1、勾股定理专题复习一、核心内容归纳：一、核心内容归纳：? 基本知识：基本知识：勾股定理及逆定理勾股定理及逆定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；222a ?b ?c表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么2.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a，b，c满足a2?b2?c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。若a ? b ? c，时，以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形；222a ?b ? c若，时，以a，b，c为三边的三角形是钝角三角形；若222.勾股定理的证明勾股定理的证明，常见的是拼图的方法常见方法如下：方法一：4S?S正方形 EFGH1? S
2、正方形 ABCD，4? ab?(b?a)2?c2，化简可证2方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S?4?12ab? c2?2ab?c2大正方形面积为S? (a? b)2? a2? 2ab? b2所以a2?b2? c2方法三：S12(a?b)?(a?b)，S11梯形?梯形? 2S?ADE? S?ABE? 2?2ab?2c2，化简得证DCHEFGbaAcBbaaccbbccaaAaDbBcbcEaBbCAcb第十七章第十七章勾股定理勾股定理基本模型：等腰直角旁直角模型、等腰直角对直角模型、三垂直模型、对角互补邻边相等模型基本思想：
3、分类讨论的思想、方程的思想、转化化归的思想、由特殊到一般的思想、数学建模的思想勾股定理勾股定理勾股定理勾股定理逆定理逆定理命题命题第十七章勾股定理考点：简单勾股定理和考点：简单勾股定理和逆定理的计算、翻折问逆定理的计算、翻折问题、特殊角构造直角三题、特殊角构造直角三角形、旋转问题、方位角形、旋转问题、方位问题、最短路径问题、问题、最短路径问题、网格画图问题网格画图问题二、常见问题枚举：? 知识点知识点1：勾股定理的直接运用：勾股定理的直接运用（已知两边求第三边（已知两边求第三边)1在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm ，则斜边长为_2已知直角三角形的两边长为已知直角三角形的两边长
4、为 3、4，则另一条边长是，则另一条边长是_ 3、三角形、三角形ABC中中,AB=10,AC=17,BC 边上的高线边上的高线AD=8,求求BC的长？的长？考查意图说明：考查意图说明：2，3训练学生分类讨论思想训练学生分类讨论思想知识点知识点 2.勾股定理的构造应用（作辅助线构造直勾股定理的构造应用（作辅助线构造直角三角形角三角形)常用辅助线：作垂线或者延长常用辅助线：作垂线或者延长知识点知识点 3.翻折问题（方程思想）翻折问题（方程思想）1、如图，用一张长方形纸片、如图，用一张长方形纸片ABCD进行折纸，进行折纸，已知该纸片宽已知该纸片宽AB为为8cm，长，长BC为为10cm当当折叠时，顶点
5、折叠时，顶点D落在落在BC边上的点边上的点F处（折痕为处（折痕为AE）想一想，此时）想一想，此时EC有多长？有多长？ADEBFC2、在矩形纸片、在矩形纸片ABCD中，中，AD=4cm，AB=10cm，按图所示方式折叠，使点按图所示方式折叠，使点 B与点与点D重合，折痕为重合，折痕为EAEF，求，求DE的长。的长。DCFBC3、如图，将一个边长分别为、如图，将一个边长分别为 4、8的长方形纸片的长方形纸片ABCD折叠，使折叠，使C点与点与A点重合，则点重合，则EF的长是的长是?DAFDBEC4,折叠矩形折叠矩形ABCD的一边的一边AD, 折痕为折痕为AE, 且且使点使点D落在落在BC边上的点边上
6、的点F处处,已知已知AB=8cm,BC=10cm，y求点求点F和点和点E坐标。坐标。ADEBOFCx考查意图说明：考查意图说明：5.边长为边长为8和和4的矩形的矩形OABC的两边分别在直的两边分别在直角坐标系的角坐标系的x轴和轴和y轴上，若沿对角线轴上，若沿对角线AC折叠折叠后，点后，点B落在第四象限落在第四象限B1处，设处，设B1C交交x轴于轴于点点D，求（，求（1）三角形）三角形ADC的面积，（的面积，（2）点）点B1的坐标，（的坐标，（3）AB1所在的直线解析式所在的直线解析式.yCEODB1BAx知识点知识点4：最短路径问题：最短路径问题问题一：问题一：如图，已知圆柱体底面直径为如图，
7、已知圆柱体底面直径为2cm，高为，高为4cm （1）求一只蚂蚁从）求一只蚂蚁从A点到点到F点的距离。点的距离。（2）如果蚂蚁从）如果蚂蚁从A点到点到CG边中点边中点H，求蚂蚁爬行的距，求蚂蚁爬行的距离。离。AFH问题二：问题二：如图，已知正方体的棱长为如图，已知正方体的棱长为2cmE（1）求一只蚂蚁从）求一只蚂蚁从A点到点到F点的距离。点的距离。（2）如果蚂蚁从）如果蚂蚁从A点到点到G点，求蚂蚁爬行的距离。点，求蚂蚁爬行的距离。（3）如果蚂蚁从）如果蚂蚁从A点到点到CG边中点边中点M，求蚂蚁爬行，求蚂蚁爬行A的距离。的距离。HFGMDBC变式：变式：如果盒子换成如图长为如果盒子换成如图长为3c
8、m3cm，宽，宽为为2cm2cm，高为，高为1cm1cm的长方体，蚂蚁沿着表的长方体，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢？面需要爬行的最短路程又是多少呢？B1A23分析：有3种情况,六条路线。(1)(1)经过前面和上底面经过前面和上底面; ; (或经过后面和下底面 )(2)(2)经过前面和右面经过前面和右面; ; (或经过左面和后面)(3)(3)经过左面和上底面经过左面和上底面. . (或经过下底面和右面 )B1A32B21A3CB1A32CB2A13C变式二变式二：将正方体改为一般的长方体，：将正方体改为一般的长方体，长为长为4cm，宽，宽2cm，高，高3cm，试求上述蚂蚁行走的对应路
9、线的长。试求上述蚂蚁行走的对应路线的长。HEF、GMDABC知识点5.判断一个三角形是否为直角三角形（勾股定理逆定理）1. 直接给出三边长度直接给出三边长度;2.间接给出三边的长度或比例关系间接给出三边的长度或比例关系（1）若一个三角形的周长）若一个三角形的周长 12cm,一边长为一边长为3cm,其其他两边之差为他两边之差为1cm,则这个三角形是则这个三角形是_。（2）将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得）将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是到的三角形是_a:b:c?1:1:2，那么，那么（3）在）在ABC中，中，ABC的确切形状是的确切形状是_。考查意图说明：勾股定理逆定理应
10、用考查意图说明：勾股定理逆定理应用已知 ABC的三边分别为k 1，2k，k +1（k1） ， 22求证： ABC是直角三角形 . 3如图，正方形ABCD中，边长为4，F为DC的中点，1E为BC上一点，CE ?BC你能说明AFE是直角吗？4变式：变式：如图，正方形如图，正方形ABCD中，中，F为为DC的中点，的中点，1E为为BC上一点，且上一点，且CE?BC你能说明你能说明 AFE4是直角吗？是直角吗？知识点知识点 6. 方位问题方位问题练习：一位同学向西南走练习：一位同学向西南走 4040米后，又走了米后，又走了5050米，再走米，再走3030米回到原地。问这位同学又走了米回到原地。问这位同学
11、又走了 5050米后向哪个方米后向哪个方向走了？向走了？知识点知识点 7. 旋转问题（旋转问题（60、90、120的等腰三角形或者半角倍角情境）的等腰三角形或者半角倍角情境）知识点知识点 7. 旋转问题（旋转问题（60、90、120的等腰三角形或者半角倍角情境）的等腰三角形或者半角倍角情境）知识点知识点 7. 旋转问题（旋转问题（60、90、120的等腰三角形或者半角倍角情境）的等腰三角形或者半角倍角情境）知识点知识点 7. 旋转问题（旋转问题（60、90、120的等腰三角形或者半角倍角情境）的等腰三角形或者半角倍角情境）知识点知识点 8. 等腰直角旁直角模型、等腰直角等腰直角旁直角模型、等腰
12、直角对直角模型、对角互补对直角模型、对角互补+邻边相等模型邻边相等模型BD?CD?2AD结论：a?b?2c型BD? CD?2AD知识点知识点 8. 等腰直角旁直角模型、等腰直角等腰直角旁直角模型、等腰直角对直角模型、对角互补对直角模型、对角互补+邻边相等模型邻边相等模型结论：a?b?2c型知识点知识点 8. 等腰直角旁直角模型、等腰直角等腰直角旁直角模型、等腰直角对直角模型、对角互补对直角模型、对角互补+邻边相等模型邻边相等模型结论：a? b?2c或 3c型知识点知识点 9. 网格画图问题网格画图问题教材改编题教材教材68页练习页练习1：有一个直径为有一个直径为50dm的圆形洞口，想用一个正的
13、圆形洞口，想用一个正方形盖住洞口，则需要正方形的对角线至少多长？方形盖住洞口，则需要正方形的对角线至少多长？变式一：变式一：有一个边长为有一个边长为50dm的的正方形正方形洞口，想用一个洞口，想用一个圆圆盖住洞口，则需要圆的直径至少多长？盖住洞口，则需要圆的直径至少多长？变式二：变式二：有一个长为有一个长为40cm，宽为，宽为30cm的的长方形长方形洞口，想用一洞口，想用一个个圆圆盖住洞口，则需要圆的直径至少多长？盖住洞口，则需要圆的直径至少多长？教材教材67页探究页探究2：如图如图,一架长为一架长为10m的梯子的梯子AB斜靠在墙上斜靠在墙上,梯梯子的顶端距地面的垂直距离为子的顶端距地面的垂直
14、距离为8m.问题：如果梯子的顶端下滑问题：如果梯子的顶端下滑1m,那么它的底端是否也滑动那么它的底端是否也滑动1 m?变式一：变式一：当梯子的顶端下滑多少米时，梯子顶端下滑的距离当梯子的顶端下滑多少米时，梯子顶端下滑的距离AC会等于梯子底端下滑的距离会等于梯子底端下滑的距离BD?变式二变式二：如果设梯子的长度为如果设梯子的长度为c米，米，AO=b米，米，BO=a米，请米，请用含用含a、b的式子表示当梯子顶端下滑多少米时，梯子顶端下滑的式子表示当梯子顶端下滑多少米时，梯子顶端下滑的距离的距离AC会等于梯子底端下滑的距离会等于梯子底端下滑的距离BD?ACDBO教材教材71页练习页练习11：如图，分
15、别以直角三角形如图，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明表示，则不难证明S1=S2+S3 .问题：问题：如图，分别以直角三角形如图，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三边为边向外作三个正方形，其面积分别用方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么表示，那么S1、S2、S3之间有之间有什么关系？什么关系？(不必证明不必证明)变式一：变式一：如图，分别以直角三角形如图，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你
16、确定表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明；之间的关系并加以证明；变式二：变式二： 若分别以直角三角形若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正多边三边为边向外作三个正多边形，其面积分别用形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你猜想表示，请你猜想S1、S2、S3之间之间的关系的关系?.（2003山东烟台）山东烟台）请阅读下列材料：请阅读下列材料：问题：问题：现有现有5个边长为个边长为1的正方形，排列形式如图的正方形，排列形式如图1，请把它们，请把它们分割后拼接成一个新的正方形分割后拼接成一个新的正方形.要求：画出分割线并在正方形网格要求：画出分割线并在正方形网格图图(图中每个小
17、正方形的边长均为图中每个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的新正方形中用实线画出拼接成的新正方形.图图图图图图1图图参考小东同学的做法，解决如下问题：参考小东同学的做法，解决如下问题：小东同学的做法是：小东同学的做法是：现有现有10个边长为个边长为1的正方形，排列形式如图的正方形，排列形式如图2，请把它们分割后拼，请把它们分割后拼设新正方形的边长为设新正方形的边长为x(x0).依题意，割补前后图形的面积相等，依题意，割补前后图形的面积相等，接成一个新的正方形接成一个新的正方形在图中画出分割线，并在图的正在图中画出分割线，并在图的正有有x25，解得，解得x5.要求：要求：. 由此可知新正方
18、形的边长等于两个小正方形由此可知新正方形的边长等于两个小正方形方形网格图方形网格图(图中每个小正方形的边长均为图中每个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的中用实线画出拼接成的组成得矩形对角线的长组成得矩形对角线的长.于是，画出图所示的分割线，拼出如图于是，画出图所示的分割线，拼出如图新正方形新正方形.所示的新正方形所示的新正方形.图图图图2006年北京市中考年北京市中考（1 1）四年一度的国际数学家大会于）四年一度的国际数学家大会于20022002年年8 8月月2020日在北京召开日在北京召开. . 大大会会标如图甲会会标如图甲. . 它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼它是由四
19、个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形成的一个大正方形. . 若大正方形的面积为若大正方形的面积为1313，每个直角三角形两条，每个直角三角形两条直角边的和是直角边的和是5. 5. 求中间小正方形的面积求中间小正方形的面积. . 图甲图甲图乙图乙（2 2）现有一张长为）现有一张长为6.5cm6.5cm、宽为、宽为2cm2cm的纸片，如图乙，请你将它分的纸片，如图乙，请你将它分割成割成6 6块，再拼合成一个正方形块，再拼合成一个正方形. . （要求：先在图乙中画出分割线，（要求：先在图乙中画出分割线，再画出拼成的正方形并表明相应数据）再画出拼成的正方形并表明相应数据）四、对于本章复
20、习的想法：? 基本计算的准确性? 注意数学思想方法的渗透例如数形结合、分类讨论，方程思想等? 注意勾股定理与实际相结合的问题? 注意培养学生的动手操作能力及合作探究能力如勾股定理探索，数学活动中的折纸问题? 注意勾股定理在综合性问题中的应用例如动点问题，也为以后学习的相似三角形，二次函数等问题做好铺垫1.知道空气的质量相对很轻，并且空气的质量是可以测量的。掌握测量空气质量的实验方法。2.经历测量一袋空气的实验，培养细致、认真观察记录的能力，学会运用思辨的方法获得科学概念。3.经历实验探究，体会科学实验的趣味性与严谨性4.认认识识地地球球是是不透不透明、不明、不发光的发光的球体，球体，在阳光在阳光照射下照射下会产生会产生昼夜交昼夜交替现象替现象。5.知知道道昼昼夜夜交交替现替现象有多象有多种可能种可能的解释的解释。6.初初步步理理解解昼昼夜交夜交替现象替现象与地球与地球和太阳和太阳的相对的相对圆周运圆周运动有关动有关。7.认认识识到到积积极极参与参与讨论，讨论，并发表并发表有根据有根据的解释的解释是重要是重要的。的。8.认认识识到到同同一一现象现象，可能，可能有多种有多种不同的不同的解释，解释，需要用需要用更多的更多的证据来证据来加以判加以判断。断。
