1、2022年高考考前临门一脚（全国甲卷）理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，则( )A. B. C.D.2.已知复数z满足，则z的实部为( )A.1 B.-1C.2 D.-23等比数列中，若，则A2B3C4D94.平面向量满足，则( )A. B. C. D.5.已知F是双曲线的右焦点，点，连接AF与渐近线交于点M，则C的离心率为( )A.B.C.D.6.已知，则“”是“”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.函数的部分图象如图所示，若把的图象向左平移个单位长度
2、后得到函数的图象，则m的值可能为( )A. B. C. D.8.如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15、北偏东45方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60方向，则A，B两处岛屿间的距离为( )A.海里 B.海里C.海里 D.40海里9.已知抛物线的焦点为F，过点的直线l交抛物线于M，N两点，若，则( )A.14 B. C. D.1210.已知数列的前n项和为，且，则A4043B4042C4041D404011.已知正方体的表面积为24，则四棱锥的体积为( )A.B.C.D.12.已知是函数的导函数，且对任意的
3、实数x都有.若对任意，直线与函数的图像有且仅有一个公共点，则c的最小值为( )A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.若直线为双曲线的一条渐近线，则b的值为_.14.已知向量，若，则向量与的夹角为_.15.设双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，的顶点在轴上，顶点在双曲线的左支上，直线分别与双曲线的右支交于两点，若，且，则双曲线的渐近线方程为_.16.在直三棱柱中，M为棱AB的中点，N是棱BC的中点，O是三棱柱外接球的球心，则平面截球O所得截面的面积为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第2
4、2、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17. （12分）2021年5月22日10时40分，“祝融号”火星车已安全驶离着陆平台，到达火星表面，开始巡视探测.为了增强学生的科技意识，某学校进行了一次专题讲座，讲座结束后，进行了一次专题测试(满分：100分)，其中理科学生有600名学生参与测试，其得分都在内，得分情况绘制成频率分布直方图如下，在区间的频率依次构成等差数列.若规定得分不低于80分者为优秀，文科生有400名学生参与测试，其中得分优秀的学生有50名.(1)若以每组数据的中间值代替本组数据，求理科学生得分的平均值；(2)请根据所给数据完成下面的列联表，并说明是否有99
5、.9%以上的把握认为，得分是否优秀与文理科有关？优秀不优秀合计理科生文科生合计1000附：，其中.0.0500.0100.0013.8416.63510.82818.（12分）已知数列的前n项和为，.（1）求数列的前n项和；（2）令，求数列的前n项和.19.（12分）“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”是我们现阶段教育必须坚持的.某高中学校鼓励学生自发组织各项体育比赛活动，甲、乙两名同学利用课余时间进行乒乓球比赛，规定:每一局比赛中获胜方记1分，失败方记0分，没有平局，首先获得5分者获胜，比赛结束.假设每局比赛甲获胜的概率都是.（1）求比赛结束时恰好打了6局的概率；（2）若甲以3:
6、1的比分领先时，记X表示到比赛结束时还需要比赛的局数，求X的分布列及数学期望.20（12分）已知e是自然对数的底数，aR（1）设，求曲线在点处的切线方程；（2）若，都有，求实数a的取值范围21. （12分）已知函数（为自然对数的底数）.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若函数恰有两个极值点，且，求的最大值.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.（10分）选修4 4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，l的参数方程为(t为参数).以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.(1)求C的直角坐标方程和
7、l的极坐标方程；(2)设点，直线l与C交于A，B两点.求.23选修4-5：不等式选讲（10分）已知关于的不等式在上恒成立.（1）求实数的取值范围；（2）若为正数且满足，求的最小值答案及解析1.答案：D解析：由，得，解得，又，故选D.2.答案：B解析：由，可得，则复数z的实部是-1，故选B.3【答案】C解析 根据等比中项得，所以.故选C.4.答案：C解析：本题考查平面向量的数量积运算以及夹角的求解.由两边平方，得，将代入，可得，所以，所以.故选C.5.答案：A解析：由已知得，（舍负），故选A.6.答案：B解析：由题，令，得，令，得，所以，由，解得或，所以“”是“”的必要不充分条件.故选B.7.答
8、案：C解析：由题意可知：，.且，.把函数的图象向左平移m个单位长度得的图象，.当时，故选C.8.答案：A解析：在中，所以.由正弦定理可得，解得.在中，所以.在中，由余弦定理可得，解得（海里）.所以A，B两处岛屿间的距离为海里.9.答案：C解析：由题意知，若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为，所以直线l的斜率存在，设，直线l的方程为，代入，得，所以，由抛物线的定义知，所以，则，故选C.10【答案】A【解析】由知：为等差数列，又，则公差，所以，故，则，可得，而也满足，所以，则.故选A.11.答案：C解析：设正方体的棱长为a，因其表面积为24，所以，所以.连接交于点O，则，所以在正方体中，平面，即
9、平面，所以是四棱锥的高，且.又，所以.故选C.12.答案：A解析：本题考查导数公式，通过导函数构造原函数，利用导数研究函数的最值问题.由题意可化为，可得，即.对任意，直线与函数的图像有且仅有一个公共点，即有且只有一个根.令，由题意可知为单调函数， ，即恒成立，即恒成立.令，则为减函数，当时，即.13.答案：解析：因为直线为双曲线的一条渐近线，所以，则.14.答案：解析：由向量知.又，则，即向量与的夹角为.15【答案】【解析】设的斜率分别为，由，可得，从而直线的斜率之积为.设双曲线，则，所以，.所以，所以.所以双曲线的渐近线方程为.故答案为：.16.答案：解析：如图1，将直三棱柱补形成正方体，连
10、接，则直三棱柱的外接球就是正方体的外接球，球心O是的中点，半径.连接BD交MN于点E，连接交于点F，过点O作于点，连接，因为，平面，所以平面，所以，所以平面.如图2，在矩形中，所以，过点B作于点G，则，所以，设截面圆的半径为r，则，所以截面的面积为.17.解析：(1)由第三、二、四组的频率依次构成等差数列可得.又频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1，则，解得，理科学生得分的平均值为(分).(2)理科学生优秀的人数为，补全22列联表如表所示，优秀不优秀合计理科生150450600文科生50350400合计2008001000，有99.9%以上的把握认为得分是否优秀与文理科有关.18.解析：（1
11、）由，得.又，所以数列是首项为3，公差为1的等差数列，所以，即.（2）当时，又也符合上式，所以，所以，所以，-，得，故.19.答案：（1）（2）X的分布列为X2345P数学期望解析：本题考查离散型随机变量的分布列以及数学期望.（1）比赛结束时恰好打了6局，甲获胜的概率，乙获胜的概率，所以比赛结束时恰好打了6局的概率.（2）X的所有可能取值为，.所以X的分布列为X2345P故数学期望.20（12分）【解析】（1）若，则，曲线在点处的切线方程为，即曲线在点处的切线方程为（4分）（2）设，则设，则函数在上单调递增当时，故在上单调递增又，故对任意的都成立即当时，都有（8分）当时，使函数在上单调递增，都
12、有在上单调递减，使，即，使，与，矛盾综上所述，a的取值范围为（12分）21.解析：（1）函数的定义域为，（下面分及讨论导函数的正负）当时，恒成立，在上单调递增.当时，令，当时，在上恒成立，.所以恒成立，在上单调递增.当时，当时，单调递减；当时，单调递增，（等号不恒成立），在上单调递增.综上，当时，在上单调递增.（2）依题意，得，则即两式相除得，设，则，.设，则.设，则，在上单调递增，此时.，则在上单调递增.又，即，而，即的最大值为3.22.解析：(1)将代入，得曲线C的直角坐标方程为.将(t为参数)消去参数t，得直线l的普通方程为.将代入，得直线l的极坐标方程.(2)设点A，B对应的参数分别为.因为，所以.将(t为参数)代入，得，所以.，所以23选修4-5：不等式选讲（10分）【解析】（1）因为，所以，即.所以实数的取值范围为.（5分）（2）由可得，所以.故.当且仅当即时，取最小值.（10分）
