1、北京市朝阳区2017届高三二模数学试题（理）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知i为虚数单位，则复数对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2执行如图所示的程序框图，则输出的值是（ ）A23 B31 C32 D633“”是“”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件4已知函数的最小正周期为，则（ ）A函数的图象关于原点对称B函数的图象关于直线对称C函数图象上的所有点向右平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称D函数在区间上单调递增5现将5张连号的电影票分给甲、
2、乙等5个人，每人一张，且甲、乙分得的电影票连号，则共有不同分法的种数为（ ）A12 B 24 C36 D 486某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为（ ）A B C D7已知函数 且若函数的图象上有且只有两个点关于轴对称，则的取值范围是（ ）A B C D8中国古代儒家要求学生掌握六种基本才艺：礼、乐、射、御、书、数，简称“六艺”某 中学为弘扬“六艺”的传统文化，分别进行了主题为“礼、乐、射、御、书、数”六场传统文化知识的竞赛现有甲、乙、丙三位选手进入了前三名的最后角逐规定：每场知识竞赛前三名的得分都分别为且；选手最后得分为各场得分之和在六场比赛后，已知甲最后得分为26分，乙和丙最
3、后得分都为11分，且乙在其中一场比赛中获得第一名，则下列说法正确的是（ ）A每场比赛第一名得分为4 B甲可能有一场比赛获得第二名 C乙有四场比赛获得第三名 D丙可能有一场比赛获得第一名二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9双曲线的渐近线方程是 ，离心率是 10若平面向量，且，则的值是 11等比数列an的前n项和为已知，则an的通项公式 ， 12在极坐标系中，圆被直线所截得的弦长为 13已知满足若有最大值8，则实数的值为 14已知两个集合，满足若对任意的，存在，使得 （），则称为的一个基集若 ，则其基集元素个数的最小值是 三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步
4、骤或证明过程15（本小题满分13分）在中, 角的对边分别为，且，（）求的值；（）若，求的面积16（本小题满分13分）从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图（）求的值；（）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该市中学生中的全体男生的平均身高；（）从该市的中学生中随机抽取一名男生，根据直方图中的信息，估计其身高在180 cm 以上的概率若从全市中学的男生（人数众多）中随机抽取人，用表示身高在以上的男生人数，求随机变量的分布列和数学期望17（本小题满分14分）如图1，在中，分别为边的中点，点分别为线段的中点将沿折起到的位置，使点为线段上的一点
5、，如图2（）求证：；（）线段上是否存在点使得平面？若存在，求出的长，若不存在，请说明理由；（）当时，求直线与平面所成角的大小18（本小题满分13分）已知椭圆：的上下顶点分别为，且点分别为椭圆的左、右焦点，且 （）求椭圆的标准方程；（）点是椭圆上异于，的任意一点，过点作轴于，为线段 的中点直线与直线交于点，为线段的中点，为坐标原点求 的大小19（本小题满分14分）已知函数，（）当时，求函数的单调区间；（）若曲线在点处的切线与曲线切于点，求的值；（）若恒成立，求的最大值20（本小题满分13分）各项均为非负整数的数列同时满足下列条件： ； ；是的因数（）（）当时，写出数列的前五项； （）若数列的前三
6、项互不相等，且时，为常数，求的值；（）求证：对任意正整数，存在正整数，使得时，为常数参考答案一、选择题题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案BBACDC DC二、填空题题号（9）（10）（11）（12）（13）（14）答案24三、解答题： （15）解：（）因为，所以所以所以（）因为，所以又因为，所以所以（16）解：（）根据题意得：解得 （）设样本中男生身高的平均值为，则所以估计该市中学全体男生的平均身高为（）从全市中学的男生中任意抽取一人，其身高在以上的概率约为由已知得，随机变量的可能取值为所以；随机变量的分布列为因为，所以（17）解：（）因为，所以为等边三角形又因为点为线段
7、的中点，所以由题可知，所以平面因为平面，所以又，所以平面所以 （）由（）知平面，如图，建立空间直角坐标系，则，设平面的一个法向量为，,，所以即令，所以，所以假设在线段上存在点，使平面设，.又，所以所以.则.所以.解得，.则在线段上存在中点，使平面且 （）因为，又，所以所以又因为，所以 因为设直线与平面所成角为，则直线与平面所成角为.（18）解：()依题意，得又，在中，所以所以椭圆的标准方程为()设，则，因为点在椭圆上，所以即又，所以直线的方程为令，得又，为线段的中点，所以所以，因为，所以（19）解：（），则.令得，所以在上单调递增.令得，所以在上单调递减.（）因为，所以，所以的方程为.依题意，
8、.于是与抛物线切于点，由得.所以 （）设,则恒成立.易得（1）当时，因为，所以此时在上单调递增.若，则当时满足条件，此时；若，取且此时，所以不恒成立不满足条件；（2）当时，令，得由，得；由，得所以在上单调递减，在上单调递增.要使得“恒成立”，必须有“当时，”成立.所以.则令则令，得由，得；由，得所以在上单调递增，在上单调递减,所以，当时，从而，当时，的最大值为.综上，的最大值为.（20）解：（）5，1，0，2，2. （）因为，所以，又数列的前3项互不相等，（1）当时，若，则，且对，都为整数，所以；若，则，且对，都为整数，所以；（2）当时，若，则，且对，都为整数，所以，不符合题意；若，则，且对，都为整数，所以；综上，的值为.（）对于，令，则.又对每一个，都为正整数，所以，其中“”至多出现个.故存在正整数，当时，必有成立.当时，则.从而.由题设知，又及均为整数，所以，故常数.从而常数.故存在正整数，使得时，为常数.
