1、 电 势 习题、例题分析 + 2 3.2 两个均匀带电球壳同心放置，半径分别为 R1和R2(R1R2)，已知内外球壳之间的电势差为 U12，求两球壳间的电场分布 . 1R2R解：方法一：利用场强与电势的积分关系 1q2q设内外球壳分别带电为 q1、q2. 那么，内外球壳之间的电场强度为 )(?2121RrRrrqkE?于是有 ?2112RRrdEU?21212121?RRRRdrrqkrdrrqk?)11(211RRkq?3 1R2R1q2q)11(21112RRkqU?所以 )(1221121RRkRRUq?于是内外球壳之间的电场强度分布为 )(?2121RrRrrqkE?)(?)(?212
2、12211221RrRrrRRRRUrrqkE?4 方法一：方法一：利用电势的已知公式利用电势的已知公式 1R2R1q2q设内外球壳分别带电为 q1、q2. 那么，内外球壳的电势差为 )()(2221221112RqkRqkRqkRqkU?)11(211RRkq?所以 )(1221121RRkRRUq?于是内外球壳之间的电场强度分布为 )(?)(?21212211221RrRrrRRRRUrrqkE?5 3.20 一边长为a的正三角形，其三个顶点上各放置 q，-q 和 -2q的点电荷，求此三角形重心上的电势 . 将一电量为Q的点电荷由无限远处移到重心上，外力要做多少功？ ?qq?q2?C a
3、a a 解：此三角形重心上的电势为 aqkaqkaqkC3323333?aqaqk02332?6 ?qq?q2?C a a a 将一电量为将一电量为Q的点电荷由无限远处移到重心上，外力的点电荷由无限远处移到重心上，外力要做的功为要做的功为 ）（外CQAA?aqQQC023?aqC023?7 3.9 一无限长均匀带电圆柱，体电荷密度为，截面半径为a . (1)用高斯定理求出柱内外电场强度分布 ; (2)求出柱内外的电势分布，以轴线为势能零点 ; (3)画出Er 和 r图; ?r o h r ?P 解:(1)无限长的均匀带电圆柱所产生的电场具有轴对称性，故空间电场的分布也具有轴对称性，即空间各点的
4、电场方向与轴垂直 . 据电场的对称性，可经场点 P作一个半径为r、高为h的圆柱面作为高斯面,如图所示. 8 h r ?P r o 于是 ?下上侧SSSSSdESdESdESdE?rhEdSES?2?侧据高斯定理有 ?rhE?2)()(0202arhaarhr?所以 ?E)(2)(2020arraarr?9 )(2)(2020arraEarrE?，(2)以轴线为电势零点，则柱内任一点电势为 r o ?000002?2rrrrdrrdr rrdE?内内204r?(2)柱外任一点电势为 ?0002022aaraarrdrdrrardErdE?内外外) 1ln2(402?raa?10 (3)Er 和
5、r图: ?rE?EOa11 3.33 地球表面上空晴天时的电场强度约为 100V/m. (1)此电场的能量密度多大？ (2)假设地球表面以上 10km范围内的电场强度都是这一数值，那么在此范围内所储存的电场能共是多少kWh？ 解：(1)据电场能量密度公式可得地球表面上空晴天时的电场能量密度为 ）（3821220/104 . 421001085. 82mJEwe?(2)因为10km远远小于地球半径，所以可近似计算 )(104 . 410)104 . 6(14. 34484262JhwRWee?)(103 . 64hkW?12 3.3 两个同心的均匀带电球面，半径分别为 R15.0cm，R220.
6、0cm，已知内球面的电势为 = 60V,外球面的电势为 30V. 1?2?(1) 内、外球面上所带电量 ; (2) 在两个球面之间何处的电势为零？ 解: (1) 设内外球面所带电量分别为 q1、q2, 据电势叠加原理有 ) 1 (22111RqkRqk?和 )2(22212RqkRqk?代入数据，由以上两式可解得 CqCq929110341032?；13 (2) 设在离球心r (R1r0各点的电势. a?xza0?这一电荷元在x处(x0)产生的电势为 220044zxdzrdqd?据电势叠加原理可得细直杆在 x处产生的电势为 2204zxdzdaa?aaxaax?22220ln4?15 3.7
7、 求出1.18题中两同轴圆筒之间的电势差 . ?R1 R2 解：据1.18题的结果：两同轴圆筒之间的电场强度为 ?E)(2210RrRr?因此，两同轴圆筒之间的电势差为 drrrdERRRR01222121?120ln2RR?16 3.10 半径为R的圆盘均匀带电，面电荷密度为 .求此圆盘轴线上的电势分布 :(1)利用例3.4的结果用电势叠加法；(2)利用第一章例1.6的结果用场强积分法 . 解: (1)据课本第三章例 3.4的结果知：半径为 R的均匀带电圆环在其轴线上的电势为 21220)(4xRq?xyzoP q ? x 而半径为r，宽为dr的带电圆环在其轴线上离环心 x处产生的电势为 把
8、均匀带电圆盘看成是由很多均匀带电圆环组成 . 17 R2 x ? P o R1 r dr o x21220)(42xrrdrd?于是整个圆盘在于是整个圆盘在P点处产生的电势为点处产生的电势为 ?Rxrrdrd022021)(2?)(2220 xRx?18 a(2)据第一章例1.6的结果:均匀带电圆盘在其轴线上产生的电场强度为 据电势与电场强度的积分关系可得 P点的电势为 ?21220)(12xRxE?x0 xR? P dxxRxrdExP?21220)(12?)(2220 xxR?19 3.11 一均匀带电的圆盘，面电荷密度为，今将其中心半径为R/2圆片挖去. 试用叠加法求剩余圆环带在其垂直轴线上的电势分布，在中心的电势和电场强度各多大？ x ? P o R/2 R 解: 由3.10题知半径为R的均匀带电圆盘在其垂直轴线上的电势分布为 )(2220 xxR?故本题剩余圆环带在其垂直轴线上的电势分布，可由电势叠加原理得 )4(2)(222022021xxRxxR?2222042xRxR?20 3.15 用电势梯度法求上面 3.5题中x轴上x0各点的电场强度. aaxaax?22220ln4?解：由3.5题知均匀带电细直杆在 x轴上的电势分布为 a?xza0?由电势梯度与电场强度的关系知 x轴上x0各点的电场强度为 2202axxaxEEx?00?zEyEzy?，21 a
