1、1 第四节第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆、圆与圆的位置关系 【最新考纲】【最新考纲】 1.能根据给定直线、圆的方程能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的判断直线与圆的 位置关系； 能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系位置关系； 能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.2.能用直线能用直线 和圆的方程解决一些简单的问题和圆的方程解决一些简单的问题.3.初步了解用代数方法处理几何问初步了解用代数方法处理几何问 题的思想题的思想 1判断直线与圆的位置关系常用的两种方法判断直线与圆的位置关系常用的两种方法 (1)几何法：利用圆心到直线的距离几何法：利用圆心到直线的距离 d 和圆半径
2、和圆半径 r 的大小关系：的大小关系： dr相离相离 (2)代数法：联立直线代数法：联立直线 l 与圆与圆 C 的方程的方程，消去消去 y(或或 x)，得一元二得一元二 次方程次方程，计算判别式计算判别式 b24ac，0相交相交，0相切相切，0)， ， 圆圆 O2：(xa2)2(yb2)2r2 2(r20). 2 1(质疑夯基质疑夯基)判断下列结论的正误判断下列结论的正误(正确的打正确的打“”“”，错误的错误的 打打“”“”) (1)“k1”是是“直线直线 xyk0 与圆与圆 x2y21 相交相交”的必要的必要 不充分条件不充分条件( ) (2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解如果两
3、个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外则两圆外 切切( ) (3)如果两圆的圆心距小于两半径之和如果两圆的圆心距小于两半径之和，则两圆相交则两圆相交( ) (4)若两圆相交若两圆相交，则两圆方程相减消去二次项后得到的二元一次则两圆方程相减消去二次项后得到的二元一次 方方程是公共弦所在直线的方程程是公共弦所在直线的方程( ) 答案：答案：(1) (2) (3) (4) 2若直线若直线 xy10 与圆与圆(xa)2y22 有公共点有公共点，则实数则实数 a 的取值范围是的取值范围是( ) 3 A3，1 B1，3 C3，1 D(，31，) 解析：解析：由题意可得由题意可得，圆的圆心为圆的圆心
4、为(a，0)，半径为半径为 2， |a01| 12（1）2 2，即即|a1|2，解得解得3a1. 答案：答案：C 3(2015 安徽卷安徽卷)直线直线 3x4yb 与圆与圆 x2y22x2y10 相相 切切，则则 b 的值是的值是( ) A2 或或 12 B2 或或12 C2 或或12 D2 或或 12 解析：解析：由圆由圆 x2y22x2y10 知圆心知圆心(1，1)，半径为半径为 1，所所 以以|3 141b| 3242 1，解得解得 b2 或或 12. 答案：答案：D 4 (2015 湖南卷湖南卷)若直线若直线 3x4y50 与圆与圆 x2y2r2(r0)相交相交 于于 A，B 两点两点
5、，且且AOB120(O 为坐标原点为坐标原点)，则则 r_ 解析：解析：画出图形画出图形，利用圆心到直线的距离求解利用圆心到直线的距离求解 如图如图，过点过点 O 作作 ODAB 于点于点 D，则则 4 |OD| 5 32（4）2 1. AOB120，OAOB， OBD30， |OB|2|OD|2，即即 r2. 答案：答案：2 5在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOy 中中，直线直线 x2y30 被圆被圆(x2)2 (y1)24 截得的弦长为截得的弦长为_ 解析：解析：圆心为圆心为(2，1)，半径半径 r2. 圆心到直线的距离圆心到直线的距离 d|2 2（1）3| 14 3 5 5 ， 所以
6、弦长为所以弦长为 2 r2d2222 3 5 5 2 2 55 5 . 答案：答案：2 55 5 一种思想一种思想 直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方程的结合直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方程的结合， 解解 题时要抓住圆的几何性质题时要抓住圆的几何性质，重视数形结合思想方法的应用重视数形结合思想方法的应用 两种方法两种方法 计算直线被圆截得计算直线被圆截得的弦长的常用方法：的弦长的常用方法： 1几何方法：运用弦心距几何方法：运用弦心距(即圆心到直线的距离即圆心到直线的距离)、弦长的一半、弦长的一半 及半径构成直角三角形计算及半径构成直角三角形计算 2 代 数 方 法 ：
7、弦 长 公 式代 数 方 法 ： 弦 长 公 式 |AB| 1k2|xA xB| 5 （1k2）（xAxB）24xAxB. 三条性质三条性质 解决直线与圆的问题时常用到的圆的三个性质：解决直线与圆的问题时常用到的圆的三个性质： 1圆心在过切点且与切线垂直的直线上圆心在过切点且与切线垂直的直线上 2圆心在任一弦的中垂线上圆心在任一弦的中垂线上 3两圆内切或外切时两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线切点与两圆圆心三点共线 一、选择题一、选择题 1已知点已知点 M(a，b)在圆在圆 O：x2y21 外外，则直线则直线 axby1 与与 圆圆 O 的位置关系是的位置关系是( ) A相切相切 B相交
8、相交 C相离相离 D不确定不确定 解析：解析：由题意知点在圆外由题意知点在圆外，则则 a2b21，圆心到直线的距离圆心到直线的距离 d 1 a2b20，得得 k23(*) 所以所以 k 的取值范围是的取值范围是(， 3)( 3，) (2)假设直线假设直线 l 将圆将圆 C 分割成弧分割成弧长的比为长的比为1 3的两段弧 的两段弧， 则劣弧则劣弧MN 所对的圆心角所对的圆心角MCN90 ， 由圆由圆 C：x2(y4)24 知圆心知圆心 C(0，4)，半径半径 r2. 在在 RtMCN 中中，可求弦心距可求弦心距 dr sin 45 2， 故圆心故圆心 C(0，4)到直线到直线 kxy0 的距离的
9、距离 |04| 1k2 2， 1k28，k 7，经验证经验证 k 7满满足不等式足不等式(*)，故故 l 的方的方 程为程为 y 7x. 因此因此，存在满足条件的直线存在满足条件的直线 l，其方程为其方程为 y 7x. 直线直线(圆圆)的方程、直线与的方程、直线与圆的位圆的位 置关系置关系 本部分的主要内容是直线方程和两条直线的位置关系、圆的方本部分的主要内容是直线方程和两条直线的位置关系、圆的方 程、 直线与圆的位置关系程、 直线与圆的位置关系 高考对本部分的考查主要涉及直线的倾斜高考对本部分的考查主要涉及直线的倾斜 角与斜率的关系、两直线的位置关系的判断；距离公式的应用、圆的角与斜率的关系
10、、两直线的位置关系的判断；距离公式的应用、圆的 方程的求法以及直线与圆的位置关系方程的求法以及直线与圆的位置关系，常与向量、椭圆、双曲线、抛常与向量、椭圆、双曲线、抛 物线的几何性质相结合考查 另外物线的几何性质相结合考查 另外， 应认真体会数形结合思想的应应认真体会数形结合思想的应用用， 11 能够充分利用直线、圆的几何性质简化运算能够充分利用直线、圆的几何性质简化运算 强化点强化点 1 直线方程与两直线的位置关系直线方程与两直线的位置关系 (1)(2015 山东卷山东卷)一条光线从点一条光线从点(2，3)射射 出出，经经 y 轴反射后与圆轴反射后与圆(x3)2(y2)21 相切相切，则反射
11、光线所在直则反射光线所在直 线的斜率为线的斜率为( ) A5 3或 或3 5 B3 2或 或2 3 C5 4或 或4 5 D 4 3或 或3 4 (2)在平面直角坐标系内在平面直角坐标系内，到点到点 A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7， 1)的距离之和最小的点的坐标是的距离之和最小的点的坐标是_ 解析：解析：(1)由已知由已知，得点得点(2，3)关于关于 y 轴的对称点为轴的对称点为(2，3)， 由入射光线与反射光线的对称性由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点知反射光线一定过点(2，3) 设反射光线所在直线的斜率为设反射光线所在直线的斜率为 k， 则反射光线所在直线的
12、方程为则反射光线所在直线的方程为 y3k(x2)，即即 kxy2k30. 由反射光线与圆相切由反射光线与圆相切，则有则有 d| 3k22k3| k21 1， 解得解得 k4 3或 或 k3 4. (2)设平面上任一点设平面上任一点 M，因为因为|MA|MC|AC|，当且仅当当且仅当 A， M，C 共线时取等号共线时取等号 同理同理|MB|MD|BD|，当且仅当当且仅当 B，M，D 共线时取等号共线时取等号 连接连接 AC，BD 交于一点交于一点 M，若若|MA|MC|MB|MD|最小最小， 则点则点 M 为所求为所求 12 kAC6 2 31 2， 直线直线 AC 的方程为的方程为 y22(x
13、1)，即即 2xy0. 又又kBD5（ （1） 17 1， 直线直线 BD 的方程为的方程为 y5(x1)，即即 xy60. 由由得得 2xy0， xy60， x2， y4， M(2，4) 答案：答案：(1)D (2)(2，4) 直线方程常与直线垂直、平行、距离直线方程常与直线垂直、平行、距离等知识交汇考查等知识交汇考查，考查直线考查直线 方程的求法以及直线间的位置关系等 注意数形结合思想分类讨论思方程的求法以及直线间的位置关系等 注意数形结合思想分类讨论思 想的应用想的应用 【变式训练】【变式训练】 (2015 广东卷广东卷)平行于直线平行于直线 2xy10 且与圆且与圆 x2y25 相切的
14、直线的方程是相切的直线的方程是( ) A2xy50 或或 2xy50 B2xy 50 或或 2xy 50 C2xy50 或或 2xy50 D2xy 50 或或 2xy 50 解析：解析：所求直线与直线所求直线与直线 2xy10 平行平行， 设所求的直线设所求的直线方程为方程为 2xym0. 所求直线与圆所求直线与圆 x2y25 相切相切， |m| 14 5，m 5. 13 所求的直线方程为所求的直线方程为 2xy50 或或 2xy50. 答案：答案：A 强化点强化点 2 圆的方程圆的方程 (1)(2015 全国全国卷卷)过三点过三点 A(1，3)，B(4，2)， C(1，7)的圆交的圆交 y
15、轴于轴于 M，N 两点两点，则则|MN|( ) A2 6 B8 C4 6 D10 (2)已知圆已知圆 C 与直线与直线 xy0 及及 xy40 都相切都相切， 圆心在直线圆心在直线 xy0 上上，则圆则圆 C 的方程为的方程为( ) A(x1)2(y1)22 B(x1)2(y1)22 C(x1)2(y1)22 D(x1)2(y1)22 解析：解析：(1)设圆的方程为设圆的方程为 x2y2DxEyF0， 则则 D 3EF100， 4D2EF200， D7EF500. 解得解得 D 2， E4， F20. 圆的方程为圆的方程为 x2y22x4y200. 令令 x0，得得 y22 6或或 y22 6
16、， M(0，22 6)，N(0，22 6)或或 M(0，22 6)，N(0， 22 6)，|MN|4 6. (2)法一法一 设圆心坐标为设圆心坐标为(a，a)，则则 |a（a）| 2 |a（ （a）4| 2 ，即即 |a|a2|，解得解得 a1. 故圆心坐标为故圆心坐标为(1，1)，半径半径 r 2 2 2. 14 故圆故圆 C 的方程为的方程为(x1)2(y1)22. 法二法二 题目给出的圆的两条切线是平行线题目给出的圆的两条切线是平行线， 故圆的直径就是这两故圆的直径就是这两 条平行线之间的距离条平行线之间的距离 d 4 2 2 2. 圆心是直线圆心是直线 xy0 被这两条平行线所截线段的
17、中点被这两条平行线所截线段的中点， 直线直线 xy0 与直线与直线 xy0 的交点坐标是的交点坐标是(0，0)，与直线与直线 xy 40 的交点坐标是的交点坐标是(2，2)，故所求圆的圆心坐标是故所求圆的圆心坐标是(1，1) 所求圆所求圆 C 的方程是的方程是(x1)2(y1)22. 答案：答案：(1)C (2)B 求圆的方程时求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程一般来说应根据条件选用合适的圆的方程一般来说，求求 圆的方程有两种方法：圆的方程有两种方法：1.几何法几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基通过研究圆的性质进而求出圆的基 本量确定圆的方程时本量确定圆的方程时，常用到的圆的三个性
18、质常用到的圆的三个性质:(1)圆心在过切点且圆心在过切点且 垂直切线的直线上垂直切线的直线上;(2)圆心在任一弦的中垂线上；圆心在任一弦的中垂线上； (3)(3)两圆内切或外切两圆内切或外切 时时，切点与两圆圆心三点共线；切点与两圆圆心三点共线；2.代数法代数法，即设出圆的方程即设出圆的方程，用待定用待定 系数法求解系数法求解 【变【变式训练】式训练】 (2015 课标全国课标全国卷卷)已知三点已知三点 A(1，0)，B(0， 3)，C(2， 3)，则则ABC 外接圆的圆心到原点的距离为外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.5 3 B. 21 3 C.2 5 3 D.4 3 解析：解析：在坐标
19、系中画出在坐标系中画出ABC(如图如图)，利用两点间的距离公式可利用两点间的距离公式可 得得|AB|AC|BC|2(也可以借助图形直接观察得出也可以借助图形直接观察得出)， 所以所以ABC 为等边三角形为等边三角形 15 设设 BC 的中点为的中点为 D，点点 E 为外心为外心，同时也是重心同时也是重心 所以所以|AE|2 3|AD| 2 3 3 ， 从而从而|OE| |OA|2|AE|2 14 3 21 3 . 答案：答案：B 强化点强化点 3 直线与圆的综合问题直线与圆的综合问题(多维探究多维探究) 直线与圆的综合问题是高考中的命题重点、 热点 考查涉及的内直线与圆的综合问题是高考中的命题
20、重点、 热点 考查涉及的内 容是直线与圆的位置关系、切线与弦长问题、有时与函数、不等式、容是直线与圆的位置关系、切线与弦长问题、有时与函数、不等式、 向量交汇命题常见的命题角度有：向量交汇命题常见的命题角度有：(1)与圆的切线方程与弦长相关与圆的切线方程与弦长相关 计算；计算； (2)根据直线与圆的位置关系求相关字母参数的范围、 最值；根据直线与圆的位置关系求相关字母参数的范围、 最值； (3) 直线与圆、向量、不等式交汇等综合考查学生分析求解问题的能力直线与圆、向量、不等式交汇等综合考查学生分析求解问题的能力 角度一角度一 圆的切线与弦长问题圆的切线与弦长问题 1(2015 湖北卷湖北卷)如
21、图如图，已知圆已知圆 C 与与 x 轴相切于点轴相切于点 T(1，0)，与与 y 轴正半轴交于两点轴正半轴交于两点 A，B(B 在在 A 的上方的上方)，且且|AB|2. 16 (1)圆圆 C 的标准方程为的标准方程为_； (2)圆圆 C 在点在点 B 处的切线在处的切线在 x 轴上的截距为轴上的截距为_ 解析：解析：(1)由题意知点由题意知点 C 的坐标为的坐标为(1， 2)，圆的半径圆的半径 r 2.所以所以 圆的方程为圆的方程为(x1)2(y 2)22. (2)在在(x1)2(y 2)22 中中， 令令 x0，解得解得 y 21，故故 B(0， 21) 直线直线 BC 的斜率为的斜率为
22、21 2 01 1， 故切线的斜率为故切线的斜率为 1，切线方程为切线方程为 yx 21. 令令 y0，解得解得 x 21， 故所求截距为故所求截距为 21. 答案：答案：(1)(x1)2(y 2)22 (2) 21 角度二角度二 根据直线与圆的位置关系解决有关最值与范围问题根据直线与圆的位置关系解决有关最值与范围问题 2(1)过点过点( 2，0)引直线引直线 l 与曲线与曲线 y 1x2相交于相交于 A，B 两两点点， O为坐标原点为坐标原点， 当当AOB的面积取最大值时的面积取最大值时， 直线直线l的斜率等于的斜率等于( ) A. 3 3 B 3 3 C 3 3 D 3 (2)设设 m，n
23、R，若直线若直线(m1)x(n1)y20 与圆与圆(x1)2 (y1)21 相切相切，则则 mn 的取值范围是的取值范围是( ) 17 A1 3，1 3 B(，1 31 3，) C22 2，22 2 D(，22 222 2，) 解析：解析：(1)由由 y 1x2， 得得 x2y21(y0) 直线直线 l 与与 x2y21(y0)交于交于 A，B 两点两点，如图如图 则则 S AOB1 2 sinAOB，当当AOB90时时，S AOB最大最大，此此 时时 AB 2. 点点 O 到直线到直线 l 的距离的距离 d 12 |AB| 2 2 2 2 ， 因此因此OCB30，l 的斜率的斜率 ktan
24、150 3 3 . (2)圆心圆心(1，1)到直线到直线(m1)x(n1)y20 的距离为的距离为 |mn| （m1）2（n1）2 1， 所以所以 mn1mn1 4(m n)2， 所以所以 mn22 2或或 mn22 2. 答案：答案：(1)B (2)D 角度三角度三 直线与圆和不等式、向量等知识直线与圆和不等式、向量等知识的综合问题的综合问题 18 3 (2015 全国全国卷卷)已知过点已知过点 A(0， 1)且斜率为且斜率为 k 的直线的直线 l 与圆与圆 C： (x2)2(y3)21 交于交于 M，N 两点两点 (1)求求 k 的取值范围；的取值范围； (2)若若OM ON 12，其中其
25、中 O 为坐标原点为坐标原点，求求|MN|. 解：解：(1)由题设由题设，可知直线可知直线 l 的方程为的方程为 ykx1， 因为因为 l 与与 C 交于两点交于两点，所以所以|2k 31| 1k2 1， ，由此解得由此解得 30)过点过点(1，1)，则则 ab 的最小值等于的最小值等于( ) A2 B3 C4 D5 解析：解析：将将(1，1)代入直线代入直线x a y b 1 得得1 a 1 b 1，a0，b0， 故故 ab(ab) 1 a 1 b 2b a a b 224， 等号当且仅当等号当且仅当 ab 时取时取“” 答案：答案：C 4若直线若直线 yk(x2)与曲线与曲线 y 1x2有
26、交点有交点，则则( ) Ak 有最大值有最大值 3 3 ，最小值最小值 3 3 Bk 有最大值有最大值1 2， ，最小值最小值1 2 Ck 有最大值有最大值 0，最小值最小值 3 3 Dk 有最大值有最大值 0，最小值最小值1 2 解析：解析：如图：当直线与半圆相切时如图：当直线与半圆相切时，直线的斜率直线的斜率 k 最小最小 22 此时此时|k 002k| k21 1，所以所以 k 3 3 (舍去正值舍去正值)； 当直线过半圆圆心时当直线过半圆圆心时，k 最大最大，为为 0. 答案：答案：C 5(2015 重庆卷重庆卷)已知直线已知直线 l：xay10(aR)是圆是圆 C：x2 y24x2y
27、10 的对称轴的对称轴，过点过点 A(4，a)作圆作圆 C 的一条切线的一条切线，切切 点为点为 B，则则|AB|( ) A2 B4 2 C6 D2 10 解析：解析：由于直线由于直线 xay10 是圆是圆 C：x2y24x2y10 的的 对称轴对称轴， 圆心圆心 C(2，1)在直线在直线 xay10 上上， 2a10，a1，A(4，1) |AC|236440. 又又 r2，|AB|240436. |AB|6. 答案：答案：C 二、填空题二、填空题 6已知圆已知圆 x2y29 与圆与圆 x2y24x4y10 关于直线关于直线 l 对对 称称，则直线则直线 l 的方程为的方程为_ 解析：解析：
28、由题易知由题易知， 直线直线 l 是两圆圆心连线构成线段的垂直平分线是两圆圆心连线构成线段的垂直平分线， 23 两圆的圆心坐标分别是两圆的圆心坐标分别是(0，0)，(2，2)，于是其中点坐标是于是其中点坐标是(1， 1) 又知过两圆圆心直线的斜率是又知过两圆圆心直线的斜率是1，所以直线所以直线 l 的斜率是的斜率是 1， 于是可得直线于是可得直线 l 的方程为的方程为 y1x1，即即 xy20. 答案：答案：xy20 7已知圆已知圆 C1：(xa)2(y2)24 与圆与圆 C2：(xb)2(y2)2 1 相外切相外切，则则 ab 的最大值为的最大值为_ 解析：解析：由两圆相外切可得圆心由两圆相
29、外切可得圆心(a，2)，(b，2)之间的距离之间的距离 等于两圆半径之和等于两圆半径之和，即即(ab)29a2b22ab4ab，所以所以 ab9 4， ， 即即 ab 的最大值是的最大值是9 4( (当且仅当 当且仅当 ab 时取等号时取等号) 答案：答案：9 4 8 过直线过直线 xy2 20 上点上点 P 作圆作圆 x2y21 的两条切线的两条切线， 若若 两条切线的夹角是两条切线的夹角是 60，则点则点 P 的坐标是的坐标是_ 解析：解析：直线与圆的位置关系如图所示直线与圆的位置关系如图所示，设设 P(x，y)，则则APO 30，且且 OA1. 在直角三角形在直角三角形 APO 中中，O
30、A1，APO30，则则 OP2. 24 x2y24. 又又 xy2 20， 联立解得联立解得 xy 2，即即 P( 2， 2) 答案：答案：( 2， 2) 三、解答题三、解答题 9已知圆已知圆 C：x2y28y120，直线直线 l：axy2a0. (1)当当 a 为何值时为何值时，直线直线 l 与圆与圆 C 相切；相切； (2)当直线当直线 l 与圆与圆 C 相交于相交于 A，B 两点两点，且且|AB|2 2时时，求直线求直线 l 的方程的方程 解：解：将圆将圆 C 的方程的方程 x2y28y120 配方配方，得标准方程为得标准方程为 x2 (y4)24，则此圆的圆心为则此圆的圆心为(0，4)
31、，半径为半径为 2. (1)若直线若直线 l 与圆与圆 C 相切相切， 则有则有|4 2a| a21 2.解得解得 a3 4. (2)过圆心过圆心 C 作作 CDAB，则根据题意和圆的性质则根据题意和圆的性质， 得得 |CD| |42a| a21， ， |CD|2|DA|2|AC|222， |DA|1 2|AB| 2. 解得解得 a7 或或 a1. 故所求直线方程为故所求直线方程为 7xy140 或或 xy20. 10如图所示如图所示，在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOy 中中，点点 A(0，3)，直线直线 l： y2x4.设圆设圆 C 的半径为的半径为 1，圆心在圆心在 l 上上 25
32、(1)若圆若圆心心 C 也在直线也在直线 yx1 上上，过点过点 A 作圆作圆 C 的切线的切线，求切求切 线的方程；线的方程； (2)若圆若圆 C 上存在点上存在点 M，使使 MA2MO，求圆心求圆心 C 的横坐标的横坐标 a 的的 取值范围取值范围 解：解：(1)由题设由题设，圆心圆心 C 是直线是直线 y2x4 和和 yx1 的交点的交点，解解 得点得点 C(3，2)，于是切线的斜率必存在于是切线的斜率必存在 设过设过 A(0，3)的圆的圆 C 的切线方程为的切线方程为 ykx3. 由题意由题意，得得|3k 1| k21 1，解得解得 k0 或或 k3 4， ， 故所求切线方程为故所求切
33、线方程为 y3 或或 3x4y120. (2)因为圆心在因为圆心在直线直线 y2x4 上上， 所以圆所以圆 C 的方程为的方程为(xa)2y2(a2)21. 设点设点 M(x，y)，因为因为 MA2MO， 所以所以 x2（y3）22 x2y2， 化简得化简得 x2y22y30，即即 x2(y1)24， 点点 M 在以在以 D(0，1)为圆心为圆心，以以 2 为半径的圆上为半径的圆上 由题意由题意，点点 M(x，y)在圆在圆 C 上上，所以圆所以圆 C 与圆与圆 D 有公共点有公共点， 则则|21|CD21，即即 1 a2（2a3）33. 整理整理，得得85a212a0. 26 由由 5a212
34、a80，得得 aR； 由由 5a212a0，得得 0a12 5 . 所以点所以点 C 的横坐标的横坐标 a 的取值范围为的取值范围为 0，12 5 . B 级级 能力提升能力提升 1直线直线 l：ykx1 与圆与圆 O：x2y21 相交相交于于 A，B 两点两点，则则 “k1”是是“OAB 的面积为的面积为1 2” ”的的( ) A充分而不必要条件充分而不必要条件 B必要而不充分条件必要而不充分条件 C充分必要条件充分必要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 解析：解析：将直线将直线 l 的方程化为一般式得的方程化为一般式得 kxy10， 所以圆所以圆 O：x2y21 的圆心到该直
35、线的距离的圆心到该直线的距离 d 1 k21. 又弦长为又弦长为 21 1 k21 2|k| k21， ， 所以所以 S OAB1 2 1 k21 2|k| k21 |k| k21 1 2， ，解得解得 k 1. 因此可知因此可知“k1”是是“OAB 的面积为的面积为1 2” ”的充分而不必要条的充分而不必要条 件件 答案：答案：A 2在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中，A，B 分别是分别是 x 轴和轴和 y 轴上的动点轴上的动点， 若以若以 AB 为直径的圆为直径的圆 C 与直线与直线 2xy40 相切相切，则圆则圆 C 面积的最面积的最 小值为小值为_ 解析：解析：AOB90，点点 O
36、在圆在圆 C 上上 27 设直线设直线 2xy40 与圆与圆 C 相切于点相切于点 D，则点则点 C 与点与点 O 间的距间的距 离等于它到直线离等于它到直线 2xy40 的距离的距离， 点点 C 在以在以 O 为焦点为焦点， 以直线以直线 2xy40 为准线的抛物线上为准线的抛物线上， 当且仅当当且仅当 O，C，D 共线时共线时，圆的直径最小为圆的直径最小为|OD|. 又又|OD|2 004| 5 4 5， ， 圆圆 C 的最小半径为的最小半径为 2 5， ， 圆圆 C 面积的最小值为面积的最小值为 2 5 2 4 5 . 答案：答案：4 5 3已知圆已知圆 C：x2y26x4y40，直线直
37、线 l1被圆所截得的弦被圆所截得的弦 的中点为的中点为 P(5，3) (1)求直线求直线 l1的方程；的方程； (2)若直线若直线 l2：xyb0 与圆与圆 C 相交相交，求求 b 的取值范围；的取值范围； (3)是否存在常数是否存在常数 b，使得直线使得直线 l2被圆被圆 C 所截得的弦的中点落在所截得的弦的中点落在 直线直线 l1上？若存在上？若存在，求出求出 b 的值；若不存在的值；若不存在，说明理由说明理由 解：解：(1)圆圆 C 的方程化标准方程为：的方程化标准方程为：(x3)2(y2)29，于是圆于是圆 心心 C(3，2)，半径半径 r3. 若设直线若设直线 l1的斜率为的斜率为
38、k，则则 k 1 kPC 1 1 2 2. 所以直线所以直线 l1的方程为的方程为 y32(x5)，即即 2xy130. (2)因为圆的半径因为圆的半径 r3，所以要使直线所以要使直线 l2与圆与圆 C 相交相交，则须有：则须有： |32b| 2 3， 所以所以|b5|3 2， 28 于是于是 b 的取值范围是的取值范围是3 25b3 25. (3)设直线设直线 l2被圆被圆 C 截得的弦的中点为截得的弦的中点为 M(x0，y0)，则直线则直线 l2与与 CM 垂直垂直， 于是有于是有y 0 2 x03 1，整理可得整理可得 x0y010. 又因为点又因为点 M(x0，y0)在直线在直线 l2上上，所以所以 x0y0b0. 所以由所以由 x0y010， x0y0b0. 解得解得 x01 b 2 ， y01 b 2 . 代入直线代入直线 l2的方程得：的方程得：1b1 b 2 130， 于是于是 b25 3 (3 25，3 25)， 故存故存在满足条件的常数在满足条件的常数 b.
