1、专题限时集训(十六)导数的应用建议A、B组各用时:45分钟A组高考达标一、选择题1(2016四川高考)已知a为函数f(x)x312x的极小值点,则a()A4B.2C.4D.2D由题意得f(x)3x212,令f(x)0得x2,当x2时,f(x)0;当2x2时,f(x)0,f(x)在(,2)上为增函数,在(2,2)上为减函数,在(2,)上为增函数f(x)在x2处取得极小值,a2.2(2016枣庄模拟)已知函数f(x)是定义在R上的可导函数,f(x)为其导函数,若对于任意实数x,有f(x)f(x)0,则()Aef(2 015)f(2 016)Bef(2 015)f(2 016)C.ef(2 015)
2、f(2 016)Def(2 015)与f(2 016)大小不能确定A令g(x),则g(x),因为f(x)f(x)0,所以g(x)0,所以函数g(x)在R上单调递减,所以g(2 015)g(2 016),即,所以ef(2 015)f(2 016),故选A.3(2016安庆模拟)已知函数f(x)k,若x2是函数f(x)的唯一一个极值点,则实数k的取值范围为()A(,e B.0,eC.(,e) D.0,e)Af(x)k(x0)设g(x),则g(x),则g(x)在(0,1)内单调递减,在(1,)内单调递增g(x)在(0,)上有最小值,为g(1)e, 结合g(x)与yk的图象可知,要满足题意,只需ke,
3、选A.4(2016邯郸一模)已知函数f(x)x3ax2bxc有两个极值点x1,x2.若f(x1)x1x2,则关于x的方程3(f(x)22af(x)b0的不同实根个数为()A3B.4C.5D.6Af(x)3x22axb,原题等价于方程3x22axb0有两个不等实数根x1,x2,且x1x2,x(,x1)时,f(x)0,f(x)单调递增;x(x1,x2)时,f(x)0,f(x)单调递减;x(x2,)时,f(x)0,f(x)单调递增x1为极大值点,x2为极小值点方程3(f(x)22af(x)b0有两个不等实根,f(x)x1或f(x)x2.f(x1)x1,由图知f(x)x1有两个不同的解,f(x)x2仅
4、有一个解故选A.5(2016合肥二模)定义在R上的偶函数f(x)的导函数为f(x),若对任意的实数x,都有2f(x)xf(x)2恒成立,则使x2f(x)f(1)x21成立的实数x的取值范围为()Ax|x1 B.(,1)(1,)C.(1,1) D.(1,0)(0,1)B设g(x)x2f(x)1,则由f(x)为偶函数得g(x)x2f(x)1为偶函数又因为g(x)2xf(x)1x2f(x)x2f(x)xf(x)2,且2f(x)xf(x)2,即2f(x)xf(x)20,所以当x0时,g(x)x2f(x)xf(x)20,函数g(x)x2f(x)1单调递减;当x0时,g(x)x2f(x)xf(x)20,函
5、数g(x)x2f(x)1单调递增,则不等式x2f(x)f(1)x21x2f(x)x2f(1)1g(x)g(1)|x|1,解得x1或x1,故选B.二、填空题6(2016全国丙卷)已知f(x)为偶函数,当x0时,f(x)f(x)ln x3x,所以f(x)3,则f(1)2.所以yf(x)在点(1,3)处的切线方程为y32(x1),即y2x1.7(2016长沙一模)已知函数f(x)是定义在R上的可导函数,其导函数记为f(x),若对于任意的实数x,有f(x)f(x),且yf(x)1是奇函数,则不等式f(x)ex的解集为_(0,)由题意令g(x),则g(x).因为f(x)f(x),所以g(x)0,即g(x
6、)在R上是单调递减函数,因为yf(x)1为奇函数,所以f(0)10,即f(0)1,g(0)1,则不等式f(x)ex等价为1g(0),即g(x)g(0),解得x0,所以不等式的解集为(0,)8(2016郑州一模)已知函数f(x)x33ax(aR),若直线xym0对任意的mR都不是曲线yf(x)的切线,则a的取值范围为_af(x)x33ax(aR),则f(x)3x23a,若直线xym0对任意的mR都不是曲线yf(x)的切线,则直线的斜率为1,f(x)3x23a与直线xym0没有交点,又抛物线开口向上则必在直线上面,即最小值大于直线斜率,则当x0时取最小值,3a1,则a的取值范围为a.三、解答题9(
7、2016潍坊二模)已知函数f(x)bln x,曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线方程为yx.(1)求函数f(x)的单调区间及极值;(2)若x1,f(x)kx恒成立,求k的取值范围解(1)f(x)的定义域为(0,),f(x),2分故f(1)ba1,又f(1)a,点(1,a)在直线yx上,a1,则b2.f(x)2ln x且f(x),当0x时,f(x)0,当x时,f(x)0,故函数f(x)的单调增区间为,单调减区间为,f(x)极小值f22ln 2,无极大值.6分(2)由题意知,k(x1)恒成立,令g(x)(x1),则g(x)(x1),8分令h(x)xxln x1(x1),则h(x)ln x(x
8、1),当x1时,h(x)0,h(x)在1,)上为减函数,故h(x)h(1)0,故g(x)0,g(x)在1,)上为减函数,故g(x)的最大值为g(1)1,k1.12分10(2016北京高考)设函数f(x)x3ax2bxc.(1)求曲线yf(x)在点(0,f(0)处的切线方程;(2)设ab4,若函数f(x)有三个不同零点,求c的取值范围;(3)求证:a23b0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件解(1)由f(x)x3ax2bxc,得f(x)3x22axb.因为f(0)c,f(0)b,所以曲线yf(x)在点(0,f(0)处的切线方程为ybxc.2分(2)当ab4时,f(x)x34x24xc,所
9、以f(x)3x28x4.令f(x)0,得3x28x40,解得x2或x.f(x)与f(x)在区间(,)上的情况如下:x(,2)2f(x)00f(x)cc所以,当c0且c0时,存在x1(4,2),x2,x3,使得f(x1)f(x2)f(x3)0.由f(x)的单调性知,当且仅当c时,函数f(x)x34x24xc有三个不同零点.8分(3)证明:当4a212b0时,f(x)3x22axb0,x(,),此时函数f(x)在区间(,)上单调递增,所以f(x)不可能有三个不同零点当4a212b0时,f(x)3x22axb只有一个零点,记作x0.当x(,x0)时,f(x)0,f(x)在区间(,x0)上单调递增;当
10、x(x0,)时,f(x)0,f(x)在区间(x0,)上单调递增所以f(x)不可能有三个不同零点.10分综上所述,若函数f(x)有三个不同零点,则必有4a212b0.故a23b0是f(x)有三个不同零点的必要条件当ab4,c0时,a23b0,f(x)x34x24xx(x2)2只有两个不同零点,所以a23b0不是f(x)有三个不同零点的充分条件因此a23b0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件.13分B组名校冲刺一、选择题1(2016江西赣中南五校联考)已知函数yf(x)对任意的x满足f(x)cos xf(x)sin x0(其中f(x)是函数f(x)的导函数),则下列不等式成立的是()A.f
11、fB.ffC.f(0)2f D.f(0)fA令g(x),则g(x),由对任意的x满足f(x)cos xf(x)sin x0,可得g(x)0,即函数g(x)在上为增函数,则gg,即,即ff.故选A.2(2016忻州模拟)已知函数f(x)ax2bxln x(a0,bR),若对任意x0,f(x)f(1),则()Aln a2b B.ln a2bC.ln a2b D.ln a2bAf(x)2axb,由题意可知f(1)0,即2ab1,由选项可知,只需比较ln a2b与0的大小,而b12a,所以只需判断ln a24a的符号构造一个新函数g(x)24xln x,则g(x)4,令g(x)0,得x,当x时,g(x
12、)为增函数,当x时,g(x)为减函数,所以对任意x0有g(x)g1ln 40,所以有g(a)24aln a2bln a0ln a2b,故选A.3(2016深圳一模)已知函数f(x)ln xax2x有两个不同零点,则实数a的取值范围是()A(0,1) B.(,1)C. D.A令g(x)ln x,h(x)ax2x,将问题转化为两个函数图象交点的问题当a0时,g(x)和h(x)的图象只有一个交点,不满足题意;当a0时,由ln xax2x0,得a.令r(x),则r(x),当0x1时,r(x)0,r(x)是单调增函数,当x1时,r(x)0,r(x)是单调减函数,且0,0a1.a的取值范围是(0,1)故选
13、A.4(2016南昌模拟)已知函数f(x)x(ln xax)有两个极值点,则实数a的取值范围是()【导学号:85952070】A(,0) B.C.(0,1) D.(0,)Bf(x)x(ln xax),f(x)ln x2ax1,由题意可知f(x)在(0,)上有两个不同的零点,令f(x)0,则2a,令g(x),则g(x),g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,)上单调递减又当x0时,g(x),当x时,g(x)0,而g(x)maxg(1)1,只需02a10a.二、填空题5(2016皖南八校联考)已知x(0,2),若关于x的不等式恒成立,则实数k的取值范围为_0,e1)依题意,知k2xx20,即kx
14、22x对任意x(0,2)恒成立,从而k0,所以由可得kx22x.令f(x)x22x,则f(x)2(x1)(x1).令f(x)0,得x1,当x(1,2)时,f(x)0,函数f(x)在(1,2)上单调递增,当x(0,1)时,f(x)0,函数f(x)在(0,1)上单调递减,所以kf(x)minf(1)e1,故实数k的取值范围是0,e1)6(2016武汉模拟)已知函数g(x)满足g(x)g(1)ex1g(0)xx2,且存在实数x0使得不等式2m1g(x0)成立,则m的取值范围为_1,)g(x)g(1)ex1g(0)x,当x1时,g(0)1,由g(0)g(1)e01,解得g(1)e,所以g(x)exxx
15、2,则g(x)ex1x,当x0时,g(x)0,当x0时,g(x)0,所以当x0时,函数g(x)取得最小值g(0)1,根据题意将不等式转化为2m1g(x)min1,所以m1.三、解答题7(2016全国甲卷)已知函数f(x)(x1)ln xa(x1)(1)当a4时,求曲线yf(x)在(1,f(1)处的切线方程;(2)若当x(1,)时,f(x)0,求a的取值范围解(1)f(x)的定义域为(0,)当a4时,f(x)(x1)ln x4(x1),f(1)0,f(x)ln x3,f(1)2.故曲线yf(x)在(1,f(1)处的切线方程为2xy20.4分(2)当x(1,)时,f(x)0等价于ln x0.设g(
16、x)ln x,则g(x),g(1)0.8分当a2,x(1,)时,x22(1a)x1x22x10,故g(x)0,g(x)在(1,)单调递增,因此g(x)0;当a2时,令g(x)0得x1a1,x2a1.由x21和x1x21得x11,故当x(1,x2)时,g(x)0,g(x)在(1,x2)单调递减,因此g(x)0.综上,a的取值范围是(,2.12分8(2016四川高考)设函数f(x)ax2aln x,g(x),其中aR,e2.718为自然对数的底数(1)讨论f(x)的单调性;(2)证明:当x1时,g(x)0;(3)确定a的所有可能取值,使得f(x)g(x)在区间(1,)内恒成立解(1)由题意得f(x
17、)2ax(x0)当a0时,f(x)0时,由f(x)0有x,当x时,f(x)0,f(x)单调递增.4分(2)证明:令s(x)ex1x,则s(x)ex11.当x1时,s(x)0,所以ex1x,从而g(x)0.8分(3)由(2)知,当x1时,g(x)0.当a0,x1时,f(x)a(x21)ln xg(x)在区间(1,)内恒成立时,必有a0.当0a1.由(1)有f0,所以此时f(x)g(x)在区间(1,)内不恒成立.11分当a时,令h(x)f(x)g(x)(x1)当x1时,h(x)2axe1xx0.因此,h(x)在区间(1,)上单调递增又因为h(1)0,所以当x1时,h(x)f(x)g(x)0,即f(x)g(x)恒成立综上,a.14分11