1、分数阶分数阶FourierFourier变换理论及应用变换理论及应用小组成员：杜光龙、程海全、刘学锋、郭军伟Fourier变换处理平稳信号全局谱为了分析和处理非平稳信号，人们提出了一系列新的信号分析理论： 分数阶Fourier变换、短时Fourier变换、Wigner分布、Gabor变换、小波变换等19291980 早期未被人们重视的研究。1980年，V.Namias 从特征值和特征函数的角度提出了 分数阶傅立叶变换的概念。定义为传统傅立叶变换的分数幂形式。1994年， L.B.Ameida将分数阶傅立叶变换解释为时频面上的坐标轴旋转。1( ) ( )( )2j tSF s ts t edt1
2、1( ) ( )( )2j ts tFSSedFourier变换的对称形式 Fourier变换的多次复合运算2()1 ( ) ( )( )21 =( )()2j tjtFs tF F s tSedSedst321 ( ) ( )()21 =( )()2j tjF s tF Fs tst edtsedS431 ( ) ( )()21 =( )( )2j tj tFs tF F s tSedSeds tFourier变换多次复合后有如下规律1 ( ) ( )( )F s tF s tS2 ( )()Fs tst3 ( )()F s tS4 ( )( )Fs ts t规定： 恒等算子 当n为非负整数
3、时有：0FI4nnFF0 ( )( )Fs ts t( )s t()st( )S()S “ 旋转”思想的引入 每次的Fourier变换都可看作是坐标轴的/2旋转， 在旋转的同时变化信号的表示形式。 当n为非负整数时 均有了定义。nF同理可引入“顺时针”旋转11 ( )( )( )2j tFSSeds t211 ( ) ( )( )()2j tFSFs ts t edtS321 ( ) ( ) ()()FSFs tFSst411 ( ) ()()( )2j tFSFstst edtS当n为负整数是 也有了定义。nF旋转具备如下性质：(1)零度旋转对应于信号自身：F0=I(2)逆时针旋转/2对应于
4、Fourier变换：F 顺时针旋转/2对应逆Fourier变换：F-1(3)旋转具有连续可加性: FmFn = Fm+n ( ) ( )( , ) ( )pppX uF x tuK t u x t dt)2211(cotcsccot )221cot,2( , )(),2(),(21)uuttjpjenK t ut unt un若若若2p其中：设p为任意实数，定义广义Fourier变换:其中22( )=1cot( )exp(cot)22sin( )2()(21)=2pX ujtutus tjjdtns uns unp其中：注意：当p=1时，即为傅立叶变换；P=0，即为函数本身核函数具有以下性质:
5、1.互换性2.p共轭对称性3.4.积分相加性（完备性）5.正交性),(),(tuKutKpp),(),(*utKutKpp),(),(utKutKpp),(),(),(utKdzuzKztKqpqp) () ,(),(*uudtutKutKppduutKuXtxpp),()()( ) ( )( , ) ( )pppX uF x tuK t u x t dt)分数阶傅立叶变换变换对下面给出几个常见信号的不同下面给出几个常见信号的不同p下的傅立叶变换仿真图下的傅立叶变换仿真图方波脉冲各分数阶下的傅立叶变换演示图0246810-2-1012-10123北 邮 现 代 信 号 处 理 第 六 章 演
6、示 图)()()()(2121tgFctfFctgctfcFpppqpqpFFF)()(1txFFtxFPP)()(11txFFtxFPP(1)线性性质这是一个非常有用的性质, 用它实现滤波具有更好的效果。(2)算子可加性特别)()()(40txtxFtxF)()()(51XtxFtxF)sincossin2exp()cos()(2ajuaajauXtxFpp)sincossin2exp()sin(e )(2jajuvaavjavuXtxFpvtp(3)恒等变换(4)标准Fourier变换(5)时移性质(6)频移性质22221cotcossin ( )exp(cot 1)()cot2cossi
7、npqjauFx ctjaX ucjaca2)tanarctan(2qac(7)尺度性质式中注：变量u的尺度改变，函数幅值改变，旋转角改变。 在传统的Fourier变换中，时间变量t的变化只是使其频谱的频率变量w的其的尺度和幅度发生相应的变化，而在FRFT中，时间变量t的变化不仅使FRFT的变量u发生尺度和幅度的变化，更重要的是旋转角度也发生变化。duuYuXdttytxpp)()()()(duuXdttxp22| )(| )(|(8)Parseval等式能量守恒特性：数值离散化是一个变换或算子能够被实际应用的前提对于时频表示f(t,w)引入尺度参数s，做线性变换x=t/s, v=ws其中s=
8、(t/w)1/2, t和w为函数f(t,w)的“支撑宽度”绝大部分能量在区间-t/2, t/2与-w/2, w/2内变换后的f(x,v)“支撑区间”长度都变成x=v= (tw) 这里N=tw为时间-带宽积(N1)算法步骤如下1.确定足够大的时间频率带宽x= (tw) ，对信号抽样2.线性调频信号乘法，其中的线性调频函数g1(x)的时间带宽积为f(x)的两倍，因而的采样间隔为1/(2x)；3.线性调频信号卷积；经过数学处理后，此式离散形式为其中4.线性调频信号乘法：显然，此时得到的fp(u)的采样值)()()2tan(12xfexgxjdxxgeAygxyj)()(1)(22)()(2)2tan
9、(2ygeufujpNNnxngxnmhAxmg)2()2()2(12xxvxjvjjdveeexh2421)()2(xmfp信号一：高斯信号信号二：线性调频信号241)(1tjetx2)4(2)(tetx时域信号功率谱P=0.7时二者可完全分开分数阶傅立叶域p=0.7时分数阶傅立叶变换滤波效果时域混叠信号P=0.7分数阶傅里叶域滤波信号匹配滤波变换域滤波：1. 线性变换变换域2. 与滤波器相乘，滤除不需要的信号3. 逆变换电路实现结构如下图所示经过推导，可得信号x(t)与y(t)的分数阶傅里叶变换为G(w)为g(t)的傅里叶变换，可用于控制滤波器通带)csc()()(uGuXuYpp任意完备变换域均可进行信号的多路传输（多路复用），如时域、频域（FDMA） 并非所有完备变换域都有实用价值多项式分解域、高斯基函数分解实用的变换一般为稀疏域变换域内，信号为“紧支撑”，一般为无穷维空间 绝对稀疏域目前“不存在”不确定关系分数阶傅立叶域源自傅立叶变换，同样为完备稀疏域分数阶傅里叶域的多路传输具有时频域特殊结构的信号，传统的频分与时分效率不高保密通信
