1、第第4 4章章 平面图形的几何性质平面图形的几何性质为什么要研究平面图形的几何性质？为什么要研究平面图形的几何性质？（1 1）工程中的各种构件，其横截面都是具有一定几何形状的平面图形，如）工程中的各种构件，其横截面都是具有一定几何形状的平面图形，如（2 2）实际构件的承载能力与其变形形式有关，不同变形形式下的承载能力）实际构件的承载能力与其变形形式有关，不同变形形式下的承载能力不仅与截面的大小有关，而且与截面的几何形状有关。如：不仅与截面的大小有关，而且与截面的几何形状有关。如：直杆受拉（压）时，直杆受拉（压）时，NFANF llE A圆轴扭转时，圆轴扭转时，PTIPT lG I（3 3）反映
2、截面图形的几何性质的量除面积）反映截面图形的几何性质的量除面积A A，极惯性矩，极惯性矩I IP外，还有静矩、惯外，还有静矩、惯性矩、惯性积、形心、惯性半径、惯性轴等。为进一步研究构件作其他变形性矩、惯性积、形心、惯性半径、惯性轴等。为进一步研究构件作其他变形时的承载能力，本章将逐步介绍后面几种截面图形的几何性质。时的承载能力，本章将逐步介绍后面几种截面图形的几何性质。4.14.1 静矩静矩 和和 形心形心一、静矩一、静矩yzOdAzy分别为图形对分别为图形对 z z 轴和轴和 y y 轴的静矩。轴的静矩。定义定义面积对某轴的一次矩。面积对某轴的一次矩。AzSAySAyAzd,d说明：说明：1
3、、静矩不仅与平面图形的形状尺寸有关，还与、静矩不仅与平面图形的形状尺寸有关，还与所选坐标的位置有关。所选坐标的位置有关。2、静矩的数值可正可负，也可以为零。、静矩的数值可正可负，也可以为零。3、静矩的单位：、静矩的单位：mm3 或或 m3二、形心二、形心 形心与均质薄板的重心相同：形心与均质薄板的重心相同：AAzzAAyyACACd,dASzASyyCzc,即即:从而：从而：AzSAySCyCz,推论：推论：1、若平面图形对某一坐标轴的静矩等于零，、若平面图形对某一坐标轴的静矩等于零， 则该坐标轴则该坐标轴必通过图形的形心。必通过图形的形心。2、平面图形对通过其形心的坐标轴的静矩恒等于零，、平
4、面图形对通过其形心的坐标轴的静矩恒等于零，即：轴过形心即：轴过形心 S该轴该轴=0 yzOdAzyyczcCdzzb(z)解：解：由于半圆图形关于由于半圆图形关于z z轴左右对称，轴左右对称，因此因此z z轴必通过其形心，即：轴必通过其形心，即：cy 0根据静矩的性质得：根据静矩的性质得：zS 0取平行于取平行于y轴的狭长矩形，其微面积为轴的狭长矩形，其微面积为d( )dAb zz 2其中：其中：( )b zRz22所以，所以，dRz Rzz2202ycRSRzAR32243132即形心位置为：即形心位置为：(,)R 403dyASz A()RRz 3222023R323例例半径为半径为R的半
5、圆图形如图所示，试计算其对的半圆图形如图所示，试计算其对 y 轴和轴和 z 轴的轴的静矩及形心的位置。静矩及形心的位置。RyzO例例求图示阴影部分面积对求图示阴影部分面积对 y 轴的静矩。轴的静矩。yabh/2h/2CSbhaahay242b ha2422解：解：AzSAySCyCz,三、组合图形的静矩和形心三、组合图形的静矩和形心1、组合图形对某一轴的静矩等于组成它的各部分图形对同、组合图形对某一轴的静矩等于组成它的各部分图形对同一轴静矩的代数和，即：一轴静矩的代数和，即：niiiyniiizzASyAS11, 其中：其中：Ai， yi， zi 分别代表第分别代表第i个图形的面积和形心坐标，
6、个图形的面积和形心坐标， n为分为分割成的简单图形的个数。割成的简单图形的个数。2、组合图形的形心坐标、组合图形的形心坐标AzAASzAyAASyniiiycniiizc11,其中：其中：yc 、 zc为组合图形的形心坐标，为组合图形的形心坐标， Sz、Sy为组合图形分别对为组合图形分别对z轴和轴和y轴的静矩轴的静矩, A为组合图形的总面积为组合图形的总面积,niiAA120140100例例试确定图示试确定图示T T字形截面的形心位置。字形截面的形心位置。yzO20解：解：取图示参考系取图示参考系yozyoz，其中，其中z z轴为对称轴，轴为对称轴，则：则：cy 0把把T T形截面分成两个矩形
7、：形截面分成两个矩形： 和和 ，则：，则：11,Ammzmm220100200015022,Ammzmm220140280070.niiicAzzmmA120001502800 70103 320002800C4.24.2 惯性矩和惯性半径惯性矩和惯性半径 4.3 4.3 惯性积惯性积yzOdAzy一、惯性矩一、惯性矩定义定义图形面积对某轴的二次矩。图形面积对某轴的二次矩。（3）其大小不仅与平面图形的形状尺寸有关）其大小不仅与平面图形的形状尺寸有关, 而且还与平面图形而且还与平面图形面积相对于坐标轴的分布情况有关面积相对于坐标轴的分布情况有关. 平面图形的面积相对坐标轴平面图形的面积相对坐标轴
8、越远越远, 其惯性矩越大其惯性矩越大; 反之反之, 其惯性矩越小其惯性矩越小.（1）惯性矩的量纲为长度的四次方，单位用）惯性矩的量纲为长度的四次方，单位用m4 、 cm4 、 mm4 ；（2）恒为正值；）恒为正值；AzIAyIAyAzd,d22说明：说明：其中其中iy、iz为平面图形对为平面图形对 y 轴和轴和 z 轴的轴的惯性半径惯性半径（4）组合图形对某轴的惯性矩等于各组成图形对同一轴的惯性）组合图形对某轴的惯性矩等于各组成图形对同一轴的惯性矩之和矩之和:（5）工程中常把惯性矩表示为平面图形的面积与某一长度平方）工程中常把惯性矩表示为平面图形的面积与某一长度平方的乘积的乘积, 即即22yy
9、zzAiIAiI或AIiAIiyyzz,nnzziyyiiiIIII11AzIAyIAyAzd,d22说明：说明：二、极惯性矩二、极惯性矩yzOdAzy（2）由于）由于2=y2+z2, 所以有所以有Ip=Iy+Iz, 即平面图形对通过一点的任即平面图形对通过一点的任意一对正交坐标轴的惯性矩之和均相等意一对正交坐标轴的惯性矩之和均相等, 并且等于平面图形对并且等于平面图形对坐标原点的极惯性矩。坐标原点的极惯性矩。定义定义图形面积对某点的二次矩。图形面积对某点的二次矩。（1）具有惯性矩的特点）具有惯性矩的特点:恒为正；单位用恒为正；单位用m4 、 cm4 、 mm4 等。等。AIApd2说明：说明
10、：（3）惯性矩是针对某一坐标）惯性矩是针对某一坐标轴轴定义的，而极惯性矩是对某一定义的，而极惯性矩是对某一点点定义的。定义的。zdzyzObh例例求图示矩形对于对称轴求图示矩形对于对称轴y、z的惯性矩。的惯性矩。IzAyA2dz b zhh222/dbh312解：解：同理可得：同理可得：zhbI 312例例求图示圆形对于对称轴求图示圆形对于对称轴y、z的惯性矩。的惯性矩。dyzO解：解：Idp432IIyzIIIyzp464yzdII定义定义图形面积对一对相互垂直的图形面积对一对相互垂直的轴的矩。轴的矩。AyzIAyzd(1)(1)惯性积的量纲为长度的四次方，单位为惯性积的量纲为长度的四次方，
11、单位为m4 、 cm4 、 mm4.(2)(2)其值可正、可负，可为零。其值可正、可负，可为零。(3)(3)若若所选坐标轴有一个对称轴，所选坐标轴有一个对称轴， 则惯性积的值为零。则惯性积的值为零。yzOdAzy三、惯性积三、惯性积说明：说明：yzOdAdA四、几个主要概念四、几个主要概念(4)(4)形心主惯性矩形心主惯性矩: : 任一形心主惯性轴的惯性矩任一形心主惯性轴的惯性矩(1)(1)主惯性轴主惯性轴: : Iy0z0=0，则，则 y0 、 z0 为主惯性轴。为主惯性轴。(2)(2)主惯性矩主惯性矩： 对任一主惯性轴的惯性矩。对任一主惯性轴的惯性矩。(3)(3)形心主惯性轴形心主惯性轴:
12、 : 过形心的主惯性轴。过形心的主惯性轴。具有一个或两个对称轴的正交坐标轴一定是平面图形的主惯性轴。具有一个或两个对称轴的正交坐标轴一定是平面图形的主惯性轴。任意平面图形必定存在一对相互垂直的形心主惯性轴。任意平面图形必定存在一对相互垂直的形心主惯性轴。(5)(5)形心主惯性平面形心主惯性平面: : 任一形心主惯性轴与轴线确定的平面任一形心主惯性轴与轴线确定的平面4.44.4 平行移轴公式平行移轴公式一、惯性矩的平行移轴公式一、惯性矩的平行移轴公式yzOCabyCzC C为形心，为形心，y y、z z为原坐标轴，为原坐标轴，y yc c、z zc c为过形心为过形心C分别与分别与y y、 z
13、z平行的坐标轴，平行的坐标轴，则有：则有：ccyyzzIIa AIIb A22(1)(1)两平行轴中必须有一轴为形心轴。两平行轴中必须有一轴为形心轴。(2)(2)截面对任意两平行轴的惯性矩间的关系应通过截面对任意两平行轴的惯性矩间的关系应通过平行的形心轴平行的形心轴惯性矩来换算。惯性矩来换算。(3)(3)截面图形对所有平行轴的惯性矩中以对通过形心轴的惯性矩截面图形对所有平行轴的惯性矩中以对通过形心轴的惯性矩为最小。为最小。说明：说明：二、惯性积的平行移轴公式二、惯性积的平行移轴公式yzOCabyCzC C为形心，为形心，y y、z z为原坐标轴，为原坐标轴，y yc c、z zc c为过形心为
14、过形心C分别与分别与y y、 z z平行的坐标轴，平行的坐标轴，则有：则有：abAIIcczyyz说明：说明： 不是所有平行轴的惯性积中的最小值，因为不是所有平行轴的惯性积中的最小值，因为a、b（形心坐标）可正可负，其符号由其所在象限确定。（形心坐标）可正可负，其符号由其所在象限确定。cczyI证明：证明：yzOCabyCzCd dA Az zz zCccyybzza y yy yCIyAIzAIyz AzAyAyzA22ddd,IyA IzA Iy zAzcAycAy zccAccc c22ddd,IyAzA2d() dcAybA2dddccAAAyAbyAbA222czIb A2由几何关系
15、得：由几何关系得：() dcAzaA2dyAIzA2dddccAAAzAazAaA222cyIa A2dyzAIyz A()()dccAyb zaAddddccccAAAAy zAayAbzAabAccy zIabAS Syc= 0= 0S Szc= 0= 0三、组合图形形心主惯性矩的计算三、组合图形形心主惯性矩的计算3 3、叠加、叠加1 1、确定形心主惯性轴、确定形心主惯性轴2 2、各组成图形分别对自身形心轴、各组成图形分别对自身形心轴y yi i、z zi i轴取矩轴取矩, , y yi i、z zi i轴分别平行与轴分别平行与y y、z z 轴。轴。a. 确定形心确定形心b. 确定形心主
16、惯性轴确定形心主惯性轴()()()()iinnyyiyiiiinnzziziiiiIIIa AIIIb A211211例例试计算试计算T形截面的形心主惯性矩。形截面的形心主惯性矩。Czy3003027050yc解：解：（1 1）确定形心及形心主惯性轴。）确定形心及形心主惯性轴。90212211AAzAzAzc 由于由于z为对称轴，故为对称轴，故yc、z都为形都为形心主惯性轴。心主惯性轴。（2 2）计算两矩形对自身形心）计算两矩形对自身形心C1、 C2的惯性矩。的惯性矩。,1081. 21250270,102 . 81227050,1075. 61230030,1075. 61230300637
17、373532211zyzyIIIIC1y1C2y2z2z1().()().icinnzziziinnyyiyiiiiIIIIIIa A611261170 31 10203 68 10（3 3）计算形心惯性矩。）计算形心惯性矩。Czy3003027050ycC1y1C2y2z2z1.,.,.,.yzyzIIII112235373736300306 751012303006 751012502708 2 1012270502 81 10124.54.5 转轴公式转轴公式(自学自学) 主惯性轴主惯性轴yzOdAy1z1z1y1yz sincossincos11yzzzyy 2cos2sin22sin2cos222sin2cos221111yzzyzyyzzyzyzyzzyzyyIIIIIIIIIIIIIIIIdAzIAy211dAyIAz211dAzyIAzy1111
