1、 数学试题 第 1 页（共 6 页） 命题学校命题学校：黄冈一中 定稿人：定稿人：潘毅、李汉钊 2022 届湖北省二十一所重点中学高三第三次联考 数数 学学 本试卷共 6 页，22 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡指定位置上，并在相应位置填涂考生号 2作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案答案不能答在试卷上 3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上. 4考生必须保持答
2、题卡的整洁考试结束后，将试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 设集合 |,log(1)xaAaxR ax a ，2 |0,ln( 221)Byxxyxx ，下列说法正确的是（ ） A. AB B. BA C.BA D.BA 2. 七巧板是一种古老的中国传统智力玩具. 如图，边长为4的七巧板左下角为坐标原点，其中各点的横、纵坐标均为整数. 当函数sin()yAxb (0,| 2)b经过的顶点数最多时，Ab的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 1 或12 D. 1 或 2 3. 已知2.718
3、28e是自然对数的底数，设20222021a ，20232022b ，40454043c ，12022de，下列说法正确的是（ ） A. bacd B. cbda C. bdca D. badc 数学试题 第 2 页（共 6 页） 4. 如图，在半径为2的半圆弧AB上取一点P，以AP为直径作半圆，则图中阴影部分为月牙AP，在弧AB上取2k个点122,.,kP PP将圆弧21k 等分，设月牙122,.,kAP APAP面积的平均值为kS，若对于*kN 均有kS，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 12 D. 1 5. 在卡方独立性检验中， 2,2,()i ji ji jABB ， 其中
4、, i jA为列联表中第i行j列的实际频数，, i jB为假定独立情况下由每行、每列的总频率乘以总频数得到的理论频数，取2pq时，如表 1 所示，则有：1,11,22,12,20.3101.2,1.8,2.8,4.2BBBB，因此： 22222(1 1.2)(2 1.8)(32.8)(44.2)51.21.82.84.263 与课本公式22()()()()()n adbcab ac bd cd 等价， 故以下2 3列联表的2最小值为 （ ） A. 3811 B. 13033 C. 37677 D. 520121 6. 南北朝时期的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献， 他在实践的基础上提出祖暅原理
5、： “幂势既同，则积不容异”. 其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积总是相等，则这两个立体的体积相等. 如图，两个半径均为1的圆柱体垂直相交，则其重叠部分体积为（ ） A. 43 B. 163 C. 43 D. 3 1 2 0.3P *5 (N )x x y 30 3 4 0.7P 30 25 45 0.4P 0.6P (10n ） (200)n 数学试题 第 3 页（共 6 页） 7. 函数( )ln1f xxax有两个零点1212,()x xxx，下列说法错误的是（ ） A. 01a B. 121x xa C. 2111xxa D
6、. 122xxa 8. 小林同学喜欢吃 4 种坚果：核桃、腰果、杏仁、榛子，他有 5 种颜色的“每日坚果”袋. 每个袋子中至少装 1 种坚果，至多装 4 种坚果. 小林同学希望五个袋子中所装坚果种类各不相同，且每一种坚果在袋子中出现的总次数均为偶数，那么不同的方案数为（ ） A. 20160 B. 20220 C. 20280 D. 20340 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分。 9. 函数ln|( )(0)sinaxxf xax在2 ,2上的大致图像可能为（ ）
7、 A. B. C. D. 10. 已知数列na的前n项和为nS，且1nnSa对于*Nn 恒成立，若定义(1)nnSS，( )(1)1(2)nkkniiSSk，则以下说法正确的是（ ） A. na是等差数列 B. 2(3)2122nnnnS C. 1(2)( )1(1)!kkkn knnASSk D. 存在n使得2021(2022)2022!nnS 数学试题 第 4 页（共 6 页） 11. 已知向量( , 3 )ABmm，( ,3 )BCnm( ,0)m n，且| 1BM ，AMxAC，其中412cos9x ，下列说法正确的是（ ） A. AB与AC所成角的大小为3 B. 32310 xx C
8、. 当2|1ABx时，|ABBC取得最大值 D. |ABBC的最大值为3x 12. 双曲线2222:1( ,0)xyCa bab的虚轴长为 2，12,F F为其左右焦点，, ,P Q R是双曲线上的三点， 过P作C的切线交其渐近线于,A B两点. 已知12PFF的内心I到y轴的距离为1. 下列说法正确的是（ ） A. 2ABF外心M的轨迹是一条直线 B. 当a变化时，AOB外心的轨迹方程为22222(1)4axa y C. 当P变化时，存在,Q R使得PQR的垂心在C的渐近线上 D. 若, ,X Y Z分别是,PQ QR PR中点，则XYZ的外接圆过定点 三、填空题：本题共 4 小题，每小题
9、5 分，共 20 分。 13. 定义12,Cz z ，221212121(| )4zzzzzz，121212i(i )zzzzzz. 若134iz ，214 3 iz ，则12|zz_. 14. 过点(1,1)P作斜率为(0)k k 的直线交椭圆22:142xyE于,A B两点，若E上存在相异的两点,C D使得|CADAPACBDBPB，则CDP外接圆半径的最小值为_. 15. 在一棱长为 6 的正四面体密闭容器内部有一半径为64的球体自由运动. 则容器内部无法被球扫过部分的体积为_. （结果保留到整数，参考数据：121.41, 31.73,3.14,cos70.53） 16. 某同学从两个笔
10、筒中抽取使用的笔，蓝色笔筒里有 6 支蓝笔，4 支黑笔，黑色笔筒里有6 支黑笔， 4 支蓝笔. 第一次从黑笔筒中取出一支笔并放回， 随后从与上次取出的笔颜色相同的笔筒中再取出一支笔， 依此类推. 记第n次取出黑笔的概率为nP， 则nP _，111()()22ijij nPP _. （第一空 2 分，第二空 3 分） 数学试题 第 5 页（共 6 页） 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. （10 分） 已知ABC的外心为O，,M N为线段,AB AC上的两点，且O恰为MN中点. （1）证明：| | | |AMMBANNC； （2）若|3A
11、O ，| 1OM ，求AMNABCSS的最大值. 18. （12 分） 象棋属于二人对抗性游戏的一种，在中国有着悠久的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的棋艺活动. 马在象棋中是至关重要的棋子， “马起盘格势， 折冲千里余。江河不可障，飒沓入敌虚。” 将矩形棋盘视作坐标系xOy，棋盘的左下角为坐标原点，马每一步从( , )x y移动到(1,2)xy或(2,1)xy. （1）若棋盘的右上角为（4，4） ，马从（0，0）处出发，等概率地向各个能到达（不离开棋盘）的方向移动，求其 4 步以内到达右上角的概率； （2）若棋盘的右上角为（16，15） ，马从（1，0）处出发，每一步仅向, x
12、y方向移动，最终到达棋盘右上角，若选择每一条可行的道路是等概率的，求马停留在 线段1 (216)yxx上次数X的数学期望. 19. （12 分） 坐落于武汉市江汉区的汉口东正教堂是中国南方唯一的拜占庭式建筑，象征着中西文化的有机融合. 拜占庭建筑创造了将穹顶支承于独立方柱上的结构方法和与之相呼应的集中式建筑形制， 其主体部分由一圆柱与其上方一半球所构成， 如图所示. 其中O是下底面圆心，, ,A B C是O上三点，111,A B C是上底面对应的三点. 且, ,A O C共线，ACOB，1C EEC，113B FFB，AE与OF所成角的余弦值为3 6565. （1）若E到平面1ABC的距离为2
13、 33，求O的半径； （2）在（1）的条件下，已知P为半球面上的动点且2 10AP ，求P点轨迹在球面上围成的面积. 数学试题 第 6 页（共 6 页） 20. （12 分） 已知正项数列na， nb的前n项和分别为,nnS T， 且在平面直角坐标系中点21(,)2nnab到( 1, 1) ，(1,1)的距离差为 2. 证明： （1）对于任意*Nn，均存在实数,X Y使得nXTY且|XYn； （2）若有整数(3)k k 使得1kS ，则存在实数,X Y使得kXTY且2111|2XYk. 21. （12 分） 已知点( 2,0)A ，(2,0)B， 位于x轴上方的点M是椭圆2222:1(0)xy
14、Cabab上的动点，且直线MA与直线MB的斜率之积为14. 动直线l与直线MA的倾斜角互补，交C于11( ,)P x y，22(,)Q xy两点12()yy，设Q关于x轴的对称点为点N. （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点,M N分别作椭圆C的切线12, l l交于点I. 若当点, ,M P Q移动时，始终保持2sin2MPQ，证明：I在一条定直线上. 22. （12 分） 已知函数1( )(1)(0)xf xxexx，( )ln()xg xxeax aR，且1( )0f x （1）若1a ，且0()0g x，试比较0 x与1x的大小关系，并说明理由； （2）若1a ，且222(1) ()()xf xg x，证明： （i）25593xe； （ii）12213232xxxex. （参考数据：1ln31.098,ln51.609,0.368e）
