1、9 三角函数的简单应用 我们已经知道周期现象是自然界中最常见我们已经知道周期现象是自然界中最常见的现象之一，三角函数是研究周期现象最重要的现象之一，三角函数是研究周期现象最重要的数学模型的数学模型. .在本节中，我们将通过实例，让同在本节中，我们将通过实例，让同学们初步体会如何利用三角函数研究简单的实学们初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问题际问题. .1.体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型（重点）2.体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学建模思想，从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.（难点）例例1.1.水车是一种
2、利用水流的动力进行灌溉的工具，如图是一水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，如图是一个水车工作的示意图，它的直径为个水车工作的示意图，它的直径为3m,3m,其中心（即圆心）其中心（即圆心）O O距距水面水面1.2m,1.2m,如果水车逆时针匀速旋转，旋转一圈的时间是如果水车逆时针匀速旋转，旋转一圈的时间是 min.min.在水车轮边缘上取一点在水车轮边缘上取一点P P，点，点P P距水面的高度为距水面的高度为h(m). h(m). (1) (1)求求h h与时间与时间t t的函数解析式，并作出这个函数的简图的函数解析式，并作出这个函数的简图. . (2)(2) 讨论如果雨季河水上涨或旱季河流
3、讨论如果雨季河水上涨或旱季河流水量减少时，所求得的函数解析式中的参水量减少时，所求得的函数解析式中的参数将会发生哪些变化数将会发生哪些变化. .若水车转速加快或减若水车转速加快或减慢，函数解析式中的参数又会受到怎样的慢，函数解析式中的参数又会受到怎样的影响？影响？43水车问题解:不妨设水面的高度为0,当点P旋转到水面以下时，P点距水面的高度为负值.显然，h与t的函数关系是周期函数的关系.故可列表、描点，画出函数在区间11.8,91.8上的简图：t t11.11.8 831.31.8 851.51.8 871.71.8 891.91.8 81.21.2 2.72.7 1.21.2- -0.30.
4、31.21.21.5sin(0.295 )1.240ht 面对实际问题建立数学模型，是一项重要的面对实际问题建立数学模型，是一项重要的基本技能基本技能. .这个过程并不神秘，就像这个例题，这个过程并不神秘，就像这个例题，把问题提供的把问题提供的“条件条件”逐条地逐条地“翻译翻译”成成“数学数学语言语言”，这个过程是很自然的，这个过程是很自然的. .解答应用题关键是将实际问题转化为数学模型.例例2.2.海水受日月的引力海水受日月的引力, ,在一定的时候发生涨落在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般地，早潮叫潮的现象叫潮汐，一般地，早潮叫潮, ,晚潮叫汐晚潮叫汐, ,在在通常情况下通常情况下, ,
5、船在涨潮时候驶进航道船在涨潮时候驶进航道, ,靠近船坞靠近船坞; ;卸货后，落潮时返回海洋卸货后，落潮时返回海洋, ,下面给出了某港在某下面给出了某港在某季节每天几个时刻的水深季节每天几个时刻的水深. . 时时刻刻水深水深/m时刻时刻水深水深/m时刻时刻水深水深/m0:005.09:002.518:005.012:0021:00潮汐问题(1)选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出在整点时的水深的近似值;(2)(2)一条货船的吃水深度一条货船的吃水深度( (船底与水面的距离船底与水面的距离) )为为4m4m，安全条例规定至少要有安全条例规定至少要有1.5m1.5m的安全
6、间隙的安全间隙( (船底与海船底与海底的距离底的距离) )，该船何时能进入港口？，该船何时能进入港口？(3)(3)若船的吃水深度为若船的吃水深度为4m4m，安全间隙为，安全间隙为1.5m,1.5m,该船在该船在2 2：0000开始卸货，吃水深度以每小时开始卸货，吃水深度以每小时0.3m0.3m的速度减的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？较深的水域？分析分析(1)(1)考察数据，可选用正弦函数，再利用待定系数考察数据，可选用正弦函数，再利用待定系数法求解；法求解；(2)(2)在涉及三角不等式时，可利用图像求解在涉及三角不等式
7、时，可利用图像求解. . 解：(1)可设所求函数为f(x)=Asinx+k，由已知数据求得A=2.5，k=5，T=12，故 f(x)=2.5sin x+5.62=T6，xyO241261839152152.57.5在整点时的水深近似为在整点时的水深近似为: :1:001:00；5:005:00；13:0013:00；17:0017:00为为 6.3m6.3m；2:002:00；4:004:00；1414：0000；16:0016:00为为 7.2m7.2m；7:007:00；11:0011:00；19:0019:00；23:0023:00为为 3.7m3.7m；8:008:00；10:0010
8、:00；20:0020:00；22:0022:00为为 2.8m2.8m；(2)由2.5sin x+55.5，得 6sin0.26x画出y=sin x的图像(如图所示)，由图像可得65101520 xyO1-1 y=sin x6y=0.2 0.4 x5.6， 或 12.4x17.6.故该船在故该船在0 0：2424至至5 5：3636和和1212：2424至至1717：3636期间可以进港期间可以进港. .(3)(3)若若2x24, x2x24, x时刻吃水深度为时刻吃水深度为h(x)=5.5h(x)=5.50.3(x0.3(x2)2)，由由f(x)h(x)+1.5f(x)h(x)+1.5，得
9、，得 sinx 0.440.12x.65101520 xyO1-1 y=sin x6y=-0.12x+0.44 画出y=sin 和y=0.440.12x的图像(如图)，6x由图像可知当x=6.7时，即6：42时，该船必须停止卸货，将船驶向较深的水域. 一半径为一半径为3m3m的水轮如图所的水轮如图所示，水轮圆心示，水轮圆心O距离水面距离水面2m2m，已，已知水轮每分钟转动知水轮每分钟转动4 4圈，如果当圈，如果当水轮上一点水轮上一点P P从水中浮现时从水中浮现时( (图中点图中点P P0 0) )开始计算开始计算时间时间.(1).(1)将点将点P P距离水面的高度距离水面的高度z z(m)(m
10、)表示为时间表示为时间t(s)t(s)的函数的函数. .(2)(2)点点P P第一次达到最高点大约要多长时间？第一次达到最高点大约要多长时间？OPP023OPP023xy解:(1)不妨设水轮沿逆时针方向旋转,如图所示,建立平面直角坐标系. 设角 ( 0)是以Ox为始边，OP0为终边的角.2由OP在ts内所转过的角为 ，可知以Ox为始边， OP为终边的角为 ,4 22()t =t60152t +15，则2z3sin(t + )2.15当t=0时，z =0，可得2sin.3 因为 ，所以 -0.73， 02故所求函数关系式为2z = 3sin(t0.73)+2.152t +15故P点纵坐标为3sin( )，(2)令 得23sin(t0.73)2515z，2sin(t0.73)1.152t0.73152，取取解得t5.5.答:点P第一次达到最高点大约需要5.5s.1.通过学习三角函数的简单应用,体会数学建模的过程.2.会求三角函数的解析式，能利用数学知识解决一些简单的实际问题.
