1、 42导数的运算42.1几个幂函数的导数42.2一些初等函数的导数表一、基础达标1下列结论中正确的个数为()yln 2,则y;y,则y|x3;y2x,则y2xln 2;ylog2x,则y.A0 B1 C2 D3答案D解析yln 2为常数,所以y0.错正确2过曲线y上一点P的切线的斜率为4,则点P的坐标为()A. B.或C. D.答案B解析y4,x,故选B.3已知f(x)xa,若f(1)4,则a的值等于()A4 B4 C5 D5答案A解析f(x)axa1,f(1)a(1)a14,a4.4函数f(x)x3的斜率等于1的切线有()A1条 B2条 C3条 D不确定答案B解析f(x)3x2,设切点为(x
2、0,y0),则3x1,得x0,即在点和点处有斜率为1的切线5曲线y在点M(3,3)处的切线方程是_答案xy60解析y,y|x31,过点(3,3)的斜率为1的切线方程为:y3(x3)即xy60.6若曲线在点处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18,则a_.答案64解析曲线在点处的切线斜率,切线方程为令x0得;令y0得x3a.该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S3a18,a64.7求下列函数的导数:(1) y;(2)y;(3)y2sin ;(4)ylog2x2log2x.解(1)y.(2)y(x4)4x414x5.(3)y2sin2sin 2sin cos sin x,y(sin x)cos
3、 x.(4)ylog2x2log2xlog2x,y(log2x).二、能力提升8已知直线ykx是曲线yex的切线,则实数k的值为()A. B Ce De答案D解析yex,设切点为(x0,y0),则ex0ex0x0,x01,ke.9曲线yln x在xa处的切线倾斜角为,则a_.答案1解析y,y|xa1,a1.10点P是曲线yex上任意一点,则点P到直线yx的最小距离为_答案解析根据题意设平行于直线yx的直线与曲线yex相切于点(x0,y0),该切点即为与yx距离最近的点,如图则在点(x0,y0)处的切线斜率为1,即y|xx01.y(ex)ex,ex01,得x00,代入yex,得y01,即P(0,
4、1)利用点到直线的距离公式得距离为.11已知f(x)cos x,g(x)x,求适合f(x)g(x)0的x的值解f(x)cos x,g(x)x,f(x)(cos x)sin x,g(x)x1,由f(x)g(x)0,得sin x10,即sin x1,但sin x1,1,sin x1,x2k,kZ.12已知抛物线yx2,直线xy20,求抛物线上的点到直线的最短距离解根据题意可知与直线xy20平行的抛物线yx2的切线,对应的切点到直线xy20的距离最短,设切点坐标为(x0,x),则y|xx02x01,所以x0,所以切点坐标为,切点到直线xy20的距离d,所以抛物线上的点到直线xy20的最短距离为.三、探究与创新13设f0(x)sin x,f1(x)f0(x),f2(x)f1(x),fn1(x)fn(x),nN,试求f2 014(x)解f1(x)(sin x)cos x,f2(x)(cos x)sin x,f3(x)(sin x)cos x,f4(x)(cos x)sin x,f5(x)(sin x)f1(x),f6(x)f2(x),fn4(x)fn(x),可知周期为4,f2 014(x)f2(x)sin x.