1、用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解武汉市吴家山中学武汉市吴家山中学 寇玉琴寇玉琴对于高次方程及其它的一些非常规方程，有必要寻求其近似解。对于高次方程及其它的一些非常规方程，有必要寻求其近似解。国内国内国外国外 中外历史上的方程求解中外历史上的方程求解同学们，同学们， 下面进行一个猜数字游戏下面进行一个猜数字游戏:给定给定1100这这100个自然数，给你个自然数，给你10次机会次机会,你能猜你能猜出这个整数吗？出这个整数吗？实质实质 每次都将所给区间一分为二，进每次都将所给区间一分为二，进行比较后得到新的区间，再一分为二，如行比较后得到新的区间，再一分为二，如此下去，使得区间的两个端点
2、逐步逼近所此下去，使得区间的两个端点逐步逼近所要猜的数字。这种思想就是二分法。要猜的数字。这种思想就是二分法。 对于在区间对于在区间a,b上连续不断且上连续不断且 f(a).f(b)0的函数的函数y=f(x)，通过不断的把函数，通过不断的把函数f(x)的零点的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做做二分法（二分法（bisection )。实质实质 一分为二一分为二 逐步逼近逐步逼近二分法概念二分法概念C C图象在零点附近是连续不断的，且该零图象在零点附近是连续不断的，且该零点
3、为变号零点。点为变号零点。A A例例2：求方程：求方程lnx2x6 0的近似解的近似解问题一问题一：该方程是否有实数解？若有，能否：该方程是否有实数解？若有，能否 确定该方程的实数解所在的区间？确定该方程的实数解所在的区间？ x 1 2 3 4 5 6 7 8 f(x) -4 -1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794(2,3)23( ) ln26f xxx2.52.75 问题二问题二：你有进一步缩小函数零点的范围的方法吗？：你有进一步缩小函数零点的范围的方法吗？ 2.625设函数设函数f (x)lnx+2x6，作出函数图像，作出函数图
4、像例题：求方程例题：求方程lnx2x6 0的近似解的近似解问题三问题三：怎样停止这个可能无限的缩小过程？：怎样停止这个可能无限的缩小过程？ (精确度为精确度为0.1)此时，区间此时，区间 内任何一个内任何一个值都是零点的满足精确度的值都是零点的满足精确度的近似值。一般地，我们就取近似值。一般地，我们就取区间的端点区间的端点a（或（或b）作为方）作为方程的近似解。程的近似解。 , a b23( ) ln26f xxx2.52.752.625 , a bab 给定精确度给定精确度 ，对于零点所在区间，对于零点所在区间 ，当当 时，我们称时，我们称达到精确度达到精确度。23( ) ln26f xxx
5、2.7523( ) ln26f xxx2.75232.75232.7523( ) ln26f xxx2.75例题：求方程例题：求方程lnx2x6 0的近似解的近似解中点(2,3) , a b区间区间( )f a()2abf( )f b所以所以x=2.53125为函数为函数f(x)=lnx+2x-6在区间在区间(2,3)内的零点内的零点近似值，也即方程近似值，也即方程lnx=2x6的近似解的近似解x12.53。2.53906252.531250.00781250.012.5625(2.5,2.5625)0.06252.53125(2.53125,2.5625)0.031252.546875(2.
6、53125,2.546875)0.0156252.5390625(2.53125,2.5390625)0.0078125 232.52.752.6252.5625232.52.752.562523( ) ln26f xxx2.52.752.5625 (精确度为精确度为0.1)10.50.250.1252.52.752.625(2.5,3)(2.5,2.75)(2.5,2.625)的值ba2bam的符号)(mf 11.51.250.51.251.51.375+0.251.251.3751.31250.1251.31251.3750.03125的值b-a由于|1.343 751.312 5|0.0
7、31 250.1，所以函数的一个近似零点可取1.312 5.给定精确度 ，用二分法求函数零点近似值的步骤如下：1.确定区间确定区间 a, ,b ，验证，验证f(a)f(b)0 0,给定精确度给定精确度；3.计算计算f(c)； 2.求区间求区间( (a, ,b) )的中点的中点c c； （1）若）若f(c)=0，则，则c就是函数的零点；就是函数的零点；（2）若）若f(a) f(c)0，则令，则令b= c（此时零点（此时零点x0(a, c) );（3）若）若f(c) f(b)0，则令，则令a= c（此时零点（此时零点x0( c, b) ).4.判断是否达到精确度判断是否达到精确度:即若即若|a-b|，则得到零点近似值，则得到零点近似值a(或或b)；否则重复步骤否则重复步骤24翻字典查英语单词（类似二分法）；翻字典查英语单词（类似二分法）； 输电线路的故障检测；输电线路的故障检测； 检查次品等检查次品等.我在这里四分法，牛顿切线法等四分法，牛顿切线法等. 四分法四分法牛顿切线法牛顿切线法ab
