1、=【 ;精品教育资 源文库 】 = 第 37 讲 直接证明与间接证明 解密考纲 对利用综合法、分析法、反证法证明数学命题常与数列、解析几何、立体几何、函数综合在一起进行考查 一、选择题 1用反证法证明命题：若 a b c 为偶数，则 “ 自然数 a， b， c 恰有一个偶数 ” 时正确反设为 ( D ) A自然数 a， b， c 都是奇数 B自然数 a， b， c 都是偶数 C自然数 a， b， c 中至少有两个偶数 D自然数 a， b， c 中都是奇数或至少有两个偶数 解析 由于 “ 自然数 a， b， c 中恰有一个偶数 ” 的否定是 “ 自然数 a， b， c 都是奇数或至少有两个偶数
2、” ，故选 D 2 分析法又称执果索因法，若用分析法证明： “ 设 abc，且 a b c 0，求证 b2 ac0 B a c0 C (a b)(a c)0 D (a b)(a c)Q B P Q C Pb B ab0 且 ab C ab0 且 ab 或 abb0，且 ab 1，若 0q B p0，则三个数 yx yz， zx zy， xz xy( C ) A都大于 2 B至少有一个大于 2 C至少有一个不小于 2 D至少有一个不大于 2 解析 因为 x 0， y 0， z 0，所以 ? ?yx yz ? ?zx zy ? ?xz xy ? ?yx xy ? ?yz zy ? ?xz zx6
3、，当且仅当 x y z 时等号成立，则三个数中至少有一个不小于 2，故选 C 二、填空题 7设 a 3 2 2， b 2 7，则 a， b 的大小关系为 _a b_. 解析 a 3 2 2， b 2 7两式的两边分别平方，可得 a2 11 4 6， b2 11 4 7，显然 6 7. a b. 8用反证法证明命题 “ 若实数 a， b， c， d 满足 a b c d 1， ac bd1，则 a， b，c， d 中至少有一个是非负数 ” 时，第一步要假设结论的否定成立，那么结论的否定是 _a，b， c， d 全是负数 _. 解析 “ 至少有一个 ” 的否定是 “ 一个也没有 ” ，故结论的否定
4、是 “ a， b， c， d 中没有一个是非负数，即 a， b， c， d 全是负数 ” 9设 a， b 是两个实数，给出 下列条件： a b1； a b 2； a b2； a2 b22； ab1. 其中能推出 “ a， b 中至少有一个大于 1” 的条件是 _ _(填序号 ) =【 ;精品教育资 源文库 】 = 解析 若 a 12， b 23，则 a b 1， 但 a 1， b 1，故 推不出； 若 a b 1，则 a b 2，故 推不出； 若 a 2， b 3，则 a2 b2 2，故 推不出； 若 a 2， b 3，则 ab 1，故 推不出； 对于 ，即 a b 2，则 a， b 中至少有
5、一个大于 1， 反证法：假设 a1 且 b1 ， 则 a b2 与 a b 2 矛盾， 因此假设不成立，故 a， b 中至少有一个大于 1，故 能推出 三、解答题 10 (2017 江苏徐州模拟 )如图， AB， CD 均为圆 O 的直径， CE 圆 O 所在的平面， BF CE，求证： (1)平面 BCEF 平面 ACE； (2)直线 DF 平面 ACE. 证明 (1)因为 CE 圆 O 所在的平面， BC?圆 O 所在的平面，所以 CE BC 因为 AB 为圆 O 的直径，点 C 在圆 O 上，所以 AC BC 因为 AC CE C， AC， CE?平面 ACE，所以 BC 平面 ACE.
6、 因为 BC?平面 BCEF，所以平面 BCEF 平面 ACE. (2)由 (1)知 AC BC，又因为 CD 为圆 O 的直径， 所以 BD BC 因为 AC， BC， BD 在同一平面内，所以 AC BD 因为 BD?平面 ACE， AC?平面 ACE，所以 BD 平面 ACE. 因为 BF CE，同理可证 BF 平面 ACE， 因为 BD BF B， BD， BF?平面 BDF， 所以平面 BDF 平面 ACE. 因为 DF?平面 BDF，所以 DF 平面 ACE. 11设 an是公比为 q 的等比数列 (1)推导 an的前 n 项和公式； (2)设 q1 ，证明数列 an 1不是等比数
7、列 =【 ;精品教育资 源文库 】 = 解析 (1)分两种情况 讨论 当 q 1 时，数列 an是首项为 a1的常数列，所以 Sn a1 a1 a1 ? a1 na1. 当 q1 时， Sn a1 a2 ? an 1 an? qSn qa1 qa2 ? qan 1 qan. 将上面两式相减得 (1 q)Sn a1 (a2 qa1) (a3 qa2) ? (an qan 1) qan a1qan?Sn a1 qan1 q a1 qn1 q . 综上， Sn a1 qan1 q a1 qn1 q ，综上， Sn ? na1， q 1，a1 qn1 q ， q1.(2)证明：设 an是公比 q1 的
8、等比数列，假设数列 an 1是等比数列，则 (a2 1)2 (a1 1)(a3 1)，即 (a1q 1)2 (a1 1)(a1q2 1)，整理得 a1(q 1)2 0 得 a1 0 或 q 1均与题设矛盾，故数列 an 1不是等比数列 12已知二次函数 f(x) ax2 bx c(a0)的图象与 x 轴有两个不同的交点若 f(c)0，且 00. (1)证明： x 1a是函数 f(x)的一个零点； (2)试比较 1a与 c 的大小 解析 (1)证明： f(x)的图象与 x 轴有两个不同的交点， f(x) 0 有两个不等实根 x1， x2. f(c) 0， x1 c 是 f(x) 0 的根又 x1x2 ca， x2 1a? ?1a c ， x 1a是 f(x) 0 的一个根 即 x 1a是函数 f(x)的一个零点 (2)假设 1a0，由 00， 知 f? ?1a 0，这与 f? ?1a 0 矛盾， 1a c. 又 1a c， 1ac.
