1、第二章函数、导数及其应用第1讲函数与映射的概念考纲要求考点分布考情风向标1.了解构成函数的要素.2.会求一些简单函数的定义域和值域.3.了解映射的概念.4.了解指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数(a0，且a1)2011 年大纲第 2 题考查求反函数；2012 年大纲第 2 题考查求反函数；2013 年大纲第 6 题考查求反函数；2016 年江苏第 5 题考查求函数定义域，上海第 6 题考查求反函数对函数概念的理解是学好函数的关键，函数的概念比较抽象，不易理解，应做适量练习，通过练习弥补理解的缺陷，纠正理解上的错误.本节重点解决求函数的定义域.但是也要补充反函数的概念及求法，全国卷在
2、2011 年、2012 年、2013 年连续三年都考查求简单函数的反函数映射的定义设 A，B 是两个非空集合，如果按照某种对应关系 f，对于集合 A中的任意元素，在集合 B 中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的对应关系叫做从集合 A 到集合 B 的映射，通常记为 f：AB函数的概念函数的定义设 A，B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数和它对应，那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，通常记为 yf(x)，xA函数的三个要素定义域x 的取值范围 A值域函数值的集合f(x)|xA对应关系 f1
3、.下列函数中，与函数 yx 相同的是()A.0，)C.(0，)B.(，0D.(，0)BB解析：12x0,2x120，x0.故选B.3.(2013 年大纲)已知函数 f(x)的定义域为(1,0)，则函数f(2x1)的定义域为()B4.函数f(x)2x的反函数yf1(x)的图象为( )ABCD解析：指数函数f(x)2x的反函数为对数函数ylog2x.故选 A.A考点 1有关映射与函数的概念例 1：(1)下列对应关系是表示从集合 M 到集合 N 的函数的是()解析：A 对于 M 中的元素 0，N 中没有元素与之对应，故该对应不是从 M 到 N 的函数；B 对于 M 中的元素1，N 中没有元素与之对应
4、，故该对应不是从 M 到 N 的函数；C 对于 M中的元素，如 x1，通过对应关系 f：xy2x 得到 M 中两个元素1 与之对应，故该对应不是从 M 到 N 的函数.答案：D(2)下列四个图象中，是函数图象的是()A.C.B.D.解析：由每一个自变量 x 对应唯一一个 f(x)可知不是函数图象，是函数图象.答案：B(3)(2015年浙江)存在函数f(x)，满足对任意xR都有()A.f(sin 2x)sin x B.f(sin 2x)x2xC.f(x21)|x1| D.f(x22x)|x1|答案：D【规律方法】理解映射的概念，应注意以下几点：集合 A，B 及对应法则 f 是确定的，是一个整体系
5、统；对应法则有“方向性”，即强调从集合 A 到集合 B 的对应，它与从集合 B 到集合 A 的对应关系一般是不同的；集合 A 中每一个元素在集合 B 中都有象，并且象是唯一的，这是映射区别于一般对应的本质特征；集合 A 中不同的元素在集合 B 中对应的象可以是同一个；不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象.x123f(x)131x123g(x)321【互动探究】1.已知函数 f(x)，g(x)分别由下表给出：则 fg(1)的值为_；12满足 fg(x)gf(x)的 x 的值为_.2.已知映射 f：AB，其中 ABR，对应关系 f：xyx22x，对于实数 kB，且在集合 A 中没有
6、元素与之对应，)A则 k 的取值范围是(A.k1C.k1.考点 2求函数的定义域考向 1具体函数的定义域_.解析：要使函数有意义，必须32xx20，即x22x30，解得3x1.答案：3,1解析：由已知，得log2x10，log2x1.解得x2.答案：C答案：x|xR，x1，且 x2【规律方法】(1)求定义域的一般步骤：写出使得函数式有意义的不等式(组)；解不等式(组)；写出函数的定义域.(2)常见的一些具体函数的定义域：有分母的保证分母不为零；有开偶次方根的要保证被开方数为非负数；有对数函数的保证真数大于零，底数大于零，且不等于 1.【互动探究】B考向 2抽象(复合)函数的定义域例 3：(1)
7、若函数 f(x)的定义域为2,3，则 f(x1)的定义域为_；(2)若函数 f(x 1) 的定义域为 2,3 ， 则 f(x) 的定义域为_，f(2x1)的定义域为_；(3)若函数 f(x)的值域为2,3，则 f(x1)的值域为_，f(x)1 的值域为_.解析：(1)若函数f(x)的定义域为2,3，则对于f(x1)，有2x13，解得3x4，即f(x1)的定义域为3,4.(2)若函数f(x1)的定义域为2,3，即2x3，则有1x12，即f(x)的定义域为1,2.而对于f(2x1)，有12x12，(3)f(x1)的图象是将 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度得到的，不改变值域.f(x)1 的图
8、象是将 f(x)的图象向下平移 1 个单位长度得到的.故 f(x1)的值域为2,3，f(x)1 的值域为1,2.答案：(1)3,4(2)1,2(3)2,31,2【规律方法】对于求抽象的复合函数的定义域，主要理解三种情形：已知 f(x)的定义域为a，b，求 fu(x)的定义域，只需求不等式 au(x)b 的解集即可；已知 fu(x)的定义域为a，b，求 f(x)的定义域，只需求 u(x)在区间a，b内的值域；已知fu(x)的定义域为a，b，求 fg(x)的定义域，必须先利用的方法求出 f(x)的定义域，再利用的方法进行求解.【互动探究】f(x)的定义域为_，函数 yf(x2)的定义域为_.1,2
9、3,0考点 3 反函数答案：A答案：B【规律方法】本题主要考查反函数的求解，利用原函数反解，再互换得到结论，同时也考查函数值域的求法；特别要注意的是教材关于反函数的内容不多，只有对数函数与指数函数互为反函数，因此本知识点要引起我们的重视.【互动探究】log2(x1)5.(2016年上海)已知点(3,9)在函数f(x)1ax的图象上，则f(x)的反函数f1(x)_.解析：将点(3,9)代入函数f(x)1ax中，得a2.所以f(x)12x.用y表示x，得xlog2(y1).所以f1(x)log2(x1).1.函数的三要素是定义域、值域及对应法则，判断两个函数是否相同，只需判断这两个函数的对应法则与定义域是否相同即可.2.对于求抽象的复合函数的定义域，主要理解三种情形：(1)已知 f(x)的定义域为a，b，求 fu(x)的定义域，只需求不等式 au(x)b 的解集即可；(2)已知 fu(x)的定义域为a，b，求 f(x)的定义域，只需求u(x)在区间a，b内的值域；(3)已知 fu(x)的定义域为a，b，求 fg(x)的定义域，必须先利用(2)的方法求出 f(x)的定义域，再利用(1)的方法进行求解.
