦定理及其推论的应用应用余弦定理及其推
2、论可解决两类解三角形的问题，一类是已知 解三角形，另一类是已知 解三角形两边及其夹角三边第一章第一章 解三角形解三角形第一章第一章 解三角形解三角形1已知三角形任意两边与一角，借助于正、余弦定理是否能求出其他元素？【提示】能已知三角形两边与一角有如图所示的两种情况：第一章第一章 解三角形解三角形图中已知角A和边a，b，可由正弦定理先求角B和角C，继而可求边c.图中已知角A和边b、c，可先由余弦定理求边a，继而可由正弦定理求角B和角C.第一章第一章 解三角形解三角形【思路点拨】既可以先用正弦定理求出角C，再求其余的边和角，也可以先由余弦定理列出边长a的方程解出a后再用正弦定理求角A和角C第一章第
3、一章 解三角形解三角形第一章第一章 解三角形解三角形第一章第一章 解三角形解三角形通过比较两种解法，可以看出方法一利用余弦定理列出关于a的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出a边的长，这样可免去判断取舍的麻烦方法二直接运用正弦定理，先求角再求边，运算较简，但要判断解的情况进行取舍两种方法各有优劣第一章第一章 解三角形解三角形第一章第一章 解三角形解三角形第一章第一章 解三角形解三角形已知三边(或三边关系)解三角形在ABC中，已知a7，b3，c5, 求最大角和sin C.【思路点拨】先确定最大角，再用余弦定理求出其余弦值从而求出最大角，最后用正弦定理求sin C.第一章第一章 解三角形解三角形
4、第一章第一章 解三角形解三角形第一章第一章 解三角形解三角形第一章第一章 解三角形解三角形已知三角形三边求角可先用余弦定理，再用正弦定理利用余弦定理求角时，角是唯一确定的，用正弦定理求角时，则需根据三角形边角关系确定角的取值，要防止产生增解或漏解第一章第一章 解三角形解三角形2在ABC中，已知(sinBsinC)：(sinCsinA)：(sinAsinB)456，求ABC的最大角第一章第一章 解三角形解三角形第一章第一章 解三角形解三角形判断三角形的形状在ABC中，已知(abc)(abc)3ab，且2cos Asin Bsin C，确定ABC的形状【思路点拨】既可以将条件统一为边的条件，利用边
5、的关系进行判断，也可以将条件转化为角的关系，通过角来判断第一章第一章 解三角形解三角形第一章第一章 解三角形解三角形第一章第一章 解三角形解三角形第一章第一章 解三角形解三角形第一章第一章 解三角形解三角形判断三角形的形状，通常有两个途径：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用ABC这个结论在两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解第一章第一章 解三角形解三
6、角形3在ABC中，bcos Aacos B，试判断ABC的形状【解析】方法一：(利用余弦定理的推论将角转化为边)bcos Aacos B，ba，b2c2a2a2c2b2，a2b2，ab，ABC为等腰三角形第一章第一章 解三角形解三角形方法二：(利用正弦定理将边转化为角)bcos Aacos B，又b2Rsin B，a2Rsin A，2Rsin Bcos A2Rsin Acos B，sin Acos Bcos Asin B0，sin(AB)0.又0A，B，AB，AB0，即AB，ABC为等腰三角形第一章第一章 解三角形解三角形正、余弦定理的综合应用如图，在四边形ABCD中，BCa，DC2a，四个内
7、角A、B、C、D的度数之比为37410，求AB的长【思路点拨】先根据内角和为360求出各内角的大小，在BCD中，由余弦定理求BD，再在ABD中，用正弦定理求AB.第一章第一章 解三角形解三角形第一章第一章 解三角形解三角形第一章第一章 解三角形解三角形解多边形的问题，要通过作辅助线转化为三角形中的问题，并根据给出条件选择余弦定理或正弦定理求解本题中求ADB的度数是关键，要善于挖掘隐含条件BC2BD2CD2.也可通过余弦定理求出BDC的度数第一章第一章 解三角形解三角形4如图所示，已知在四边形ABCD中，ADCD，AD10，AB14，BDA60，BCD135，求BC的长第一章第一章 解三角形解三
8、角形第一章第一章 解三角形解三角形第一章第一章 解三角形解三角形1余弦定理证明的其他方法(1)用坐标法证明余弦定理如图：以A为原点，边AB所在直线为x轴建立直角坐标系，第一章第一章 解三角形解三角形则A(0,0)、B(c,0)、C(bcosA，bsinA)，由两点间距离公式得BC2b2cos2A2bccosAc2b2sin2A，即a2b2c22bccosA.同理可证：b2a2c22accosB，c2a2b22abcosC.第一章第一章 解三角形解三角形第一章第一章 解三角形解三角形第一章第一章 解三角形解三角形(3)余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例，两者反映了特殊与一般的关
9、系，从特殊到一般的学习过程，是认识事物的最基本的规律(4)由余弦定理以及余弦函数的公式知：在ABC中，若a2b2c2，则0A90；反之，若0A90，则a2b2c2.在ABC中，若a2b2c2，则A90；反之，若A90，则a2b2c2.在ABC中，若a2b2c2，则90A180；反之，若90A180，则a2b2c2.第一章第一章 解三角形解三角形3解三角形问题的类型归纳解三角形的问题可以分为以下四类：(1)已知三角形的两边和其中一边的对角，解三角形此种情况的基本解法是先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定理求出第三个角，再用正弦定理求出第三边，注意判断解的个数第一章第一章 解三角形
10、解三角形(2)已知三角形的两角和任一边，解三角形此种情况的基本解法是若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求第三边. 若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边(3)已知两边和它们的夹角，解三角形此种情况的基本解法是先用余弦定理求第三边，再用正弦定理或余弦定理求另一角，最后用三角形内角和定理求第三个角第一章第一章 解三角形解三角形(4)已知三角形的三边，解三角形此种情况的基本解法是先用余弦定理求出一个角，再用正弦定理或余弦定理求出另一个角，最后用三角形内角和定理，求出第三个角要解三角形，必须已知三角
11、形的一边的长若已知条件中一条边的长也不给出，三角形可以是任意的，因此无法求解第一章第一章 解三角形解三角形第一章第一章 解三角形解三角形【错因】运用余弦定理求边长时，易产生增解，因此要结合题目中隐含条件进行判断第一章第一章 解三角形解三角形第一章第一章 解三角形解三角形2已知钝角三角形ABC的三边分别为am，bm2，cm4，求m的取值范围第一章第一章 解三角形解三角形【错因】忽略了三角形成立的条件m(m2)m4，即m2.第一章第一章 解三角形解三角形第一章第一章 解三角形解三角形1在ABC中，a2c2b2ab，则角C大小为()A60B45或135C120 D30【答案】A第一章第一章 解三角形
12、解三角形【答案】C 第一章第一章 解三角形解三角形3已知ABC的三边AB2，BC3，AC4，则此三角形是_【答案】钝角三角形第一章第一章 解三角形解三角形4在ABC中，若sin2Asin2Bsin2CsinBsinC，求角A.第一章第一章 解三角形解三角形第一章第一章 解三角形解三角形练考题、验能力、轻巧夺冠第一章第一章 解三角形解三角形有关的数学名言有关的数学名言数学知识是最纯粹的逻辑思维活动，以及最高级智能活力美学体现。普林舍姆历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人精细。培根数学是最宝贵的研究精神之一。华罗庚没有哪门学科能比数学更为清晰地阐明自然界的和谐性。卡罗斯数学是规律和理论的裁判和主宰者。本杰明
