1、 优秀领先 飞翔梦想 成人成才第十一章 三角形教学备注学生在课前完成自主学习部分1.问题引入（见幻灯片3）11.1 与三角形有关的线段11.1.1 三角形的边学习目标：1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题. 2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想重点：利用轴对称解决简单的最短路径问题难点：利用轴对称解决简单的最短路径问题自主学习一、知识链接1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的基本事实？（1）三角形的三边关系：_； (2)直
2、角三角形中边的关系：_ .4.如图，如何作点A关于直线l的对称点？教学备注配套PPT讲授2.探究点1新知讲授（见幻灯片5-15）课堂探究1、 要点探究实际问题:如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？ 探究点1：牧人饮马问题 数学问题:如图，点A、B在直线l的同一侧，在直线l上求作一点C,使AC+BC最短. 想一想：1.现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？ 2.如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，如何将点B“移”到l 的另一侧B处，满足直线l 上的任意一点C
3、，都保持CB 与CB的长度相等？要点归纳：（1）作点B 关于直线l 的对称点B；（2）连接AB，与直线l 相交于点C 则点C 即为所求如图所示. 你能用所学的知识证明你所作的点C使AC +BC最短吗？ 证明：教学备注3.探究点2新知讲授（见幻灯片16-24）要点归纳:在解决牧人饮马问题时，通常利用轴对称，把未知问题转化为已解决的问题，从而做出最短路径的选择.典例精析例1：如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（）A7.5 B5 C4 D不能确定 方法总结：此类求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而后将求线段长的
4、和转化为求某一线段的长，而再根据已知条件求解.例2：如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当ABC的周长最小时点C的坐标是（）A（0，3） B（0，2） C（0，1） D（0，0） 方法总结：求三角形周长的最小值，先确定动点所在的直线和固定点，而后作某一固定点关于动点所在直线的对称点，而后将其与另一固定点连线，连线与动点所在直线的交点即为三角形周长最小时动点的位置.探究点2：造桥选址问题实际问题：如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平
5、行的直线，桥要与河垂直）？ 数学问题：如图，假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？想一想：我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？画一画：（1）把A平移到岸边. （2）把B平移到岸边. （3）把桥平移到和A相连. （4）把桥平移到和B相连. 教学备注配套PPT讲授比一比：（1）（2）（3）（4）中，哪种作法使得AM+MN+BN最短？要点归纳：如图，平移A到A1，使AA1等于河宽，连接A1B交河岸于N作桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.想一想：如何说明此时AM+MN+BN最短呢？证明：
6、另任作桥M1N1，连接AM1，BN1，A1N1.针对训练1. 如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ ）2.如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再返回P处，请画出旅游船的最短路径3.如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水(1)若要使厂址到A，B两村的距离相等，则应选择在哪建厂(要求：保留作图痕迹，写出必教学备注配套PPT讲授4.课堂小结5.当堂检测（见幻灯片25-32）要的文字说明)?(2)若要使厂址到A
7、，B两村的水管最短，应建在什么地方？牧人饮马问题二、课堂小结轴对称+线段公理最短路径问题平移造桥选址问题当堂检测1.如图，直线m同侧有A、B两点，A、A关于直线m对称，A、B关于直线n对称，直线m与AB和n分别交于P、Q，下面的说法正确的是（）AP是m上到A、B距离之和最短的点，Q是m上到A、B距离相等的点 BQ是m上到A、B距离之和最短的点，P是m上到A、B距离相等的点 CP、Q都是m上到A、B距离之和最短的点 DP、Q都是m上到A、B距离相等的点 第1题图 第2题图 第3题图2.如图，AOB=30，AOB内有一定点P，且OP=10若在OA、OB上分别有动点Q、R，则PQR周长的最小值是（）
8、 A10 B15 C20 D30 3.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是_ 米.4.如图，边长为1的正方形组成的网格中，AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2），B（1，3）点P在x轴上，当PA+PB的值最小时，在图中画出点P教学备注配套PPT讲授5.课堂小结6.当堂检测（见幻灯片24-28）5.如图，荆州古城河在CC处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD ,EE （桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD E EB的路程最短？拓展提升6.（1）如图1，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点（2）如图2，在AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点（3）如图3，在AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点 第 6 页 共 6 页
