1、内 江 市 高 中 届 零 模 试 题数 学（ 理科） 本试卷共 页，全卷满分 分，考试时间 分钟。注意事项： 答题前，考生务必将自己的姓名、考号、班级用签字笔填写在答题卡相应位置 选择题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。 不能答在试题卷上。 非选择题用签字笔将答案直接答在答题卡相应位置上。 考试结束后，监考人员将答题卡收回。 一、选择题：（ 本大题共 个小题，每小题 分，共 分 在每小题的四个选项中只有一个是正确的，把正确选项的代号填涂在答题卡的指定位置上 ） 复数 满足（ ） （ 为虚数单位），则 的虚部为 设（） ，则（ ）
2、若双曲线 （ ）的离心率为，则 槡 或 已知命题：若珗 （，），珒 （ ，），则珗珒；命题：若珗 （，），珒（，），则珗珒 下列命题为真命题的是 （ ）（ ） （ ） （ ） 曲线 （）在 处的切线如图所示，则（） （） 以椭圆： （ ）的短轴的一个端点和两焦点为 顶点的三角形为等边三角形，且椭圆 上的点到左焦点的最大距离为，则椭圆 的标准方程为 若（ ）（ ） 的展开式中， 项与 项的系数和为 ，则实数 高二数学（理科）试卷第 页（共 页） 已知函数（） ，则“ ”是“函数（）为增函数”的 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件 在空间直角坐标系中，已知点（，），（
3、，），（，），若在直线 上有一点 满足，则点 的坐标为 （ ， ，） （， ，） （ ，） （ ， ，） “二进制”来源于我国古代的易经，该书中有两类最基本的符号：“”和“ ”，其 中“”在二进制中记作“”，“ ”在二进制中记作“”如符号“ ”对应的二进制数（）化为十进制的计算公式如下：（） （） 若从两类符号中任取 个 符号进行排列，则得到的二进制数所对应的十进制数大于 的概率为 已知直线： 与抛物线： （ ）相交于、 两点，若 的中点为，且抛物线 上存在点，使得 （ 为坐标原点），则抛物线 的方程为 对于函数 （），若存在区间，当， 时，（）的值域为，则称 （）为 倍值函数 若（） 是 倍
4、值函数，则 的取值范围为 （， ） （ ， ） （， ） （ ， ）二、填空题（本大题共 小题，共 分 ） 设随机变量 的分布列为（ ） （ ）， 、， 为常数，则（ ） 为弘扬学生志愿服务精神，某学校开展了形式多样的志愿者活动 现需安排 名学生， 分别到 个地点（敬老院、幼儿园和交警大队）进行服务，要求每个地点至少安排 名学生，则有 种不同的安排方案（用数字作答） 设椭圆 （ ）的左、右焦点分别为 ， ， 是椭圆上一点， ，若原点 到直线 的距离为 ，则该椭圆的离心率为 若对任意的 ， （， ），且 ，都有 ，则 的最小值是 三、解答题：（ 本大题共 个小题，共 分 解答应写出必要的文科字说
5、明，证明过程或演算步骤 ） （本小题满分 分）已知抛物线： ，坐标原点为，焦点为，直线： （）若 与 只有一个公共点，求 的值；（）过点 作斜率为 的直线交抛物线 于、 两点，求 的面积高二数学（理科）试卷第 页（共 页） （本小题满分 分） 已知函数（） 在 处有极值 （）求， 的值；（）若 ， ，函数（） （）有零点，求实数 的取值范围 （本小题满分 分） 为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教 育部开展了招生改革工作强基计划 现对某高中学校学生对强基课程学习的情况进行调 查，在参加数学和物理的强基计划课程学习的学生中，随机抽取了 名学生 （） 在某次
6、数学强基课程的测试中，超过 分的成绩为优秀，否则为合格 这 名学生成绩的统计数据如茎叶图所示，现随机从这 名学生中抽取两名，记抽到成绩优秀的学生人 数为，求随机变量 的分布列及期望； 男生 女生 （）已知学生的物理成绩 与数学成绩 是线性相关的，现统计了小明同学连续 次在强 基课程测试中的数学和物理成绩（如下表） 若第 次测试该生的数学成绩达到，请你估计第 次测试他的物理成绩大约是多少？ 数学成绩 物理成绩 （ 珋）（ 珋） 珋 珋附： ， （ 珋）高二数学（理科）试卷第 页（共 页） （本小题满分 分）如图，四棱柱 中，面 面，面 面，点、 分别是棱 、 的中点（）证明： 面 （）若四边形
7、是边长为 的正方形，且 ，面面 直线，求直线 与 所成角的余弦值 （本小题满分 分）已知、 是椭圆： 上的两点（）若直线 的斜率为，求弦长 的最大值；（）设线段 的垂直平分线与 轴交于点（，），求 的取值范围 （本小题满分 分）已知函数（） （）讨论函数（）的单调区间；（）若函数 （）有三个不同的零点 、 、 ，求 的取值范围，并证明： 槡 高二数学（理科）试卷第 页（共 页）内 江 市 高 中 届 零 模 试 题数学（理科）参考答案及评分意见 一、选择题：本大题共 个小题，每小题 分，共 分 二、填空题：本大题共 个小题，每小题 分，共 分 槡 三、解答题：本大题共 个小题，共 分 （）联立
8、 ，消去，得 （ ） （） 分 !当 时，（）式是一个一元二次方程， （ ） （ ） ，即 此时 与 有一个公共点， 与 相切 分当 时，（）式只有一个解，此时直线! 平!行!于!轴! 分 综上， 或 ! 分 （）焦点（，），直线 的方程为 ， 分!设（ ， ），（ ， ） !联立直线与抛物线的方程整理得 ， 分!点 到直线 的距离 槡 槡 分!所以 槡 槡 分! 解：（）（） ，（） 分 函数（） 在 处取得极值，! （） 分（） 分!解得 ， ! 分 （） ，经验证在 处取极值，!故 ， 分（）（） !，!（!）!（! !）!（!）!，! !，!则（）在 ，）上递减，在（ ， 上递增，故（
9、）的最小值是（ ） ! 分!由!（!）! !（! ）!， 知!（!）!的!最!大!值!是! 分!故（）的值域为 ， 分因为（） （）有零点，!则!方!程!（!）!有!实!数!根! !故函数（）的值域即为 的取值范围高二数学（理科）试题答案第 页（共 页）因此， 的取值范围为 ， 分 解：（）抽到成绩优秀的学生人数 可取， 分!（ ） ；（ ） ；（ ） ! 分!因此 的分布列为： 故随机变量 的数学期望（） 分!（）由珋 （ ） （ ） 珋 （ 珋）（ 珋） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） 得 （ ） （ ） （ 珋） 分! 珋 珋 所以 关于 的线性回归方程是 分!当 时， ，故估计
10、第 次测试，他的物理成绩为 分 分 解：（）证明：如图，过点 分别作、 的垂线，交 于点，!交 于点 分 面 面 ，面 面 ，!，面 面 分 又 面 ! ，! ! ，! 分 同理可得! ，、面 面 分（）设 ，连接，! ，面， 面，则面 分 同理面 !故直线 即为直线 分由几何性质知!， 则!高二数学（理科）试题答案第 页（共 页） 如图所示，以 点为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系，由（，），（，）， （，），（，）知 （，）， （， ） 分 !则 ， 槡 即直线 与 所成角的余弦值为槡! 分 解：（）设直线 的方程为 ，（ ， ）、（ ， ），!由 ， 分 ，得 !由
11、得 ， ， ， 分!所以 槡（ ） （ ） （ 槡 ） 槡 ， 分!易知当 时， 取得最大值槡 分（）设（ ， ）、（ ， ）， 的中点（ ， ），!若直线 平行于 轴，则线段 的垂直平分线为 轴，故 ， 分若直线 不平行于 轴， !因为线段 的垂直平分线与 轴相交，所以直线 不平行于 轴，即 ，由 ， ，两式相减整理 设（ ， ）是 的中点， ， 因此 分!又 ，且 ，即 解得 由槡 或 槡知 槡 或 槡 分!综上， 的取值范围是（ 槡，槡） 分! 解：（）（） !当 时，（），则（）在 上单调递增，无递减区间； 分!高二数学（理科）试题答案第 页（共 页）当 时，令（） ，得 槡 （） 的
12、解集为（ ， 槡 ）（ 槡 ， ），（） 的解集为（ 槡 ，槡 ）则（）在（ 槡 ，槡 ）上单调递减，在（ ， 槡 ），（ 槡 ， ）上单调递增!分!（!）由!（!）!知!函!数!（!） 有!三!个!零!点!，!则! ! （）在（ 槡 ，槡 ）上单调递减，在（ ， 槡 ），（ 槡 ， ）上单调递增， （）的极大值为（ 槡 ） 槡 ，极小值为（ 槡 ） 槡 分! （）有三个不同的零点 、 、 ，且（ 槡 ） 槡 （ 槡 ） 槡 分!解得 故 的取值范围为（ ， ） 分!又 （） ，当 时，有（） ，当 时，有（） 设 ，由零点存在性定理知 槡 槡 分! 槡 分又 （ 槡 ） （!槡!）! ! !（!槡!）! ! ! !槡! ! （ 槡 ） 槡 槡 ， 分!因此 槡 分!高二数学（理科）试题答案第 页（共 页）
