1、东北师范大学数学与统计学院东北师范大学数学与统计学院 一、关于教师专业标准一、关于教师专业标准二、对数学教学的要求二、对数学教学的要求三、体现数学教育价值三、体现数学教育价值 一、关于教师一、关于教师专业专业标准标准标准的基本功能标准的基本功能 评价标准之性质（培养、准入）评价标准之性质（培养、准入） 导向标准之特征（培训、提职）导向标准之特征（培训、提职）标准的基本理念标准的基本理念 学生为本：学生为本：以学生的发展为本，尊重学生的人格人性、以学生的发展为本，尊重学生的人格人性、 尊重教育规律、尊重学生的认知规律（青蛙）尊重教育规律、尊重学生的认知规律（青蛙） 师德为先：师德为先：热爱教育、
2、热爱学生，工作认真、为人阳光热爱教育、热爱学生，工作认真、为人阳光 能力为重：能力为重：科学形态的知识科学形态的知识 教育形态的知识教育形态的知识 终身学习：终身学习：教师职业的要求教师职业的要求 专业标准包括：专业标准包括： 三个维度、十四个领域、六十一项基本要求三个维度、十四个领域、六十一项基本要求 三个维度：专业理念三个维度：专业理念与师德与师德、专业知识、专业能力、专业知识、专业能力 专业理念与师德：专业理念与师德： 如何对待职业（谋生、热爱、欣赏）如何对待职业（谋生、热爱、欣赏） 如何对待学生（关爱、尊重、懂得）如何对待学生（关爱、尊重、懂得） 如何对待教育教学（知识、思维、经验）如
3、何对待教育教学（知识、思维、经验） 如何对待自身发展（模仿、反思、理论）如何对待自身发展（模仿、反思、理论） 专业知识包括：专业知识包括： 教育知识：教育知识：青少年心理学、教师心理学、青少年心理学、教师心理学、教育哲学教育哲学 学科知识：学科知识：数学知识的本质、数学知识的教育价值数学知识的本质、数学知识的教育价值 数学的基本思想（数学的基本素养）：数学的基本思想（数学的基本素养）： 抽象、推理、模型抽象、推理、模型 教学知识：教学知识：知道学生的认知规律、启发学生独立思考，知道学生的认知规律、启发学生独立思考， 引导学生学会思考、帮助学生积累经验引导学生学会思考、帮助学生积累经验 通识知识
4、：通识知识：物理学（商朝如何判定一年四季、物理学（商朝如何判定一年四季、365365又又1/41/4天天） 人文学科（负数）人文学科（负数）在汉朝的时候，有一个人做了三次牲畜买卖，收支情况如下：在汉朝的时候，有一个人做了三次牲畜买卖，收支情况如下： 第一次第一次 卖牛收入卖牛收入2424钱，卖羊收入钱，卖羊收入2525钱，买猪支出钱，买猪支出3939钱，钱，合计收入合计收入1010钱；钱； 第二次第二次 卖牛收入卖牛收入3636钱，买羊支出钱，买羊支出4545钱，卖猪收入钱，卖猪收入9090钱，钱，合计收支相当；合计收支相当； 第三次第三次 买牛支出买牛支出6060钱，卖羊收入钱，卖羊收入30
5、30钱，卖猪收入钱，卖猪收入2424钱，钱，合计支出合计支出6 6钱。钱。如何用数学的方法表达？如何用数学的方法表达？文字形式文字形式 牛牛 羊羊 猪猪 合计合计第一次第一次 收入收入24 24 收入收入25 25 支出支出39 39 收入收入1010第二次第二次 收入收入36 36 支出支出45 45 收入收入90 090 0第三次第三次 支出支出60 60 收入收入30 30 收入收入24 24 支出支出6 6数字形式数字形式 牛牛 羊羊 猪猪 合计合计第一次第一次 24 25 -39 1024 25 -39 10第二次第二次 36 -45 90 036 -45 90 0第三次第三次 -6
6、0 30 24 -6-60 30 24 -6负数与自然数：负数与自然数：数量相等、意义相反。数量相等、意义相反。专业能力包括：专业能力包括： 教学设计：教学设计：教无定法、抓住本质、言简意赅（集中精力）教无定法、抓住本质、言简意赅（集中精力） 教学实施：教学实施：预设与生成、举例说明（加法的逆运算）预设与生成、举例说明（加法的逆运算） 班级管理与教育活动：班级管理与教育活动：教育价值教育价值 教育教学评价：教育教学评价：动态看发展（每一个学生）动态看发展（每一个学生） 对教师的教学效果需要长期评价对教师的教学效果需要长期评价 沟通与合作：沟通与合作：校本研修、与家长合作校本研修、与家长合作 反
7、思与发展：反思与发展：一般理论一般理论 实践实践 反思反思 特殊理论特殊理论二、对数学教学的要求二、对数学教学的要求 1. 关注人的全面发展：关注人的全面发展： 学习的兴趣、学习的习惯、良好的身心素质学习的兴趣、学习的习惯、良好的身心素质 班级学校的活动：班级学校的活动：教育价值（合作能力、表达能力）教育价值（合作能力、表达能力） 教师的楷模作用：教师的楷模作用：身教重于言教（东北师大附中）身教重于言教（东北师大附中）2. 教学理念的转变：教学理念的转变： 过去的教育理念：以知识为本（结果的教育）。过去的教育理念：以知识为本（结果的教育）。 关心问题是关心问题是: 应当教哪些内容；应当教到什么
8、程度。应当教哪些内容；应当教到什么程度。 考核内容是考核内容是: 规定的内容是否教了；学生的掌握是否达到要求。规定的内容是否教了；学生的掌握是否达到要求。 教学特征是教学特征是: 基础知识、基本技能为核心内容的基础知识、基本技能为核心内容的“双基双基”。 教学目标是：教学目标是： 基础知识（概念记忆与命题理解）扎实；基础知识（概念记忆与命题理解）扎实； 基本技能（证明技能与运算技能）熟练。基本技能（证明技能与运算技能）熟练。 教学形式是教学形式是: 课堂、教材、教师（凯洛夫的三中心论）。课堂、教材、教师（凯洛夫的三中心论）。 教学过程是教学过程是: 方法以教师的讲授为主、内容以规定和法则为主。
9、方法以教师的讲授为主、内容以规定和法则为主。 重视基本功：知识的记忆；重视基本功：知识的记忆； 重视操作技能：熟能生巧重视操作技能：熟能生巧。 现代教育理念：以人为本现代教育理念：以人为本 以学生的发展为本（结果的教育以学生的发展为本（结果的教育 + + 过程的教育）过程的教育） 不仅要记住一些数学的知识、掌握一些数学的技能。不仅要记住一些数学的知识、掌握一些数学的技能。 数学素养：数学的眼睛、数学的表达、数学的思考。数学素养：数学的眼睛、数学的表达、数学的思考。 要让学生感悟数学的思想，要让学生感悟数学的思想， 积累思维的经验和实践的经验。积累思维的经验和实践的经验。基础知识、基本技能基础知
10、识、基本技能 + 基本思想、基本活动经验基本思想、基本活动经验3. 实施有效教学：实施有效教学： 使得教学效果（课堂）达到最好的教学。使得教学效果（课堂）达到最好的教学。 教无定法、但有定规：启发式教学。教无定法、但有定规：启发式教学。 引发学生思考引发学生思考 本质上：本质上：要讲道理（不能都是规定、要讲道理（不能都是规定、先乘除后加减先乘除后加减） 形式上：与学生一起思考、形式上：与学生一起思考、 让学生得出结论（让学生得出结论（半圆的周长半圆的周长） 3. 实施有效教学：实施有效教学： 使得教学效果（课堂）达到最好的教学。使得教学效果（课堂）达到最好的教学。 教无定法、但有定规：启发式教
11、学。教无定法、但有定规：启发式教学。 引发学生思考引发学生思考 本质上：本质上：要讲道理（不能都是规定、要讲道理（不能都是规定、先乘除后加减先乘除后加减） 形式上：与学生一起思考、形式上：与学生一起思考、 让学生得出结论（让学生得出结论（半圆周长半圆周长） 3. 实施有效教学：实施有效教学： 使得教学效果（课堂）达到最好的教学。使得教学效果（课堂）达到最好的教学。 教无定法、但有定规：启发式教学。教无定法、但有定规：启发式教学。 引发学生思考引发学生思考 本质上：本质上：要讲道理（不能都是规定、要讲道理（不能都是规定、先乘除后加减先乘除后加减） 形式上：与学生一起思考、形式上：与学生一起思考、
12、 让学生得出结论（让学生得出结论（半圆周长半圆周长） 三、体现数学教育价值三、体现数学教育价值 数学的教育价值体现于数学的基本思想。数学的教育价值体现于数学的基本思想。 数学的基本思想是什么？数学的基本思想是什么？ 思想方法：等量替换、数形结合、递归、配方法、换元法？思想方法：等量替换、数形结合、递归、配方法、换元法？两个准则：两个准则： 数学的产生与发展所依赖的那些思想；数学的产生与发展所依赖的那些思想； 学习过数学的人的基本思维特征。学习过数学的人的基本思维特征。 抽象：抽象：把与数学有关的知识引入数学内部；抽象能力强。把与数学有关的知识引入数学内部；抽象能力强。 推理：推理：促进数学内部
13、的发展；推理能力强。促进数学内部的发展；推理能力强。 模型：模型：沟通数学与外部世界的桥梁；构建模型思考问题。沟通数学与外部世界的桥梁；构建模型思考问题。抽象包括：数量与数量关系、图形与图形关系。抽象包括：数量与数量关系、图形与图形关系。 抽象出：抽象出：对象概念和对象之间的关系概念；对象概念和对象之间的关系概念； 运算方法和运算之间的运算法则。运算方法和运算之间的运算法则。亚里士多德：亚里士多德： 数学家用抽象的方法对事物进行研究，去掉事物中那些数学家用抽象的方法对事物进行研究，去掉事物中那些 感性的东西。对于数学而言，线、角、或者其他的量的感性的东西。对于数学而言，线、角、或者其他的量的
14、定义，不是作为存在而是作为关系。定义，不是作为存在而是作为关系。抽象分两个层次：抽象分两个层次：直观描述，符号表达。直观描述，符号表达。数量数量的第一步抽象：具有物理背景、采用对应的方法的第一步抽象：具有物理背景、采用对应的方法 数量数量 数。数。 2 2匹马、匹马、2 2头牛头牛 2 2。 数量的本质多与少数量的本质多与少 数的本质大与小数的本质大与小 2 2 3 3 如何讲加法：如何讲加法：，所以，所以 3 + 1 = 4 3 + 1 = 4 ？ 哪边的小方块多？哪边的小方块多？ 哪边的小方块多？哪边的小方块多？ 3 + 1 = 43 + 1 = 4 这里的这里的等号是指两边的量相等。方程
15、的意义：两个故事。等号是指两边的量相等。方程的意义：两个故事。自然数集合自然数集合（减法：加法的逆运算）（减法：加法的逆运算）整数集合整数集合（除法：乘法的逆运算）（除法：乘法的逆运算）有理数集合有理数集合 分数（分数（部分与整体部分与整体；线段长度之比）；线段长度之比）无理数集合无理数集合 不能写成分数形式的数不能写成分数形式的数 实数集合实数集合 有理数有理数 + + 无理数无理数 需要解释实数的连续性、需要无理数的运算需要解释实数的连续性、需要无理数的运算 2 2 + + 3 = 3 = ？ 2 2 3 = 3 = ？18 18 世纪才形成现在的小数表达形式。世纪才形成现在的小数表达形式
16、。 自然数集合自然数集合（减法：加法的逆运算）（减法：加法的逆运算）整数集合整数集合（除法：乘法的逆运算）（除法：乘法的逆运算）有理数集合有理数集合 分数（分数（部分与整体部分与整体；线段长度之比）；线段长度之比）无理数集合无理数集合 不能写成分数形式的数不能写成分数形式的数 实数集合实数集合 有理数有理数 + + 无理数无理数 需要解释实数的连续性、需要无理数的运算需要解释实数的连续性、需要无理数的运算 2 2 + +3 = 3 = ？ 2 2 3 = 3 = ？18 18 世纪才形成现在的小数表达形式。世纪才形成现在的小数表达形式。 数量数量的第二次抽象：没有现实背景，采用符号的方法的第二
17、次抽象：没有现实背景，采用符号的方法极限运算：柯西极限运算：柯西( (18211821年年) ) 从柯西开始，现代数学走向了符号化、形式化、公理化从柯西开始，现代数学走向了符号化、形式化、公理化18721872年，年，康托用数列极限、戴德金用分割重新定义了实数。康托用数列极限、戴德金用分割重新定义了实数。18891889年，年，皮亚诺重新定义了自然数皮亚诺重新定义了自然数 用用后续数的方法：从后续数的方法：从 1 1 开始，后续为开始，后续为2=1+12=1+1；加法：；加法：1+1=21+1=2 算术公理化系统：九个公理。算术公理化系统：九个公理。为证明为证明 4343，需要两个公理。，需要
18、两个公理。 第第7 7公理：公理：a = b a = b 则则a+1 = b+1a+1 = b+1。 第第8 8公理：公理：a+11a+11。 如果如果 4=34=3 3=23=2 2 2=1=1，与公理，与公理8 8矛盾。矛盾。 图形图形的第一次抽象：具有物理背景、采用白描的方法。的第一次抽象：具有物理背景、采用白描的方法。 概念：概念：点是没有部分的。线只有长度没有宽度。点是没有部分的。线只有长度没有宽度。 面只有长度和宽度。面只有长度和宽度。 问题：问题：两条直线交于一点？平行线：两条永远不相交的直线。两条直线交于一点？平行线：两条永远不相交的直线。 有且只有有且只有一条一条平行线？平行
19、线？ 图形图形的第二次抽象：没有现实背景，采用符号的方法。的第二次抽象：没有现实背景，采用符号的方法。 希尔伯特：桌子、椅子、啤酒杯希尔伯特：桌子、椅子、啤酒杯 概念：概念：有三组不同的对象：第一组对象叫做点，用有三组不同的对象：第一组对象叫做点，用A A，B B，C C 表示；第二组对象叫做直线，用表示；第二组对象叫做直线，用a a，b b，c c表示；第三表示；第三 组对象叫做平面，用组对象叫做平面，用，表示。表示。 图形图形的第一次抽象：具有物理背景、采用白描的方法。的第一次抽象：具有物理背景、采用白描的方法。 概念：概念：点是没有部分的。线只有长度没有宽度。点是没有部分的。线只有长度没
20、有宽度。 面只有长度和宽度。面只有长度和宽度。 问题：问题：两条直线交于一点？平行线：两条永远不相交的直线。两条直线交于一点？平行线：两条永远不相交的直线。 有且只有有且只有一条一条平行线？平行线？ 图形图形的第二次抽象：没有现实背景，采用符号的方法。的第二次抽象：没有现实背景，采用符号的方法。 希尔伯特：桌子、椅子、啤酒杯希尔伯特：桌子、椅子、啤酒杯 概念：概念：有三组不同的对象：第一组对象叫做点，用有三组不同的对象：第一组对象叫做点，用A A，B B，C C 表示；第二组对象叫做直线，用表示；第二组对象叫做直线，用a a，b b，c c表示；第三表示；第三 组对象叫做平面，用组对象叫做平面
21、，用，表示。表示。 第一次抽象的功能：发现新的知识、建立概念；第一次抽象的功能：发现新的知识、建立概念；第二次抽象的功能：表达新的知识、建立符号。第二次抽象的功能：表达新的知识、建立符号。现代数学的论述是基于第二次抽象的，基础教育阶段的教学：现代数学的论述是基于第二次抽象的，基础教育阶段的教学： 科学形态的知识科学形态的知识 教育形态的知识教育形态的知识 还原知识的背景还原知识的背景 追忆知识的产生追忆知识的产生 感悟知识的逻辑感悟知识的逻辑是教学改革的一个难点，也是为广大教师提供了一个舞台。是教学改革的一个难点，也是为广大教师提供了一个舞台。推理推理三种思维形式：三种思维形式：形象思维、逻辑
22、思维、辨证思维形象思维、逻辑思维、辨证思维 自然科学：自然科学：逻辑思维逻辑思维 + + 形象思维（联想、想象）形象思维（联想、想象） 社会科学：社会科学：辩证思维辩证思维 + + 逻辑思维逻辑思维 人文学科：人文学科：形象思维形象思维 + + 逻辑思维逻辑思维推理：推理：一个命题到另一个命题的思维过程。一个命题到另一个命题的思维过程。命题：命题：可以进行是否判断的话语（正命题、否命题）可以进行是否判断的话语（正命题、否命题） 判断判断 + 命题：命题：正正、正否、否正、否否正正、正否、否正、否否逻辑推理：逻辑推理：命题之间具有传递性。命题之间具有传递性。 凡人都有死，苏格拉底是人，所以苏格拉
23、底有死。凡人都有死，苏格拉底是人，所以苏格拉底有死。否则是非逻辑推理否则是非逻辑推理 苹果是酸的，酸是一种味道。所以苹果是一种味道。苹果是酸的，酸是一种味道。所以苹果是一种味道。逻辑推理：逻辑推理：演绎推理演绎推理 + + 归纳推理归纳推理演绎推理：演绎推理：命题范围由大到小，结果是必然的。命题范围由大到小，结果是必然的。 功能：功能：验证结论。定义、假设、三段论等、结论。验证结论。定义、假设、三段论等、结论。归纳推理：归纳推理：命题范围由小到大，结果是或然的。命题范围由小到大，结果是或然的。 功能：功能：发现结论。经验过的推断未曾经验的。发现结论。经验过的推断未曾经验的。演绎推理需要前提：公
24、理或者假设。演绎推理需要前提：公理或者假设。小学数学演绎推理的前提小学数学演绎推理的前提命题命题1 1 等式（不等式）关系具有传递性。等式（不等式）关系具有传递性。 a = b (a a = b (a b b），），b = c b = c (a (a b b） a = c (a a = c (a c c）命题命题2 2 等式（不等式）两边加减相同的量，等式（不等式）不变。等式（不等式）两边加减相同的量，等式（不等式）不变。 a = b (a a = b (a b b） a + c = b + c (a + c a + c = b + c (a + c b + c b + c） a - c =
25、b - c (a - c a - c = b - c (a - c b - c b - c）加上一个正数比原来的数大。加上一个正数比原来的数大。 对于任意的数对于任意的数 a a 和正数和正数 b b，必然有，必然有 a + b a + b a a。 证明：证明：因为因为 b b 为正数，所以为正数，所以 b b 0 0 不等式两边分别加上不等式两边分别加上 a a，由命题，由命题 2 2 可以得到可以得到 a + b a + b a a 所以结论成立。所以结论成立。利用类似的方法可以证明对称命题：利用类似的方法可以证明对称命题：加上一个负数比原来的数小。加上一个负数比原来的数小。减去一个正数
26、等于加上这个正数的相反数。减去一个正数等于加上这个正数的相反数。 减去一个正数比原来的数小。减去一个正数比原来的数小。用数学符号表示这个命题：用数学符号表示这个命题： a - b = a + (-b) a - b = a + (-b)其中其中b b 0 0。因为。因为“减法是加法逆运算减法是加法逆运算”： a - b = x a = b + x a - b = x a = b + x由命题由命题2 2，在右边等式的两边分别加上（，在右边等式的两边分别加上（-b-b）等式不变：）等式不变： a + (-b) = b + (-b) + x a + (-b) = b + (-b) + x。根据相反数
27、的定义：根据相反数的定义：a + (-b) = xa + (-b) = x。由命题。由命题 1 1： a - b = x = a + (-b) a - b = x = a + (-b) 减去一个负数等于加上这个负数的相反数。减去一个负数等于加上这个负数的相反数。 减去一个负数等于加上一个正数。减去一个负数等于加上一个正数。 减去一个负数比原来的数大。减去一个负数比原来的数大。用数学符号表示这个命题用数学符号表示这个命题 a - (-b) = a + b a - (-b) = a + b令令 x = a + bx = a + b。等式分别两边加上。等式分别两边加上b b的相反数（的相反数（-b-
28、b），由命题），由命题2 2 x + (-b) = a + b + (-b) = a x + (-b) = a + b + (-b) = a上面等式的两边同时减去上面等式的两边同时减去(-b)(-b)，再由命题，再由命题2 2： x + (-b) (-b) = a (-b) x + (-b) (-b) = a (-b)因为同样的数相减为因为同样的数相减为 0 0：x = a (-b)x = a (-b)。由命题。由命题1 1： a - (-b) = a + b a - (-b) = a + b 我们的教育重视的演绎推理我们的教育重视的演绎推理 演绎推理的功能主要是验证结论，而不是发现结论。演绎
29、推理的功能主要是验证结论，而不是发现结论。因为论证逻辑是：因为论证逻辑是：大命题到小命题大命题到小命题 论证形式是：论证形式是：已知已知 A A 求证求证 B B A A 和和 B B 都是确定的命题。都是确定的命题。还缺少什么？还缺少什么？ 根据情况根据情况“预测结果预测结果”的能力；的能力； 根据结果根据结果“探究成因探究成因”的能力。的能力。 归纳推理归纳推理归纳推理就是：从小范围满足的结果推断大范围也满足归纳推理就是：从小范围满足的结果推断大范围也满足用字母表示数：用字母表示数： 媒体里有一个会计算的黑匣子，猜一猜是如何计算的。媒体里有一个会计算的黑匣子，猜一猜是如何计算的。 让学生说
30、出一个数，比如让学生说出一个数，比如 4 4。教师在媒体上输入，在黑匣子。教师在媒体上输入，在黑匣子的另一端输出的另一端输出 8 8。 重复这个过程：输入重复这个过程：输入 6 6 输出输出 1212；输入；输入 7 7 输出输出 1414。 启发学生：是怎么计算的？启发学生：是怎么计算的？ 归纳学生的想法，写出算式归纳学生的想法，写出算式 输入数输入数 2 = 2 = 输出数输出数 启发学生：如果用字母启发学生：如果用字母a a表示输入的数会怎样呢？表示输入的数会怎样呢？ a - 2aa - 2a 总结：总结：a a 可以表示任何数。可以表示任何数。探索规律：只有偶数的平方才能为偶数。只有偶
31、数的平方才能为偶数。 研究对象符号化：偶数研究对象符号化：偶数 2a2a；奇数；奇数 2a+12a+1 研究目标包含两个结论：研究目标包含两个结论：提出问题提出问题 1.1.偶数的平方为偶数（有）；偶数的平方为偶数（有）；问：偶数问：偶数偶数偶数 = = ？ 2.2.奇数的平方为奇数（只有）；奇数的平方为奇数（只有）；问：奇数问：奇数奇数奇数 = = ？ 研究方法用归纳的方法：研究方法用归纳的方法： 对应对应1 1：2 22 = 42 = 4，4 44 = 84 = 8，121212 = 14412 = 144 对应对应2 2：3 33 = 93 = 9，5 55 = 255 = 25，111
32、111 = 12111 = 121 猜想一般结论猜想一般结论 2a 2a 2a = 2a = 偶数偶数 (2a + 1)(2a + 1)(2a + 1) = (2a + 1) = 奇数奇数空间想象（类比）空间想象（类比） 一个点能够把直线分为两个部分。如何表达？一个点能够把直线分为两个部分。如何表达？ 一条直线能够把平面分为两个部分？两条直线呢？一条直线能够把平面分为两个部分？两条直线呢？ 一个平面能够把空间分为几个部分。一个平面能够把空间分为几个部分。 两个平面呢？三个平面呢？两个平面呢？三个平面呢？通过归纳推理得到结论，通过演绎推理证明结论。通过归纳推理得到结论，通过演绎推理证明结论。因为
33、归纳推理和演绎推理都是是逻辑推理，因此数学的结论具有因为归纳推理和演绎推理都是是逻辑推理，因此数学的结论具有一般性和严谨性，进而具有应用的广泛性。一般性和严谨性，进而具有应用的广泛性。模型：用数学的方法刻画现实世界的故事。模型：用数学的方法刻画现实世界的故事。总量模型。总量模型。刻画总量与几个部分量之间的关系，其中部分量的地刻画总量与几个部分量之间的关系，其中部分量的地位平等，是并列关系，因此用加法。从数学计算考虑，可以称位平等，是并列关系，因此用加法。从数学计算考虑，可以称加法模型，表示为：加法模型，表示为： 总量总量 = = 部分量部分量 + + 部分量。部分量。 可以把加法运算变为减法运
34、算：可以把加法运算变为减法运算： 部分量部分量 = = 总量总量 - - 部分量。部分量。 图书室各中类型书的总和是多少？图书室各中类型书的总和是多少？ 在商店中买几样商品的总花费是多少？在商店中买几样商品的总花费是多少？ 路程模型。路程模型。讲述的是距离、速度、时间之间的关系。假设速度是讲述的是距离、速度、时间之间的关系。假设速度是均匀的（或者平均速度），可以得到模型的形式：均匀的（或者平均速度），可以得到模型的形式： 距离距离 = = 速度速度 时间。时间。 可以适用于一类现实中的问题：可以适用于一类现实中的问题： 总价总价 = = 单价单价 数量数量 总数总数 = = 行数行数 列数。列
35、数。 可以把乘法变为除法：可以把乘法变为除法： 时间时间 = = 距离距离 / / 速度。速度。 故事：甲比乙晚出发多长时间；甲在行程中途改变速度。故事：甲比乙晚出发多长时间；甲在行程中途改变速度。 “双基双基” “四基四基”基础知识、基本技能基础知识、基本技能 + + 基本思想、基本活动经验基本思想、基本活动经验“两能两能” “四能四能”分析问题、解决问题分析问题、解决问题 + + 发现问题、提出问题发现问题、提出问题 如果在我国的中小学数学教育中，如果在我国的中小学数学教育中， 一方面保持一方面保持“数学双基教学数学双基教学”合理的内核，一方面添加合理的内核，一方面添加“基本思基本思想想”
36、和和“基本活动经验基本活动经验”，出现既有，出现既有“演绎能力演绎能力”又有又有“归纳能归纳能力力”的培养模式。的培养模式。 就必将会出现就必将会出现“外国没有的我们有、外国有的我们也有外国没有的我们有、外国有的我们也有”的局面，的局面，那一天，我们就能自豪地说，我国的基础教育领先于世界。那一天，我们就能自豪地说，我国的基础教育领先于世界。 谢谢各位！谢谢各位！韩愈韩愈师说师说：师者，所以传道、受业、解惑也师者，所以传道、受业、解惑也知识的教育：知识的教育：结果的教育，知识是结果，是思考或者经验的结果结果的教育，知识是结果，是思考或者经验的结果智慧的教育：智慧的教育：过程的教育，因为智慧表现在
37、过程之中过程的教育，因为智慧表现在过程之中 “关于教育的哲学关于教育的哲学”，教育研究教育研究19981998年第年第1010期期凸显人之所以成为人的那些东西：凸显人之所以成为人的那些东西：想象能力、抽象能力、计算机想象能力、抽象能力、计算机 “试论教育的本原试论教育的本原”，教育研究教育研究20082008年第年第8 8期期教育一词的由来：教育一词的由来：中国源于中国源于孟子孟子尽心上尽心上：得天下英才而教育之，三乐也。得天下英才而教育之，三乐也。西方源于拉丁语西方源于拉丁语 educare ：把什么东西引往高出把什么东西引往高出 引出、引导引出、引导 北极出地与北纬度数相等：北极出地与北纬
38、度数相等：a=aa=a。Aaab赤道ONN 图图 北极出地与纬度之间的关系北极出地与纬度之间的关系假设前提：从无穷远点假设前提：从无穷远点N N出发，可以在地球上得到两条平行直线出发，可以在地球上得到两条平行直线 NO NO 和和 NA NA 可以得到无数条平行线（罗巴切夫斯基几何）。可以得到无数条平行线（罗巴切夫斯基几何）。 球面上的距离球面上的距离 北京和纽约都在北纬北京和纽约都在北纬4040度度 沿纬度：沿纬度：1431114311公里公里 沿大圆：沿大圆：1100511005公里公里 缩短：缩短：33063306公里公里最短线为直线：大圆最短线为直线：大圆所有直线相交：没有平行线（黎曼
39、几何）所有直线相交：没有平行线（黎曼几何） 混合运算法则：先算括号、先乘除后加减？混合运算法则：先算括号、先乘除后加减？ （2 + 32 + 3） 6 = 5 6 = 5 6 = 306 = 30 2 + 3 2 + 3 6 = 2 + 18 = 206 = 2 + 18 = 20现实问题现实问题（两个以上的故事）（两个以上的故事） 上：上： 操场上来了一队同学，一排操场上来了一队同学，一排 2 2 名男生名男生 3 3 名女生，名女生， 共共 6 6 排，问来了多少同学？排，问来了多少同学？ 下：下： 操场原来有操场原来有 2 2 名同学，又来了一队同学，一排名同学，又来了一队同学，一排 3
40、 3 名同学共名同学共 6 6 排，问操场上现有多少同学？排，问操场上现有多少同学？ 上：上： 总人数总人数 = = 每排同学数每排同学数 排数排数 下：下： 总人数总人数 = = 原有人数原有人数 + + 后来人数后来人数先除后减的例子先除后减的例子 小明买了半斤李子。李子小明买了半斤李子。李子 4 4 元钱元钱 1 1 斤，小明交了斤，小明交了 5 5 元钱，元钱，应当找回多少钱？应当找回多少钱？ 小明买李子的钱数是小明买李子的钱数是 4 4 2 = 2 2 = 2（元），找给小明的钱数应（元），找给小明的钱数应当是小明所交钱数减去小明买李子的钱：当是小明所交钱数减去小明买李子的钱： 找钱
41、找钱 = = 交钱交钱 - - 李子钱李子钱 = 5 - 4 = 5 - 4 2 2 = 5 2 = 3 = 5 2 = 3（元）（元）半圆的周长是多少？半圆的周长是多少？ 设圆的半径为设圆的半径为r r。 半圆周长半圆周长 = = 半圆弧半圆弧 + + 直径直径 = = r + 2r r + 2r = = （2 + 2 + ）r r 整体与等分关系：关键是对整体的等分。整体与等分关系：关键是对整体的等分。 把一个月饼等分为把一个月饼等分为5 5份：一份是份：一份是1/51/5，两份是，两份是2/52/5。 1/5 1/5 是分数单位，是分数单位，2/52/5表示的是两个分数单位：表示的是两个分数单位： 2/5 = 2 2/5 = 21/5 = 1/5 + 1/51/5 = 1/5 + 1/5 每份再二等分，新单位是原来整体的每份再二等分，新单位是原来整体的1/101/10： 1/5 1/51/2 = 1/101/2 = 1/10 原来单位与新单位的关系是：原来单位与新单位的关系是：1/5 = 2/101/5 = 2/10； 原来单位的两份等于新单位的四份：原来单位的两份等于新单位的四份： 2/5 = 2 2/5 = 21/5 = 21/5 = 22/10 = 4/102/10 = 4/10。
