1、 数学（理科）试题参考答案第 1 页 （共 19 页） 2022 一选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 设集合N|09xAx, 1,2,3,6,9,10B ,则()AAB （ ） A. 0,1,4,5,7,8 B. 1,4,5,7,8 C. 2,3,6,9 D. 【答案】A 【解析】依题意0,1,2,3,4,5,6,7,8,9A, 1,2,3,6,9,10B ， 所以AB 2,3,6,9，故()AAB 0,1,4,5,7,8，故选 A . 2. 已知i是虚数单位，若1212i, 1+i,zz 则复数12zz在复平
2、面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】D【解析】依题意1212i13ii 122zz,复数12zz对应的点是13( ,)22，故选 D. 3. 若是钝角且1sin3，则tan2（ ） A89 B79 C4 27 D4 27 【答案】C 【解析】因为是钝角，所以2217cos212sin12.39 所以2sin21cos 2 274 2sin24 21( ), tan299cos27 . 4. 已知实数x，y满足约束条件20+10 xxyxy，则3zxy的最小值为（ ） A4 B9 C4 D9 【答案】A【解析】如图所示，目标函数即3yxz ，其
3、中 z 取得最小值时，其几何意义表示直线系在 y 轴上的截距最小.据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点 A 处取得最小值，联立直线方程 数学（理科）试题参考答案第 2 页 （共 19 页） 20 xxy，可得2, 2A.据此可知目标函数的最小值为：min33 224zxy .故选 A. 5.已知正方形ABCD中E为AB中点，H为AD中点，FG，分别为BCCD，上的点，2CFFB， 2CGGD，将ABD沿着BD折起得到空间四边形1ABCD，则在翻折过程中，以下说法正确的是（ ） A./ /EFGH B.EF与GH相交 C. EF与GH异面 D.EH与FG异面 【答案】B 6先后两次抛掷一枚
4、质地均匀的骰子，观察它落地时朝上的面的点数，则第一次点数大于第二次点数的概率为（ ） A13 B512 C49 D12 【答案】B【解析】不妨用, x y表示两次投掷的基本事件，其中x代表第一次投掷的点数，y代表第二次投掷的点数.故所有投掷的结果所包含的基本事件有： 1,1 , 1,2 , 1,3 , 1,4 , 1,5 , 1,6， 2,1 , 2,2 , 2,3 , 2,4 , 2,5 , 2,6， 6,1 , 6,2 , 6,3 , 6,4 , 6,5 , 6,6共 36 种，其中满足第一次点数大于第二次点数基本事件 2,1 , 3,1 , 3,2 , 4,1 , 4,2 , 4,3 ,
5、 5,1 , 5,2 , 5,3 , 5,4 , 6,1 , 6,2 , 6,3 , 6,4 , 6,5共 15 种.所以第一次点数大于第二次点数的概率5361215P .故选 B. 7. 孙子算经一书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗问：五人各得几何？”其大意为“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数构成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子？”根据上述问题的己知条件，则分得橘子最多的人所得的橘子个数为（ ） A.15 B.16 C.18 D.21 【答案】 C 【解析】 设第一个人分得橘子最少的人分到的橘子个数为1a， 则515 4532Sa60.解得61a, 18
6、1263) 15(15 aa故分得橘子最多的人所得的橘子个数是18 8. 在正方体1111ABCDABC D中，O为底面1111AB C D的中心，E为1AA的中点，若该正方体的棱长为 2，则下列结论正确的是（ ） A./ /OC平面BDE B. 1AC 平面11BCD 数学（理科）试题参考答案第 3 页 （共 19 页） C. 平面BDE 平面11ABB A D.三棱锥ABDE的外接球体积为4 3 【答案】B【解析】图，对于 A 选项，易知11/ /ACO E.从而1/ /AC平面BDE，所以OC不可能与平面BDE平行，故 A 选项错误；对于 B 选项，易知11B ED E，所以11OEB
7、D.又3CE ，3OE ，6CO ，故222OECOCE, OECO. 所以OE 平面11BCD. 而1/ /ACOE，所以1AC 平面11BCD 故B 选项正确； 对于 C 选项，易知BC 平面11ABB A，而BC与平面BDE相交，所以平面BDE. 不可能与平面11ABB A垂直，故 C 选项错误；对于 D 选项，设三棱锥ABDE的外接球半径为R，则24=4+4+1=9R，从而3=2R，所以344279=3382VR球，故 D 选项错误. 9已知圆221:(3)1Oxy，圆222:(1)1Oxy，过动点P分别作圆1O、圆2O的切线,PA PB（,A B为切点），使得|2 |PAPB，则动点
8、P的轨迹方程为（ ） A22195xy B 24xy C2213xy D22(5)33xy 【答案】D【解析】由|2 |PAPB得22|2|PAPB.因为两圆的半径均为 1，则2212121POPO ，则2222(3)12 (1)1xyxy 即22(5)33xy. 所以点P的轨迹方程为22(5)33xy. 10已知0m ，0n ，命题:2pmnmn，命题:32 2q mn ，则p是q的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】因为0m ，0n ，由2mnmn得121mn，则12mnmn 2332 2nmmn，当且仅当22nmmnmnmn，
9、即21m ，22n 时取等号. 数学（理科）试题参考答案第 4 页 （共 19 页） 因此pq.因为0m ，0n ，由32 2mn，取1,10mn，则212mn，10mn ，即2mnmn，qp，所以p是q的充分不必要条件.故选 A 11已知F是椭圆E：222210 xyabab的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若5PFQF且120PFQ，则椭圆E的离心率为（ ） A76 B13 C216 D215 【答案】C【解析】设椭圆右焦点F，连接PF，QF，根据椭圆对称性可知四边形PFFQ为平行四边形，则QFPF.因为120PFQ，可得60FPF.所以62PFPFPFa，则13PFa
10、，53PFa.由余弦定理可得22222cos60cPFPFPF PF23PFPFPF PF即2222574433caaa，故椭圆离心率22721126cea，故选 C 12. 设大于 1 的两个实数a，b满足22lnenabba，则正整数n的最大值为（ ） A7 B9 C11 D12 【答案】B【解析】易知22lnnanbbea等价于22lnannbeba.令 2lnnxf xx，1x ，则 121ln (2ln )ln (2ln )nnnxxnxxnxfxxx. 令 0fx 得2nxe.当 0fx 时21,enx;当 0fx 时2e ,nx. 所以 f x在21,en上单调递增，在2e ,n
11、上单调递减，则 f x有最大值2222eennf. 令 2exng xx1x ，则 21e2xnxngxx.当12n时不符合，舍去，所以12n. 则 0,2ngxx.当 0gx 时2nx ;当 0gx 时12nx. 数学（理科）试题参考答案第 5 页 （共 19 页） 所以 g x在1,2n上单调递减，在,2n上单调递增，则 g x有最小值e22nnngn. 若22lneannbba成立，只需2e2nnfg，即222ee2nnnn，即22e2nnn. 两边取自然对数可得22)ln2(nnn.当2n 时等式成立;当3n时有2ln22nnn. 令 2ln22xxxx，本题即求 0 x的最大的正整数
12、. 2410(2)xxx恒成立，则 x在3,上单调递减.因为 58ln403， 1199ln1.5714 1.51072，310ln502， 所以 0 x的最大正整数为 9.故选 B. 二填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13. 已知向量(12)a ，(22)b ，(1, )c，若(2 )=0c ab，则实数_ 【答案】12【解析】易得23,6ab .因为(2 )=0c ab所以3 1+60 解得12 . 14. 某医院现临时安排 2 名医护工作者到社区完成 3 项疫情防控宣传工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有 种.(结果用数字作答
13、) 【答案】 6 【解析】 将 3 项工作看做两项“工作”有23C种分法,所以不同的安排方式共有22326.C A 15. 已知数列na的前n项和为nS，满足 2211nnaS， 122a，则4S 【答案】 160 【解析】 因为 2211nnaS,当2n时， 2211nnaS两式相减化简得：31nnaa. 当1n时 22121aS， 122a，解得41a.则16031)31 (444S. 16.设2( )3cossin cosf xxxx在,m m上单调递减，则实数m的最大值是 【答案】12【解析】因为1+cos213133( )3sin2 =( sin2cos2 )=sin(2)22222
14、23xf xxxxx 在5,12 12上是减函数，故m的最大值是12. 三解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试 数学（理科）试题参考答案第 6 页 （共 19 页） 题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生依据要求作答。 17.（本小题满分 12 分）从222( coscos)3cBbCbcbc； sin()cos3ACAba；(23cos)sinbAaB.选取一个作为条件，补充在下面的划线处，并解决该问题. 已知ABC 中内角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c. 若 . (1)求角 A 的大小； (2) 设4a ，4
15、3b ,求ABC的面积 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 【说明】若考生选择两种或者3种条件依次作答的按照第一个选择条件判定分数。 考生若不写清楚选择条件但是写了具体三个条件中的一个具体等式，请正常阅卷判分。 解:（1）若选,因为222( coscos)3cBbCbcbc及sinsinsinabcABC 得222(sincossincos)sinsin3sinsinCBBCBCBC.1 分 【说明】只写正弦定理原始公式1分，正弦定理写错了，没有进行边化角判0分； 未写出正弦定理，直接得到边角互化的正确等式。222(sincossincos)sinsin3sinsinCBBCBCB
16、C，判1分 所以222sin ()sinsin3sinsinCBBCBC. 因为ABC所以222sinsinsin3sinsinABCBC. .1 分 【说明】写清楚22sin ()sinCBA,或者sin()sinCBA，判1分 表述为因为ABC所以sin()sinCBA，判1分 其他表述例如sin()sinCBA ，sin()cosCBA等错误表述判0分 所以2223abcbc.1 分（3 分） 【说明】写由正弦定理角化边得到2223abcbc，判1分 2223bcabc，222322bcabc等其他等价形式都可以判1分 又222cos2bcaAbc.1 分 所以cos32A.1 分 因为
17、0A得6A. .1 分(6 分) 【说明】写清楚余弦定理正确形式222cos2bcaAbc，2222cosabcbcA判1分， 直接写cos32A，得6A，判3分 数学（理科）试题参考答案第 7 页 （共 19 页） 直接写cos32A，判2分，得3A等其他错误结果，结论分为0分 若选，由正弦定理sinsinsinabcABC及sin()cos3ACAba1 分 【说明】写出正弦定理正确形式，判 1 分正弦定理形式错误 0 分 得sin()sincos3sinBACAA1 分 【说明】直接得到边角互化的正确等式判 1 分，边角互化的其他错误结论判 0 分 则sincossin3sinBABA.
18、1 分(3 分) 【说明】写清楚sinsin()BAC判 1 分，边角互化的其他错误结论判 0 分. 得 sin3tan=cos3AAA. 2 分 【说明】写清楚sin3tan=cos3AAA，3tan=3A判 2 分，tan= 3A或者其他错误结论判 0 分 因为(0,)A,所以6A. .1 分(6 分) 【说明】结论正确得到6A，判结论分 1 分， 结论正确得到3A等其他错误答案判结论分 1 分. 若选由(23cos)sinbAaB得2sin3 cosbaBbA. 由正弦定理sinsinsinabcABC.1 分 【说明】写出正弦定理正确形式，判 1 分 不写(23cos)sinbAaB得
19、2sin3 cosbaBbA，只写正弦定理判1分。 得2sinsinsin3sincosBABBA. 1 分 【说明】边角互化得到2sinsinsin3sincosBABBA. 判 1 分 边角互化错误判 0 分 因为sin0B 所以sin3cos2AA. 1 分(3 分) 【说明】不写清楚，sin0B 或者sin0B ，只要化简得到sin3cos2AA，判 1 分 化简得不到sin3cos2AA或者等价形式判 0 分 即sin13A. 2 分 【说明】能体现辅助角公式得到sin13A，判 2 分 得其他形式例如sin16A或者其他错误结论判，0 分 数学（理科）试题参考答案第 8 页 （共
20、19 页） 因为0A,所以32A得6A . . 1 分(6 分) 【说明】 书写规范：因为0A,所以32A得6A .判 1 分 不写因为0A,所以32A直接下结论得到6A .判 1 分 只写6A .判 1 分 （2）由4a ，4 3b 及正弦定理sinsinbaBA且6A, 得4 34sinsin6B. 1 分 【说明】第二问只写对正弦定理公式不带入具体数据，判 0 分 直接带入数据得到正确表达式4 34sinsin6B，判 1 分 化简得3sin2B . . 1 分 【说明】化简得到3sin2B ，判 1 分， 化简得到其他非3sin2B 的正确等价形式判 0 分 因为0B则3B或23B.1
21、分(9分) 【说明】 不写因为0B，写对了3B或23B，判 1 分 只写3B或23B其中一个判 0 分 若3B则2C.则1sin2ABCSabC.1 分 8 3.1 分 若23B则6C.则1sin4 32ABCSabC. 所以ABC的面积为8 3或4 3. 1 分(12 分) 【说明】写对了三角形面积公式1sin2ABCSabC判 1 分 分类讨论后能得到两个正确答案，并作答正确的判 3 分 分类讨论过程正确，结论正确，未作答ABC的面积为8 3或4 3.扣结论分 1 分，判 2 分 数学（理科）试题参考答案第 9 页 （共 19 页） 18.（本小题满分 12 分）我国是一个水资源严重缺乏的
22、国家，2021 年全国约有 60%的城市供水不足，严重缺水的城市高达 16.4%. 某市政府为了减少水资源的浪费， 计划通过阶梯式水价制度鼓励居民节约用水，即确定一户居民月均用水量标准 x(单位：t)，用水量不超过 x的部分按平价收费，超出 x 的部分按议价收费. 现通过简单随机抽样获得了 100 户居民用户的月均用水量数据(单位：t)，并将数据按照0，4)，4，8)，16，20)分成 5 组，制成了如下频率分布直方图. （1）设该市共有 20 万户居民用户，试估计全市居民用户月均用水量不高于 12(t)的用户数； （2）若该市政府希望使 85%的居民用户月均用水量不超过标准 x (t)，试估
23、计 x 的值（精确到 0.01）； （3）假设该市最终确定三级阶梯价制如下： 级差 水量基数 x (单位：t) 水费价格 (元/t) 第一阶梯 x 14 1.4 第二阶梯 14 20 2.8 小明家上个月需支付水费共 28 元，试求小明家上个月的用水量. 解:（1）由频率分布直方图可得+0.06+0.110.0241aa（）.1 分 解得0.03a .1 分(2 分) 【第【第1 1、2 2分说明】分说明】 写清楚写清楚 （频率频率/ /组距组距）* *组距组距 之和之和等于等于1 1或或体现概率和为体现概率和为1 1的其他等价形式，的其他等价形式，结果正确结果正确判判2 2分分 概率之和为概
24、率之和为1 1的式子列正确，结果错误的式子列正确，结果错误判判1 1分。分。 若以“若以“03. 084)11. 006. 002. 0(1a”形式书写：列式和结果都正确判”形式书写：列式和结果都正确判2 2分；列式分；列式正确结果错判正确结果错判1 1分，列式错结果错判分，列式错结果错判0 0分。分。 居民用户月均用水量不超过 12 (t)的频率为0.03 0.06+0.1140.80（）.1 分(3 分) 所以估计全市 20 万居民用户中月均用水量不高于 12 (t)的用户数为： 20 0.8016（万）；.1 分(4 分) 【第【第3 3、4 4分说明】分说明】 第一个列式结果第一个列式
25、结果0.80.8正确正确，结果写了结果写了16 16 不写单位不写单位判判2 2分分 若书写为：“若书写为：“1620411. 006. 003. 0）（”结果正确判”结果正确判2 2分，列式对结果错判分，列式对结果错判1 1分分 第一个结第一个结果“果“0.80.8”正确，“”正确，“1616”的结果”的结果错判错判1 1分分 第一个结果“第一个结果“0.80.8”错误判”错误判0 0分分 （2）由频率分布直方图知居民用户月均用水量不超过12 (t)的频率为：0.80. 月均用水量不超过 16 (t)的频率为 0.92. .1 分(5 分) 【第【第5 5分说明】分说明】 过程中只体现过程中
26、只体现正确答案正确答案“0.920.92”或或其其正确的分式形式正确的分式形式，不体现“，不体现“0.80.8”判”判1 1分。分。 过程中只体现过程中只体现正确答案正确答案“0.80.8”，不体现“”，不体现“0.920.92”判”判0 0分。分。 则85%的居民用户月均用水量不超过的标准x12,16 （）.1 分(6 分) 故0.800.03(12)0.85x.1 分(7 分) 【第【第6 6、7 7分说明】分说明】 过程中不说明“过程中不说明“)16,12(x”. .直接列出“直接列出“85. 0)1203. 08 . 0 x（”、”、“03. 08 . 085. 012x”、“”、“4
27、12. 08 . 085. 012x”等正确式子判”等正确式子判2 2分。分。 数学（理科）试题参考答案第 10 页 （共 19 页） 过程中体现了“过程中体现了“)16,12(x”，列式错误判”，列式错误判1 1分。分。 过程中不体现“过程中不体现“)16,12(x”，列式错误判”，列式错误判0 0分。分。 解得13.67x 即x的值为 13.67 (t).1 分( 8 分) 【第【第8 8分说明】分说明】 答案答案不写单位不扣分。不写单位不扣分。 “13.67 (t)13.67 (t)，13.6713.67”以外的其他”以外的其他结果判结果判0 0分。分。 (3)因为 19.6=14 1.
28、42814 1.4+(2014) 2.132.2. .1 分( 9 分) 【第【第9 9分说明】分说明】 过程中体现了“过程中体现了“19.619.6”及“”及“32.232.2”或正或正确的分式形式确的分式形式，判，判1 1分。分。 只体现“只体现“19.619.6”或“”或“32.232.2”的单边数据的判”的单边数据的判0 0分分 “19.619.6”、“”、“32.232.2”两个数据都没有的判”两个数据都没有的判0 0分分 所以小明家上个月的用水量达到第二阶梯收费. .1 分( 10 分) 设小明家上个月的用水量为 m (t)，由 28=14 1.4+(m14)2.1.1 分( 11
29、 分) 【第【第1010、1111分说明】分说明】 过程中不说明“在第二阶梯收费”过程中不说明“在第二阶梯收费”. .直接列出正确式子的判直接列出正确式子的判2 2分。分。 过程中体现了“在第二阶梯收费”，但列式错误判过程中体现了“在第二阶梯收费”，但列式错误判1 1分。分。 过程中不说明“在第二阶梯收费”，且列式错误判过程中不说明“在第二阶梯收费”，且列式错误判0 0分。分。 得 m=18 (t). 所以小明家上个月的用水量为 18 (t). .1 分(12 分) 【第【第1212分说明】分说明】 答案正确得答案正确得小明家上个月的用水量为小明家上个月的用水量为18 (t) 18 (t) ，
30、1818，判，判1 1分分； 结果错误结果错误，判，判0 0分分。 19. （本小题满分 12 分） 如图， 在三棱柱111ABCABC中， 点1A在底面ABC的射影为BC的中点O，底面ABC是边长为 2 的正三角形，12 3AA . (1)求证：111AABC; (2)求直线1AB与平面11BBC C所成角的正弦值. 解法一：解法一：（1）底面ABC是边长为 2 的正三角形,O为BC的中点，连接AO,BCAO.1 分 点1A在底面ABC的射影为BC的中点O，1BCAO.1 分 【说明】可以根据其他的方法得到1BCAO合理均给分。 而1AOAOO，BC 平面1AAO.1 分(3 分) 又1AA
31、 平面1AAO1BCAA.1 分 11/ /BCBC，.1 分 数学（理科）试题参考答案第 11 页 （共 19 页） 111AABC.1 分(6 分) （2）由（1）可知1OAOBOA，两两垂直，分别以1OBOAOA，所在直线为xyz， ，轴建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz.1 分 则由题意有 3 A （0， ，0）， B （1，0，0）， C （-1，0，0），1 3A （0，0， ），13 3B （1，-， ）. 所以13 3AB （1，-2 ， ）， BC （-2，0，0），13 3BB （0，- ， ）.1 分(8 分) 设()mxyz， ，为平面11BBC C的法向量， 则1
32、00m BCm BB， 得 33020 yzx，.1 分 【说明】法向量不正确时，列对100m BCm BB，即可给1分。 令1z ，则3y ，0 x . 所以(0 3 )m ，1是平面11BCCB的一个法向量. 。.1 分(10 分) 设所求角为，则1sincos mAB，11m ABm AB.1 分 【说明】结果不正确时，向量夹角公式正确即可给分 33 2244222即直线1AB与平面11BBC C所成角的正弦值为3 2244.1分(12分) 【令建系方法】（2）由（1）可知1OAOBOA，两两垂直，分别以1OAOBOA，所在直线为xyz， ，轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.1 分
33、 则由题意有3, A （0， 0）， B （0， 1，0）， C （0， -1，0），1 3A （0，0， ），13 3B （-， 1，）. 所以13 3AB （-2， 1， ）， BC （0，-2，0），13 3BB （-， 0， ）.1 分(8 分) 数学（理科）试题参考答案第 12 页 （共 19 页） 设()mxyz， ，为平面11BBC C的法向量， 则100m BBm BC， 得 33020 xzy，.1 分 【说明】法向量不正确时，列对100m BCm BB，即可给1分。 令1z ，则0y ，3x . 所以( 3 0 )m ，1是平面11BCCB的一个法向量. .1 分(10 分
34、) 设所求角为，则1sincos mAB，11m ABm AB.1 分 【说明】结果不正确时，向量夹角公式正确即可给分 33 2244222即直线1AB与平面11BBC C所成角的正弦值为3 2244.1分(12分) 解法二：解法二： （1）底面ABC是边长为 2 的正三角形,O为BC的中点,连接AO，BCAO. 点1A在底面ABC的射影为BC的中点O，1AOABC 平面.1 分 【说明】建系前要有垂直的证明才给这1分。 1OAOBOA，两两垂直，分别以1OAOBOA，所在直线为xyz， ，轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.1 分 【说明】描述建系正确或者有如图所示，图上建系正确即可分。
35、 则由题意有3, A （0， 0），1 3A （0，0， ），13 3B （-， 1，）,13 - 3C （-，1，） 11 -2 0BC （0， ， ） , 13 0 3AA （-， ）.1 分（3 分） 则1110 (3)( 2) 00 30BCAA ,.2 分 【说明】结果正确，有过程即可给 2 分 所以 111BCAA 即 111BCAA.1 分(6 分) 数学（理科）试题参考答案第 13 页 （共 19 页） （2）由 （1）可知建立以1OAOBOA，所在直线为xyz， ，轴如图所示的空间直角坐标系Oxyz 则由题意有3, A （0， 0）， B （0， 1，0）， C （0， -1
36、，0），1 3A （0，0， ），13 3B （-，1，）.1 分 所以13 3AB （-2， 1， ）， BC （0，-2，0）， 13 3BB （-， 0， ）.1 分(8 分) 设()mxyz， ，为平面11BBC C的法向量， 则100m BBm BC， 得 33020 xzy，.1 分 【说明】法向量不正确时，列对100m BCm BB，即可给1分。 令1z ，则0y ，3x . 所以( 3 0 )m ，1是平面11BCCB的一个法向量. .1 分(10 分) 设所求角为，则1sincos mAB，11m ABm AB.1 分 【说明】结果不正确时，向量夹角公式正确即可给分。 33
37、2244222即直线1AB与平面11BBC C所成角的正弦值为3 2244.1分(12分) 【说明】有其他情况建系的按现有的评分标准给分即可。 20.（本小题满分 12 分）设函数21( )2lnxf xa xxx，Ra. （1）当1a 时，讨论( )f x的单调性； （2）若( )f x有两个零点，求实数a的取值范围. 【解析】（1）当1a 时211( )2lnf xxxxx,0,x. 则 232121fxxxx 321 (1)xxxx.2 分（2 分） 【说明】可给 2 分的情况：求导完全正确，但不一定通分化简；只给 1 分的情况：有求导，求导过程部分正确；求导过程正确但是最后呈现的结果（
38、比如：通分）存在错误. 由 0fx 得1232,1,1xxx （舍去）.1 分（3 分） 数学（理科）试题参考答案第 14 页 （共 19 页） 【说明】此 1 分，可以是零点求解分，也可以是定义域标注分；如果零点求解部分正确，也可以给这 1 分；如果没有出现零点求解过程，但是后续单调区间端点出现了数字“1，2”，也可以给这 1 分. 当0,1x，2,x时， 0fx 成立，则 f x在 0,1 , 2,上单调递增；.2 分（5 分） 【说明】此处不能出现并集符号，如 0,12,、“0,1或2,”，均扣 1 分.如果没有判断导函数大于零，倒扣 1 分.如果上述情况同时出现，只扣 1 分. 当1,
39、2x时， 0fx 成立，则 f x在1,2上单调递减. 【说明】只完成到这一步，没有下面的“综上，”，也可以得完整的 6 分。 综上 f x的增区间为 0,1 , 2,，减区间为1,21 分（6 分） （2）因21( )2lnxf xa xxx求导得 23321221xaxxfxaxxx，0,x. 当0a 时， 21xf xx，只有一个零点，不符合题意；.1 分（7 分） 当0a 时， f x在0,2上递增,在2,上递减，由 10fa，.1 分（8 分） 取01max,5xa，令 1212ln ,fxxx fxx 则 1210fxx 在2,内成立，故 12lnfxxx在2,上单调递增. 则01
40、0052ln51 2 2ln512ln xfxx . 则00022200000111112ln0f xa xxaxxxxx . 【说明】若写成“x ，有( )f x ”，也给分. 由此得 f x有两个零点等价于 1222ln204fa 得18ln28a .则108ln28a.1 分（9 分） 当0a 时， 23321221xaxxfxaxxx （i）当14a 时， f x在0,单调递增，至多只有一个零点，不符合题意;.1 分（10 分） 【说明】只要提到特殊情况“14a 时，不符合题意”，都可以给这 1 分. 数学（理科）试题参考答案第 15 页 （共 19 页） （ii）当0a 且14a 时
41、，由 0fx 得123112,xxxaa （舍去） 可得 f x有两个极值.因为 11222ln20,2ln4fafaaaaa. 记 2lng xxxxx，则 111 ln1lngxxxxx . 令 1lnh xxx，则 3322112122xhxxxx . 此时当14x 时 0,hx 故 gx在1,4上单调递增； 当104x时 0,hx 故 gx在10,4上单调递减. 故 1=22ln204gxg.故 g x在0,单调递增. 此时0 x时 0g x ，故12ln0faaaaa. 又 1222ln204fa所以 f x至多只有一个零点，不符合题意. .1 分（11 分） 综上，实数a的取值范围
42、为1,08ln28.1 分（12 分） 21. （本小题满分 12 分） 设抛物线2:2(0)C xpy p的焦点为F， 点M在C上，2MF ， 若以MF为直径的圆过点(1,0)， (1)求抛物线C的方程； (2)过曲线1C:221(0)4xyy上一点P引抛物线的两条切线，切点分别为,A B，求OAB的面积的取值范围(O为坐标原点). 解:（1）依题意得(0,)2pF.1 分 【说明】只要在解答过程中体现了焦点坐标均给这【说明】只要在解答过程中体现了焦点坐标均给这 1 分。分。 设( , )M x y,由抛物线性质22pMFy,可得22py .1 分 【说明】得到点【说明】得到点 M 的纵坐标
43、就给这的纵坐标就给这 1 分。分。 因为圆心是MF的中点,所以根据中点坐标公式可得,圆心纵坐标为1. 由已知圆半径也为1,据此可知该圆与x轴相切于点(1,0)故圆心纵坐标为1. 数学（理科）试题参考答案第 16 页 （共 19 页） 则(2,2)2pM.1 分（3 分） 【说明】只要写对点【说明】只要写对点 M 的坐标就给这的坐标就给这 1 分。分。 代入抛物线方程得2440pp，所以2p . 所以抛物线C的方程为24xy.1 分（4 分） 【说明】出现抛物线方程就给这【说明】出现抛物线方程就给这 1 分。分。 （2）在曲线1C:221(0)4xyy上任取一点00(,)P xy，设切点为11(
44、 ,)A x y，22(,)B xy. 因为12yx ，所以在点11( ,)A x y处的切线斜率为112kx.1 分 【说明】用不同方法只要求出切线的斜率均给这【说明】用不同方法只要求出切线的斜率均给这 1 分。分。 则在点11( ,)A x y处的抛物线的切线方程为112()x xyy 又点00(,)P xy在切线上，所以10012()x xyy同理可得20022()x xyy.1 分 【说明】这里写出任何一条切线方程都给这【说明】这里写出任何一条切线方程都给这 1 分。分。 则切点弦AB的方程为002()x xyy.1 分(7 分) 联立方程组0022()4 .x xyyxy，消y得20
45、0240 xx xy 由韦达定理得1202xxx，1204xxy.1 分 【说明】这里只有联立消元不给分，必须见到韦达定理才给这【说明】这里只有联立消元不给分，必须见到韦达定理才给这 1 分分 因为02ABxk，所以222212120001()444ABkxxxxxxy 点O到AB的距离为02024ydx.1 分 【说明】这里写出【说明】这里写出点O到AB的距离d或弦长AB的代入数据的式子就给这给这 1 分，只写公式不给分分，只写公式不给分 则2000142OABSAB dyxy.1 分(10 分) 【说明】这里写出【说明】这里写出OAB的面积表达式就给这给这 1 分，只写面积公式不给分分，只
46、写面积公式不给分 点00(,)P xy在曲线221(0)4xyy上，则220044xy. 故243200000004442( 1,0)OABSyyyyyyy .1 分 【说明】这里将【说明】这里将OAB的面积表达式转化为单变量函数表达式就给这给这 1 分，不写分，不写0y的范围不扣分。 数学（理科）试题参考答案第 17 页 （共 19 页） 令432( )t yyyy 322( )432(432)t yyyyyyy 1,0)y 时，( )0t y恒成立，令432( )t yyyy 在 1,0)上单调递增. 0()(0,1t y，(0,2OABS所以OAB的面积的取值范围(0,2.1 分(12
47、分) （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题记分。 22.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，设曲线1C的参数方程为13+231+2xtyt ，（t为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线2C的极坐标方程为cos (0)aa (1)求曲线1C的普通方程； (2)若曲线2C上恰有三个点到曲线1C的距离为12，求实数a的值 解：(1)由已知得2(3)tx代入31+2yt 消去参数t得.1 分 曲线1C的普通方程为340 xy.2 分(3 分) 【说明说明】没有消参过程，没有消参过程，直接写出直接写出1C方程只给方
48、程只给结果结果2 2分。分。 （2）由曲线2C的极坐标方程cosa得2cosa .1 分 又222xy，cosx，siny，.1 分 所以22xyax即222()( )22aaxy.2 分(7 分) 【说明】【说明】若直接写出若直接写出2C方程只给结果方程只给结果2 2分。极普转化公式的三个公式至少写出两个不扣分。分。极普转化公式的三个公式至少写出两个不扣分。 所以曲线2C是圆心为(,0)2a，半径等于2a的圆. 因为曲线2C上恰有三个点到曲线1C的距离为12，所以圆心(,0)2a到直线340 xy 的距离1=22ad 数学（理科）试题参考答案第 18 页 （共 19 页） 即223412=2
49、2( 3)( 1)aa .2 分 【说明】【说明】公式公式223412=22( 3)( 1)aa 中，等号左、右各占中，等号左、右各占1 1分。分。 解得10(23)a .1 分(10 分) 23.（本小题满分10分）已知函数 0,0f xxaxb ab （1）当12ab，时，解不等式 8f xx； （2）若函数 f x的最小值是 2，证明：1115223abab 解:（1）当12ab，时，不等式为128xxx . 当2x 时不等式化为1)(2)8xxx（得3x .1 分 故32x ；.1 分(2 分) 当21x 时不等式化为(1)(2)8xxx得5x . 故21x ；.1 分 当1x 时不等
50、式化为(1)(2)87xxxx . 故17x.1 分 综上可知，不等式 8f xx的解集为37xx .1 分(5 分) 【说明】 结果正确，有过程，满分；结果错误，三个分段结果对全对【说明】 结果正确，有过程，满分；结果错误，三个分段结果对全对4 4分，对两个分，对两个3 3分，对一个分，对一个2 2分，分，都不对时分段正确都不对时分段正确1 1分。分。 【第（1）小题解法二】用图象解 12f xxx 21,2=3, 2121,1xxxxx .1 分 作出 f x与8yx的图象： .2 分 数学（理科）试题参考答案第 19 页 （共 19 页） 由2183xxx ，由2 +187xxx .1
