1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 38 讲 数学归纳法 解密考纲 在高考中，数学归纳法常在压轴题中使用，考查利用数学归纳法证明不等式 一、选择题 1用数学归纳法证明： “( n 1)( n 2)?( n n) 2n13?(2 n 1)” ，从 “ k 到 k 1” 左端需增乘的代数式为 ( B ) A 2k 1 B 2(2k 1) C 2k 1k 1 D 2k 3k 1 解析 当 n k 时，有 (k 1)( k 2)?( k k) 2k13?(2 k 1)，则当 n k 1 时，有 (k 2)(k 3)?(2 k 1)(2k 2)显然增乘的 k kk 1 2(2k 1) 2用数学归纳法证
2、明 “2 nn2 1 对于 n n0的正整数 n 都成立 ” 时，第一步证明中的起始值 n0应取 ( C ) A 2 B 3 C 5 D 6 解析 n 4 时， 24 42 1； n 5 时， 25 52 1，故 n0 5. 3已知 f(n) 12 22 32 ? (2n)2，则 f(k 1)与 f(k)的关系是 ( A ) A f(k 1) f(k) (2k 1)2 (2k 2)2 B f(k 1) f(k) (k 1)2 C f(k 1) f(k) (2k 2)2 D f(k 1) f(k) (2k 1)2 解析 f(k 1) 12 22 32 ? (2k)2 (2k 1)2 2(k 1)
3、2 f(k) (2k 1)2 (2k 2)2，故选 A 4 (2018 安徽黄山模拟 )已知 n 为正偶数，用数学归纳法证明 1 12 13 14 ? 1n2? ?1n 2 1n 4 ? 12n 时，若已假设 n k(k2 且 k 为偶数 )时命题为真，则还需要用归纳假设再证 ( B ) A n k 1 时等式成立 B n k 2 时等式成立 C n 2k 2 时等式成立 D n 2(k 2)时等式成立 解析 根据数学归纳法步骤可知，要证 n 为正偶数对原式成立，已知假设 n k(k2 且k 为偶然 )时，命题为真，则下一步需证下一个正偶数即 n k 2 时命题为真，故选 B 5设 f(x)是
4、定义在正整数集上的函数，且 f(x)满足： “ 当 f(k) k2成立时，总可推出 f(k 1) (k 1)2成立 ” 那么，下列命题总成立的是 ( D ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A若 f(1)1)时，第一步应验证的不等式是 _1 12 131 知， n 取第一个值 n0 2，当 n 2 时，不等式为 1 12 1323 1，由此猜想： an2 n 1. 下面用数学归纳法证明这个猜想： 当 n 1 时， a12 1 1 1，结论成立； 假设 n k(k1 且 k N*)时结论成立，即 ak2 k 1. 当 n k 1 时，由 g(x) (x 1)2 1 在区间 1， ) 上是增函数知 ak 1( ak 1)212 2k 1 2k 1 1， 即 n k 1 时，结论也成立 由 知，对任意 n N*，都有 an2 n 1. 即 1 an2 n， 11 an 12n， 11 a1 11 a2 11 a3 ? 11 an 12 122 123 ? 12n 1 ? ?12 n1.
