1、技法强化训练(一)函数与方程思想题组1运用函数与方程思想解决数列、不等式等问题1(2016安阳模拟)已知an是等差数列,a11,公差d0,Sn是其前n项和,若a1,a2,a5成等比数列,则S8的值为()A16B.32C.64D.62C由题意可知aa1a5,即(1d)21(14d),解得d2,所以an1(n1)22n1.S84(115)64.2若2x5y2y5x,则有()Axy0 B.xy0Cxy0 D.xy0B原不等式可化为2x5x2y5y,构造函数y2x5x,其为R上的增函数,所以有xy,即xy0.3若关于x的方程x22kx10的两根x1,x2满足1x10x22,则k的取值范围是()A. B
2、.C. D.B构造函数f(x)x22kx1,因为关于x的方程x22kx10的两根x1,x2满足1x10x22,所以即所以k0,所以k的取值范围是.4(2016邯郸模拟)已知数列an满足a160,an1an2n(nN*),则的最小值为_由an1an2n,得an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12(n1)2(n2)260n2n60.n1.令f(x)x1,易知f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,)上单调递增又nN*,当n7时,71,当n8时,81.又,故的最小值为.5(2016郑州模拟)已知函数f(x)xln xa,g(x)x2ax,其中a0.(1)若曲线yf(x)在点(1,f(1)
3、处的切线与曲线yg(x)也相切,求a的值;(2)证明:x1时,f(x)g(x)恒成立解(1)由f(x)xln xa,得f(1)a,f(x)ln x1,所以f(1)1.1分所以曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线为yxa1.因为直线yxa1与曲线yg(x)也相切,所以两方程联立消元得x2axax1,即x2(a1)x1a0,3分所以(a1)24(1a)0,得a21.因为a0,所以a1.4分(2)证明:x1时,f(x)g(x)恒成立,等价于x2axxln xa0恒成立令h(x)x2axxln xa,则h(1)0且h(x)xaln x1.6分令(x)xln x1,则(1)0且(x)1,8分所以x1
4、时,(x)0,(x)单调递增,所以(x)(1)0.又因为a0,所以h(x)0,h(x)单调递增,所以h(x)h(1)0,所以x1时,x2axxln xa0恒成立,11分即x1时,f(x)g(x)恒成立.12分题组2利用函数与方程思想解决几何问题6(2016山西四校联考)设抛物线C:y23px(p0)的焦点为F,点M在C上,|MF|5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为()Ay24x或y28x B.y22x或y28xCy24x或y216x D.y22x或y216xC由抛物线的定义可知MFxM5,xM5,y15p,故以MF为直径的圆的方程为(xxM)(xxF)(yyM)(yyF)0,即
5、(2yM)(20)0.yM22yM4,p或.C的方程为y24x或y216x.7如图1所示,在单位正方体ABCDA1B1C1D1的面对角线A1B上存在一点P,使得APD1P最短,则APD1P的最小值是()图1A2 B.22C. D.C设A1Px(0x)在AA1P中,AP,在RtD1A1P中,D1P.于是令yAPD1P,下面求对应函数y的最小值将函数y的解析式变形,得y,其几何意义为点Q(x,0)到点M与点N(0,1)的距离之和,当Q,M,N三点共线时,这个值最小,且最小值为.8已知椭圆E:1(ab0)的离心率e,并且经过定点P.(1)求椭圆E的方程;(2)问:是否存在直线yxm,使直线与椭圆交于
6、A,B两点,且满足?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由解(1)由e且1,c2a2b2,解得a24,b21,即椭圆E的方程为y21.4分(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由x24(mx)2405x28mx4m240.(*)所以x1x2,x1x2,8分y1y2(mx1)(mx2)m2m(x1x2)x1x2m2m2,由得(x1,y1)(x2,y2),即x1x2y1y2,m2.又方程(*)要有两个不等实根,所以(8m)245(4m24)0,解得m,所以m2.12分9如图2,直三棱柱ABCABC中,ACBC5,AAAB6,D,E分别为AB和BB上的点,且.图2(1)求证:当1时,ABCE
7、;(2)当为何值时,三棱锥ACDE的体积最小,并求出最小体积解(1)证明:1,D,E分别为AB和BB的中点.1分又AAAB,且三棱柱ABCABC为直三棱柱,平行四边形ABBA为正方形,DEAB.2分ACBC,D为AB的中点,CDAB.3分三棱柱ABCABC为直三棱柱,CD平面ABBA,CDAB,4分又CDDED,AB平面CDE.CE平面CDE,ABCE.6分(2)设BEx,则ADx,DB6x,BE6x.由已知可得C到平面ADE的距离即为ABC的边AB所对应的高h4,8分VACDEVCADE(S四边形ABBASAADSDBESABE)hh(x26x36)(x3)227(0x6),11分当x3,即1时,VACDE有最小值18.12分6