1、灰色系统理论与应用内容提纲n一、灰色理论概述一、灰色理论概述n二、灰色关联分析二、灰色关联分析n三、优势分析三、优势分析n四、生成数四、生成数n五、五、GM模型模型n六、灰色预测六、灰色预测一、灰色理论概述一、灰色理论概述1 1、灰色系统理论的产生和发展动态、灰色系统理论的产生和发展动态n1982我国学者邓聚龙教授发表第一篇中文论文灰色控制系统标志着灰色系统这一学科诞生。n1985灰色系统研究会成立，灰色系统相关研究迅速发展。n1989海洋出版社出版英文版灰色系统论文集，同年，英文版国际刊物灰色系统杂志正式创刊。n目前，国际、国内200多种期刊发表灰色系统论文，许多国际会议把灰色系统列为讨论专
2、题。国际著名检索已检索我国学者的灰色系统论著500多次。灰色系统理论应用范围已拓展到工业、农业、社会、经济、能源、地质、石油等众多科学领域，成功地解决了生产、生活和科学研究中的大量实际问题，取得了显著成果。 1、灰色系统理论的产生和发展动态、灰色系统理论的产生和发展动态 系统是客观世界普遍存在的一种物质运动形式系统是客观世界普遍存在的一种物质运动形式，通过事物之间的相互制约、相互联系而构成一个整体通过事物之间的相互制约、相互联系而构成一个整体. .2 2、灰色系统的基本概念、灰色系统的基本概念 系统系统分为白色系统、灰色系统、黑色系统三类分为白色系统、灰色系统、黑色系统三类. . 白色系统是指
3、一个系统的内部特征是完全 已知的，即系统的信息是完全充分的。2 2、灰色系统的基本概念、灰色系统的基本概念 黑色系统是指一个系统的内部信息对外界 来说是一无所知的，只能通过它与外界的 联系来加以观测研究。 灰色系统是指灰色系统是指“部分信息已知部分信息已知, ,部分信息未知部分信息未知”的的“小样本小样本”,“”,“贫信息贫信息”的不确定性系统的不确定性系统, ,它通过对它通过对“部分部分”已知信息的生成、开发去了解、认识现实世已知信息的生成、开发去了解、认识现实世界，实现对系统运行行为和演化规律的正确把握和描界，实现对系统运行行为和演化规律的正确把握和描述述. . 灰色系统模型的灰色系统模型
4、的特点：特点：对试验观测数据及其分布对试验观测数据及其分布没有特殊的要求和限制，没有特殊的要求和限制，将随机量看作是在一定范围将随机量看作是在一定范围内变化的灰色量，按适当的办法将原始数据进行处理，内变化的灰色量，按适当的办法将原始数据进行处理，将灰色数变换成生成数，从生成数进而得到规律性较将灰色数变换成生成数，从生成数进而得到规律性较强的生成函数。强的生成函数。2 2、灰色系统的基本概念、灰色系统的基本概念区分白色系统于灰色系统的重要标志是系统内各元素之间是否具有确定的关系2 2、灰色系统的基本概念、灰色系统的基本概念运动学中物体运动的速度，加速度与其所受到的外力有关，其关系可用牛顿定律以明
5、确的定量来阐明，因此。物体的运动便是一个白色系统。2 2、灰色系统的基本概念、灰色系统的基本概念作为实际系统，灰色系统在世界中是大量存在的，绝对的白色或黑色系统是很少的，尤其在社会经济领域，如粮食作物的生产等。3 3、灰色系统理论的主要内容、灰色系统理论的主要内容n灰色系统理论经过20多年的发展，已基本建立起了一门新兴学科的结构体系，其主要内容包括以“灰色朦胧集”为基础的理论体系、以晦涩关联空间为依托的分析体系、以晦涩序列生成为基础的方法体系，以灰色模型（G，M）为核心的模型体系。以系统分析、评估、建模、预测、决策、控制、优化为主体的技术体系。3 3、灰色系统的应用范畴、灰色系统的应用范畴灰色
6、系统的应用范畴大致分为以下几方面：n（1）灰色关联分析。n（2）灰色预测：人口预测；初霜预测；灾变预测.等等。n（3）灰色决策。n（4）灰色预测控制。灰色系统理论是人们认识客观系统改造客观系统的一个新型的理论工具。3 3、灰色系统的应用范畴、灰色系统的应用范畴与灰色系统类似的方法主要有：n统计分析（相关分析、回归分析、方差分析、主成份分析等）n模糊数学方法n微分方程建模方法 模糊数学着重研究“认识不确定”问题，其研究对象具有“内涵明确，外延不明确”的特点。比如“年轻人”内涵明确，但要你划定一个确定的范围，在这个范围内是年轻人，范围外不是年轻人，则很难办到了。 概率统计研究的是“随机不确定”现象
7、，考察具有多种可能发生的结果之“随机不确定”现象中每一种结果发生的可能性大小。要求大样本，并服从某种典型分布。 灰色系统理论着重研究概率统计，模糊数学难以解决的“小样本，贫信息”不确定性问题，着重研究 “外延明确，内涵不明确”的对象。如到2050年，中国要将总人口控制在15亿到16亿之间，这“15亿到16亿之间“是一个灰概念，其外延很清楚，但要知道具体数值，则不清楚。项目灰色系统概率统计模糊数学研究对象贫信息不确定 随机不确定认知不确定基础集合灰色朦胧集 康托集模糊集方法依据信息覆盖 映射映射 途径手段灰序列算子 频率统计截集数据要求任意分布 典型分布隶属度可知侧重点内涵 内涵 外延目标现实规
8、律历史统计规律认知表达特色小样本 大样本凭经验三种不确定性系统研究方法的比较分析三种不确定性系统研究方法的比较分析4 4、灰色系统理论建模的主要任务、灰色系统理论建模的主要任务5 5、展望、展望目前来说，灰色系统理论已成功地应用于工程控制、经济管理、未来学研究、生态系统及复杂多变的农业系统中，并取得了可的成就。灰色系统可能对社会、经济等抽象系统进行分析、建模、预测、决策和控制，它有可能成为人们认识客观系统改造客观系统的一个新型的理论工具。二、关联分析1 1、关联分析的背景、关联分析的背景1 1、关联分析的背景、关联分析的背景1 1、关联分析的背景、关联分析的背景应用举例应用举例问题：对该地区总
9、收入影响较直接的是养猪业还是养问题：对该地区总收入影响较直接的是养猪业还是养兔业？兔业？应用举例应用举例2 2、关联系数的定义、关联系数的定义在此之前可能需要对数据进行变换和处理，其消除量纲并具有可比性。2 2、关联度的定义、关联度的定义5 . 0一般取应用举例应用举例某健将级女子铅球运动员的最好成绩和身体素质的时间序列资料，对专项成绩进行因素分析.应用举例应用举例Step 1. 选取参照数列 选取铅球运动员专项成绩作为参照数列Step 2. 将各个数量按照其对参照数列的意义初始化Step 3. 将初始化后的数列代入(8-1)和(8-2)，即先求出关联系数，然后在关联系数的基础上求出关联度。应
10、用举例应用举例Step 4. 对关联度依据大小排序，给出分析结果。应用举例应用举例 例：利用灰色关联分析对6位教师工作状况进行综合评价n1评价指标包括：专业素质、外语水平、教学工作量、科研成果、论文、著作与出勤n2对原始数据经处理后得到以下数值，见下表 编号编号专业专业外语外语教学教学量量科研科研论文论文著作著作出勤出勤189875292787573839796647468884365866983868957648n3确定参考数据列：n 4计算 ， 见下表0 9,9,9,9,8,9,9x)()(0kxkxi编号编号专业专业外语外语教学教学量量科研科研论文论文著作著作出勤出勤1101237022
11、12416130203252431114635133006161042251n5求最值n6 取计算，得 011minmin( )( )min(0,1,0,1,0,0)0nmiikx kx k011maxmax( )( )max(7,6,5,6,6,5)7nmiikx kx k111111100.5 700.5 7(1)0.778(2)1.0001 0.5 700.5 7(3)0.778(4)0.636(5)0.467(6)0.333(7)， ，1.000，0.5n同理得出其它各值，见下表编号10.7781.0000.7780.6360.4670.3331.00020.636 0.778 0.6
12、36 0.467 0.636 0.368 0.778 31.000 0.636 1.000 0.538 0.538 0.412 0.636 40.538 0.778 0.778 0.778 0.412 0.368 0.538 50.778 0.538 0.538 1.000 0.778 0.368 0.778 60.778 1.000 0.467 0.636 0.538 0.412 0.778 (1)i(2)i(3)i(4)i(5)i(6)i(7)in7分别计算每个人各指标关联系数的均值（关联序）： n8如果不考虑各指标权重（认为各指标同等重要），六个被评价对象由好到劣依次为1号，5号，3号，
13、6号，2号，4号n即 713. 07000. 1333. 0467. 0636. 0778. 0000. 1778. 001r02030405060.6140.6800.5990.6830.658rrrrr，010503060204rrrrrr存在的问题及解决方法存在的问题及解决方法应用举例应用举例三、优势分析为什么要进行优势分析？有时，参考列不止一个，被比较的因素也不止一个，这时，就需要进行优势分析。举例：某关联矩阵R潜在优势子因素，当关联矩阵的“对角线”以下全都是零元素，则称第 1 个母因素为潜在优势母因素次潜在优势子因素；潜在优势母因素等示例：1234565,:ijYXXXXXX某 地
14、区 有 个 母 因 素， 个 子 因 素如 下 ：固 定 资 产 投 资 ；工 业 投 资 ；农 业 投 资 ；科 技 投 资 ；交 通 投 资 。123456:YYYYYY国民收入；工业收入农业收入；商业收入；交通收入；建筑业收入行四、生成数累加生成的意义：累加生成的意义：应用举例图 8-2图 8-3存在的问题解决的方法图 8-7没有累加生成时的误差为21.26%4、加权邻值生成、加权邻值生成设原始数列为称 为数列 的邻值。 为后邻值， 为前邻值，对于常数 ，令 由此得到的数列 称为数列 在权 下的邻值生成数，权 也称为生成系数。 特别地，当生成系数 时，则称为均值生成数，也称等权邻值生成数
15、。 )(,),2(),1 ()0()0()0()0(nxxxx)(),1()0()0(kxkx)0(x) 1()0(kx)()0(kx 1 , 0, 3 , 2),1()1 ()()() 0() 0() 0(nkkxkxkz)0(z)0(x5 . 0, 3 , 2),1(5 . 0)(5 . 0)()0()0()0(nkkxkxkz五、GM 模型 灰色系统理论是基于关联空间、光滑离散函数等概念定义灰导数与灰微分方程，进而用离散数据列建立微分方程形式的动态模型，即灰色模型是利用离散随机数经过生成变为随机性被显著削弱而且较有规律的生成数，建立起的微分方程形式的模型，这样便于对其变化过程进行研究和描
16、述。vG表示grey（灰色），M表示model（模型）1、灰色模型、灰色模型(1,1)n设 为原始数列，其1次累加生成数列为 ，其中n定义 的灰导数为令 为数列 的邻值生成数列，即于是定义GM（1，1）的灰微分方程模型为)(,),2(),1 ()0()0()0()0(nxxxx)(,),2(),1 ()1()1()1()1(nxxxx, 2 , 1, )()(1)0()1(nkixkxki)1(x).1()()()()1()1()0(kxkxkxkd)1(z)1(x),1()1 ()()()1()1()1(kxkxkz,)()()1(bkazkd即或 （1）在式（1）中， 称为灰导数，a称为发
17、展系数， 称为白化背景值，b称为灰作用量。将时刻表 代入（1）式有引入矩阵向量记号： ,)()()1()0(bkazkx)()0(kx)() 1 (kznk, 3 , 2,)()(,)3()3(,)2()2()1()0()1()0()1()0(bnaznxbazxbazx)() 3()2()0()0()0(nxxxYbau1)(1)3(1)2()1()1()1(nzzzB于是GM（1，1）模型可表示为现在问题归结为求a,b在值。用一元线性回归，即最小二乘法求它们的估计值为注：实际上回归分析中求估计值是用软件计算的，有标准程序求解，如matlab等。GM（1，1）的白化型）的白化型对于GM（1，
18、1）的灰微分方程（1），如果将灰导数 的时刻 视为连续变量t，则 视为时间t函数 ，于是 对应于导数量级 ，白化背景值 对应于导数 。于是GM（1，1）的灰微分方程对应于的白微分方程为 （2）. uYB.)(1YBBBbauTT)()0(kxnk, 3 , 2 )1(x)()1(tx)()0(kxdttdx)()1()()1(kz)()1(tx,)()()1()1(btaxdttdx1.数据的检验与处理为了保证GM（1，1）建模方法的可行性，需要对已知数据做必要的检验处理。 设原始数据列为了 ，计算数列的级比如果所有的级比都落在可容覆盖区间 内，则数据列 可以建立GM（1，1）模型且可以进行灰
19、色预测。否则，对数据做适当的变换处理，如平移变换：取C使得数据列的级比都落在可容覆盖内。GM（1，1）灰色预测的步骤)(,),2 (),1 () 0 () 0 () 0 () 0 (nxxxx.,3 ,2,)()1()()0()0(nkkxkxk),(1212nneeX)0(x, 2 , 1,)()()0()0(nkckxky2. 建立GM（1，1）模型 不妨设 满足上面的要求，以它为数据列建立GM（1，1）模型用回归分析求得a,b的估计值，于是相应的白化模型为 解为 （3）于是得到预测值从而相应地得到预测值：)(,),2(),1 ()0()0()0()0(nxxxx,)()()1()0(bk
20、azkx,)()()1()1(btaxdttdx.) 1 ()()1()0()1(abeabxtxta, 1, 2 , 1,) 1 () 1()0()1(nkabeabxkxak, 1, 2 , 1),() 1() 1()1()1()0(nkkxkxkx3. 检验预测值（1）残差检验：计算相对残差如果对所有的 ，则认为达到较高的要求：否则，若对所有的 ，则认为达到一般要求。（2）级比偏差值检验：计算如果对所有的 ，则认为达到较高的要求；否则若对所有的 ，则认为达到一般要求。, 2 , 1,)()()()()0()0()0(nkkxkxkxk1 . 0| )(|k2 . 0| )(|k),(5
21、. 015 . 011)(kaak1 . 0| )(|k2 . 0| )(|kn例 北方某城市19861992 年道路交通噪声平均声级数据见表(0)(0)(0)(0)(1),(2),(7)xxxx（灰色预测计算实例1 1986 71.12 1987 72.43 1988 72.44 1989 72.1 5 1990 71.4 6 1991 72.07 1992 71.6第一步: 级比检验建立交通噪声平均声级数据时间序列如下：=(71.1, 72.4, 72.4, 72.1, 71.4, 72.0, 71.6)序号 年份 Leq n（1）求级比 (k)n ( (2), (3), (7)(0)(0
22、)(1)( )xkkxk（=(0.982,1,1.0042,1.0098, 0.9917,1.0056)（2）级比判断由于所有的 (k)0.982,1.0098，k = 2,3,7，故可以用x(0)作满意的GM（1，1）建模。第二步: GM（1，1）建模（1）对原始数据 作一次累加，即 = (71.1,143.5,215.9,288,359.4,431.4,503）（2）构造数据矩阵B 及数据向量Y(0)x(1)x10.0023( , )()72.6573TTTua bBBB Y(1)(1)0.002372.6573dxxdt(1 )(1 )( 0 )(1 )(1 )( 0 )( 0 )(1
23、)(1 )1(1 +2111(+,211(+2xxxxxxBYxxx（ ）（ 2 ） )（ 2 ）（ 2 ）（ 3 ） )（ 3 ）（ 7 ）（ 6 ）（ 7 ） )（3）计算 于是得到a = 0.0023，b = 72.6573。（4）建立模型n求解得(0)(1)(1)( )( )(1),xkxkxk( 1 )( 0 )( 0 )(1 )(1 ) =(1 ) = 7 1 .1 ,xxx(1)(0)0.0023(1)(1 -)=-3092931000akkbbxkxeeaa（）（5）求生成数列值 及模型还原值 ：令k = 1,2,3,4,5,6,由上面的时间响应函数可算得 ，其中取由 取k = 2,3,4,7，得 (71.1, 72.4, 72.2, 72.1, 71.9, 71.7, 71.6)(0)(0)(0)(0)(1)(2)(7) =xxxx（， ，）(1)(1)xk (0)(1)xk (1) xn第三步: 模型检验n模型的各种检验指标值的计算结果见表 7.n经验证，该模型的精度较高，可进行预测和预报。2、灰色模型、灰色模型(1,N)需要使得残差的平方和最小。（用最小二乘法）应用举例六、灰色预测应用举例小结：1.灰色系统理论的概述；2.关联度的概念以及关联分析；3.优势分析；4.生成数；5.GM模型:GM(1, 1)模型、GM(1, N)模型6.灰色预测
