1、输油管的优化布置输油管的优化布置 2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛 C题问题背景 某油田计划在铁路线一侧建造两家炼某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。由于这种模式具有一定的来运送成品油。由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。用最省的一般数学模型与方法。问题背景v1. 针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出你的设计方案。在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。v2.
2、 设计院目前需对更为复杂的情形进行具体的设计。两炼油厂的具体位置由附图所示，其中A厂位于郊区(I 区域)，B厂位于城区（图中的II区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为 a=5，b = 8，c = 15，l = 20。 若所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元。 在城区铺设的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。结果如下表所示：工程咨询公司公司一公司二公司三附加费用(万元/千米)212420请设计最佳管线布置方案并给出相应的费用。问题背景3
3、. 在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同上。请给出管线最佳布置方案及相应的费用。1.问题分析v在铁路线一侧建造两家炼油厂，并在铁在铁路线一侧建造两家炼油厂，并在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油，路线上增建一个车站，用来运送成品油，根据各种不同的情况，输油管线设计方根据各种不同的情况，输油管线设计方案不同。案不同。v共用管线费用一般比非共用管线费用贵，共用管线费用一般比非共用管线费用贵，但不会超过但不会超过2
4、倍，否则不用共用管线。倍，否则不用共用管线。v本问题涉及炼油厂及车站位置等，可以本问题涉及炼油厂及车站位置等，可以借助几何方法来描述。借助几何方法来描述。2.模型假设v（1）两炼油厂分别为）两炼油厂分别为A、B，位于铁道线的同侧；，位于铁道线的同侧；v（2）铁路是一条直线，）铁路是一条直线，E点为车站；点为车站；v（3） P点为共用管线与非共用管线的交点；点为共用管线与非共用管线的交点； 共用管线费用是非共用管线费用共用管线费用是非共用管线费用 k 倍倍 v（4）不考虑施工工艺对管道铺设的影响）不考虑施工工艺对管道铺设的影响。假设共用管线费用与非共用管线费用相同定理：定理： 设ab，假设共用管
5、线费用与非共用管线费用相同。如果交汇点为Q(x,y)，则Q点应位于矩形ACDE内：PQ0, 0 xlya图1：有共用管线的布置xyE问题一 假设共用管线费用与非共用管线费用相同v设ab，交汇点Q(x,y)，管路单价r(万元/千米)，则模型如下：PQ22220, min ( , )() (1) . . (2 0)xlyz x yrxaylxbayyst目标函数有唯一驻点：*32222 3lxbaably情形1：驻点坐标满足约束条件（2），即：33balab min32rzabl图1：有共用管线的布置xyQ图2：无共用管线的布置xy情形3：如果y*0,即：3lab2*2min,0,axl yzrl
6、abab则无需共用管线，令y*=0。此时图形转为图2.利用对称性，可得：A情形2：如果x*a,即：3lba*22min0,xyazr alba则令x*=0或y*=a，代入(1)可得：此时，Q点与A点重合。问题一 假设共用管线费用与非共用管线费用相同此时，Q点为AB与铁路的交点。问题一 假设共用管线费用与非共用管线费用不同v假设共用管线和非共用管线单价分别为kr(万元/千米)和r (万元/千米)，通常2k1，则模型为2222min ( , )() (3) . . 0, 0 (4)z x yrxaylxbykrystxlya类似于前面三种情形的讨论，可得如下结果：目标函数有唯一驻点：*2*2422
7、22 4lbaxkkabklyk情形4：驻点坐标满足约束条件（4），即下面的不等式(5)成立时：222222 (5)babaklbalba2min4 (6)2rzk ablk极小值点不变！Q图2：无共用管线的布置xy情形6：如果y*0，即：222 (7)baklba2*2min,0,axl yzrlabab则无需共用管线，令y*=0。此时与情形3相同，可得：A情形5：如果x*a,即：222 baklba*22min0,xyazr kalba则令x*=0或y*=a，代入(3)可得：此时，Q点为A点。问题一 假设共用管线费用与非共用管线费用不同此时，Q点为AB与铁路的交点。问题二v附加费用m(万元
8、/千米)的确定212420221 (8)1 12kmkk m的大小可以按照三家工程咨询公司的估算值做加权平均，设甲级资质权重为k，乙级资质权重为1(k1)，则问题二v设设所有管线的铺设费用均相同所有管线的铺设费用均相同PQ222222min ( , , )() () (9) . . 0, 0, (10)z x y trxaycxtyyrmlcbtstxcya ytb 目标函数有唯一驻点：*22*22*2233222 422 32 44lc rcxbarmrlc rabcyrmrlc rtbrmr如果驻点坐标满足约束条件（10），则：22min34 (11)22rlczabcrmr图3：有附加费
9、用和共用管线的布置xyTv设管线与I、II区交界处交点为T(c,t)，所有管线的铺设费用单价为r(万元/千米)，则模型如下：问题二v设设所有管线的铺设费用均相同所有管线的铺设费用均相同题目给出参数：a=5,b=8,c=15,l=20,r=7.2通过数值计算讨论k的影响（敏感性分析）权重km(万元/千米)x*(千米)y*(千米)t*(千米)Zmin(万元)EZk1.221.635.4471.8557.371283.3525-0.00421.621.565.4481.8547.369282.9997-0.00442.021.505.4491.8547.368282.6973-0.00453.021
10、.405.4511.8537.366282.1934-0.00434.021.335.4531.8527.364281.8405-0.00405.021.295.4541.8517.363281.6389-0.00376.021.255.4541.8517.362281.4373-0.0034不同权值下的最优解数值结果问题二v设设所有管线的铺设费用均相同所有管线的铺设费用均相同222222122min ( , , )() (12) . . 0, 0, (13)z x y trxayrcxtypyrmlcbtstxcya ytb 直接求解目标函数驻点坐标较为困难,怎么办？有没有简单的方法？v设各
11、类管线铺设费用单价 (万元/千米)分别为：公用段p, A厂r1，B厂r2,则模型如下：问题三v设设所有管线的铺设费用都不相同所有管线的铺设费用都不相同PQxyTC从平面的三角关系入手从平面的三角关系入手：汇合点Q,T可以由三个角度确定，P点由Q点确定图4：有附加费用和共用管线的布置211222sin(14)sincoscos(15)cos(16)cosrrprrrmr解得：222222222122121122cos,cos,cos (17)222prrprrprrprprp rm根据几何关系：()tan,()tan,()tan (18)xaycxtylcbt驻点条件等价于问题三v设设所有管线的
12、铺设费用不相同所有管线的铺设费用不相同PQxyTC图4：有附加费用和共用管线的布置可见：直角坐标变量 x, y, t 之间为线性方程组关系，系数由三角函数决定。解得：*()tantantantan, (19)tantantantantanctalctactbxy代入目标函数解得：*122*min (20)coscossinr ayrtyrmlczpyPQxyTC图4：有附加费用和共用管线的布置v设设所有管线的铺设费用不相同所有管线的铺设费用不相同问题三有没有更简单的方法？v设设所有管线的铺设费用不相同所有管线的铺设费用不相同1221sinsinvnvn类比法类比法 ！光的折射定律光程：光在媒质
13、中通过的路程和该媒质折射率的乘积 费马原理:光在传播过程中遵循“光程最短”的原则光程最短12sinsin0nn如果将光线看成是管道，折射率看成是管道单价，则光程可以视为管道总造价！光程最短等价于两段管道总造价最小！确定入射光与折射光在介质界面的最佳交汇点2112sinsin( ,)coscosrrQx yprr点不固定:2221( , )niiiC x ycxxyy2212212121sin0cos0nniiiiniiiiiniiiiixxCcxxxyyyyCcyxxyycciyi为从 轴正向到第 条管（逆时道的角度针为正）22cos()cosrmTxyr点 固定, 不固定 ：推广：推广：n条
14、管道确定最佳汇合点条管道确定最佳汇合点题目给出参数：a=5,b=8,c=15,l=20,p=7.2,r1=5.6,r2=6通过数值计算讨论k的影响（敏感性分析）权重km(万元/千米)x*(千米)y*(千米)t*(千米)Zmin(万元)1.221.636.7320.1407.283252.62521.621.566.7330.1407.281252.27162.021.506.7340.1397.280251.96853.021.406.7350.1387.277251.46334.021.336.7370.1377.275251.10975.021.296.7370.1367.274250.90766.021.256.7380.1367.273250.7055不同权值下的最优解数值结果问题三v设设所有管线的铺设费用不相同所有管线的铺设费用不相同v若交汇点在城区，类似分析可知若交汇点在城区，类似分析可知结果不是最优的。
