1、3-1 3-1 多项式解答多项式解答3-2 3-2 位移分量的求出位移分量的求出3-3 3-3 简支梁受均布载荷简支梁受均布载荷3-4 3-4 楔形体受重力和液体压力楔形体受重力和液体压力6-4 6-4 应力函数的多项式解答应力函数的多项式解答一一. . 一次多项式一次多项式适用性：适用性： 由一些直线边界构成的弹性体。由一些直线边界构成的弹性体。目目 的：的： 考察一些简单多项式函数作为应力函数考察一些简单多项式函数作为应力函数 (x,y) ，能解决什么样的，能解决什么样的力学问题。力学问题。逆解法逆解法123( , )x yc xc yc其中：其中： c1、c2、c3 为待定系数。为待定系
2、数。检验检验 (x,y) 是否满足双调和方程：是否满足双调和方程：444422420 xxyy显然显然 (x,y) 满足双调和方程，因而可作为应力函数。满足双调和方程，因而可作为应力函数。（1）（2）（3） 对应的应力分量：对应的应力分量：22xxf xy0 xxf xf x 0yyf yf y 22yyf yx20 xyx y 若体力：若体力：fx fy 0，则有：，则有：0 xyxy结论：结论：一次多项式对应于无体力和无应力状态；一次多项式对应于无体力和无应力状态；应力函数加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。应力函数加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。二二. . 二次多项式二次多项
3、式（1）22123c xc xyc y其中：其中： c1、c2、c3为待定系数。为待定系数。（假定：（假定： fx fy 0; c1 0 , c2 0, c3 0）检验检验 (x,y) 是否满足双调和方程，显然有是否满足双调和方程，显然有（2）44444220,0,0 xyxy40（可作为应力函数（可作为应力函数 ）（3）计算应力分量：计算应力分量：22xycx y 2322xcy2122ycx结论：结论： 二次多项式对应于均匀应力分布。二次多项式对应于均匀应力分布。xy2c32c32c12c12xyc 三三. . 三次多项式三次多项式（1）32231234c xc x yc xyc y其中其
4、中: c1、c2、c3 、c4为待定系数。为待定系数。检验检验 (x,y) 是否满足双调和方程，显然有是否满足双调和方程，显然有（2）44444220,0,0 xyxy40（可作为应力函数（可作为应力函数 ）（假定：（假定：fx fy 0）（3） 计算应力分量：计算应力分量：22322xyc xc yx y 234226xc xc yy221226yc yc xx结论：结论：三次多项式对应于线性应力分布。三次多项式对应于线性应力分布。如，图示板的应力函数应为如，图示板的应力函数应为20( , )2x yyxy0例：例：34c y则则0 xy46xc y0y取取（fx fy 0）图示梁对应的边界
5、条件：图示梁对应的边界条件：xy1/ 2hl/ 2h2hy ：00yxy，0 xl ， ：460 xxyc y，min43c h max43c h34c y可见，可见，对应于矩形截面梁的纯弯曲问题应力分布。对应于矩形截面梁的纯弯曲问题应力分布。22()d0hxxx lhFy由梁端部的边界条件：由梁端部的边界条件：2426d0hhc yy22()dhzxx lhMyyM 22426dhhc yyM3412c hM432MchxMyI312xMyh3(/12)xMyh可见，此结果与材力中结果相同，可见，此结果与材力中结果相同， 说明材力中纯弯曲梁的说明材力中纯弯曲梁的应力结果是正确的。应力结果是正
6、确的。无轴力无轴力MM说明：说明： 组成梁端力偶组成梁端力偶 M 的面力须线性分布，且中心处为零，结的面力须线性分布，且中心处为零，结果才是精确的。果才是精确的。 但按圣但按圣维南原理，仅在两端误差较大，离端部较远处误差较小。维南原理，仅在两端误差较大，离端部较远处误差较小。 当当 l 远大于远大于 h 时，误差较小；反之误差较大。时，误差较小；反之误差较大。若按其它形式分布，则此结果不精确，有误差；若按其它形式分布，则此结果不精确，有误差；四四. . 四次多项式四次多项式（1）43223412345c xc x yc x yc xyc y检验检验 (x,y) 是否满足双调和方程是否满足双调和
7、方程（2）432228cxy41424cx45424cy代入：代入：40得得135330ccc135248240ccc可见，其待定系数，须满足上述关系才能作为应力函数。可见，其待定系数，须满足上述关系才能作为应力函数。（1） 多项式次数多项式次数 n 4 时，则系数可以任意选取，总可满足时，则系数可以任意选取，总可满足 。40多项式次数多项式次数 n 4 时，则系数须满足一定条件，才能满足时，则系数须满足一定条件，才能满足 。40多项式次数多项式次数 n 越高，则系数间需要满足的条件越多。越高，则系数间需要满足的条件越多。（2） 一次多项式，对应于无体力和无应力状态；任意应力函数一次多项式，对
8、应于无体力和无应力状态；任意应力函数 (x,y)上加上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。上或减去一个一次多项式，对应力无影响。二次多项式，对应均匀应力状态，即全部应力为常量；三次多项式，二次多项式，对应均匀应力状态，即全部应力为常量；三次多项式，对应于线性分布应力。对应于线性分布应力。（3） （4） 用多项式构造应力函数用多项式构造应力函数 (x,y) 的方法的方法 逆解法（只能解决简单逆解法（只能解决简单直线应力边界问题）。直线应力边界问题）。五五. . 多项式应力函数的性质（总结）多项式应力函数的性质（总结） 以纯弯曲梁为例，说明用应力函数法得到应力分量后如何求出应变分以纯弯曲梁为例
9、，说明用应力函数法得到应力分量后如何求出应变分量和位移分量？量和位移分量？一一. . 应变分量和位移分量应变分量和位移分量前已得到纯弯梁的应力解答为：前已得到纯弯梁的应力解答为：xMyI0 xy0y由平面应力的物理方程：由平面应力的物理方程：1xxyE1yyxE1xyxyGMyEIMyEI0由几何方程：由几何方程：xyxyxyxyuvvuyEIxMuMyIyE v0 xyvu3-2 3-2 位移分量的求出位移分量的求出将前两式积分，得：将前两式积分，得：22( )2MyfxEI v1( )MuxyfyEI12( )( )fyfx、式中：式中：为待定函数。为待定函数。将其代入第三式，得：将其代入
10、第三式，得：12d ( )d ( )0ddfyfxMxEIyx21d ( )d ( )ddfxfyMxEIxy 函数理论：函数理论：对于任意的对于任意的F(x)和和G(y) ，若，若F(x) G(y)则则F(x)和和G(y) 必等于同一常数。必等于同一常数。21d ( )d ( )ddfxfyMxEIxy ( )F x( )G y 常数常数所以所以2d ( )dfxMxEIx1d ( )dfyy 积分积分10( )fyyu 220( )2MfxxxEI v22022MMyxxEIEI vv0MuxyyuEI其中其中u0 、v0 、 为待定常数为待定常数可由位移边界条件确定可由位移边界条件确定讨
11、论：讨论：铅垂方向线段的转角，即铅垂方向线段的转角，即 u 关于铅垂方向的变化率。关于铅垂方向的变化率。（1）uMxyEI当当 x = x0 =常数常数00 x xuMxyEI 常数常数说明：说明： 同一截面上的各铅垂线段转角相同。同一截面上的各铅垂线段转角相同。 材力中材力中“平截面假设平截面假设” 成立。成立。（2）将将 v 对对 x 求二阶导数：求二阶导数：22MEIx v 常数常数1说明：在小变形下，梁纵向纤维的曲率相同。即说明：在小变形下，梁纵向纤维的曲率相同。即221MEIx v 材料力学中挠曲线微分方程材料力学中挠曲线微分方程（3）对于平面应变问题，仅需作对于平面应变问题，仅需作
12、E1E、1 替换替换二二. . 位移边界条件的利用位移边界条件的利用（1）两端简支）两端简支xy/ 2hl/ 2h22022MMyxxEIEI vv0MuxyyuEI其位移边界条件：其位移边界条件： 000 xyu， 000 xyv， 00 xlyv，代入上式解之代入上式解之00u 00v2MlEI()2MluxyEI2()22MMlx xyEIEIv所以所以 0()2yMlx xEIv与材力中梁的挠曲线方程结果相同与材力中梁的挠曲线方程结果相同（2）悬臂梁）悬臂梁xy/ 2hl/ 2hMM位移边界条件：位移边界条件： 0 xlu 0 xlv22hhy代入代入22022MMyxxEIEI vv
13、0MuxyyuEI恒不满足恒不满足放松条件，放松条件，边界条件改写为：边界条件改写为： 00 xlyu， 00 xlyv，（中点不动）（中点不动）,00 xl yxv（轴线在端部不转动）（轴线在端部不转动）代入位移表达式解得代入位移表达式解得00u 202MlEI vMlEI所以所以()Mulx yEI 22()22MMlxyEIEI v()Mulx yEI 22()22MMlxyEIEI vxy/ 2hl/ 2hMM挠曲线方程：挠曲线方程： 20()2yMlxEI v与材料力学中结果相同与材料力学中结果相同若边界条件改写为：若边界条件改写为： 00 xlyu， 00 xlyv，（中点不动）（
14、中点不动）,00 x l yyu（中点处竖向线段转角为零）（中点处竖向线段转角为零）所得结果与前相同所得结果与前相同要点要点:一一. . 应力函数的确定应力函数的确定1/ 2h/ 2hxyyzllqlqlq用半逆解法求解梁、用半逆解法求解梁、长板类平面问题。长板类平面问题。（1）分析：分析：2hyyq 推想：推想：( )yf y（2）由应力分量表达式确定应力函数由应力分量表达式确定应力函数 的形式：的形式：( , )x y22( )yf yx积分积分1( )( )xf yfyx212( )( )( )2xf yxfyfy12( )( )( )f yfyfy， 任意的待定函数任意的待定函数由上下
15、边边界条件：由上下边边界条件：20hyy对于任意对于任意lxl 均有均有表明表明y随随 y 发生变化，而不随发生变化，而不随 x 发生变化。发生变化。再积分再积分其中其中3-3 3-3 简支梁受均布载荷简支梁受均布载荷212( )( )( )2xf yxfyfy（3）由相容确定待定函数由相容确定待定函数440 x；42(4)(4)(4)124( )( )( )2xfyxfyfyy4(2)22( )fyxy；代入相容方程：代入相容方程：40444422420 xxyy2(4)(4)(4)(2)12( )( )( )2( )02xfyxfyfyfy视之为关于视之为关于 x 的二次方程，的二次方程，
16、 欲使其在欲使其在 l x l 内内均成立，均成立，须有须有 x 的一、二次的系数、自由项同时为零。即的一、二次的系数、自由项同时为零。即(4)( )0fy (4)(2)2( )2( )0fyfy(4)1( )0fy 先对第一、二式积分先对第一、二式积分321567( )fyc yc yc y321234( )f yc yc yc yc（略去常数项）（略去常数项）再将再将f (y)代入第三式积分得代入第三式积分得543212289( )106ccfyyyc yc y （略去一次项和常数项）（略去一次项和常数项）所以所以232321234567()()2xc yc yc ycx c yc yc
17、y54321289()106ccyyc yc y 二二. . 应力分量的确定应力分量的确定22xy22yx2xyx y 23212561289(62)(62)2(3)2xc ycxc ycc yc yc yc22123567(32)(32)xc yc ycc yc yc 321234c yc yc yc利用应力边界条件可建立九个关系式以确定待定常数利用应力边界条件可建立九个关系式以确定待定常数为减少计算工作量，可先进行简化分析为减少计算工作量，可先进行简化分析三三. . 对称性的利用对称性的利用1/ 2h/ 2hxyyzllqlqlq由荷载对称和几何对称：由荷载对称和几何对称：x、y 应为应为
18、 x 的偶函数的偶函数xy 应为应为 x 的奇函数的奇函数则有则有56620c yc2567320c yc yc由由 y 的任意性，必有的任意性，必有5670ccc所以所以232121289(62)2(3)2xxc ycc yc yc yc2123(32)xyxc yc yc 321234yc yc yc yc现再利用应力边界条件确定待定常数现再利用应力边界条件确定待定常数四四. . 应力边界条件应力边界条件上边界：上边界：220 xyyhyyhq 2123304h chcc321234111842h ch chccq 下边界：下边界：2200 xyy hyy h2123304h chcc32
19、12341110842h ch chcc四式联立求解四式联立求解132qch 20c 42qc 332qch1/ 2h/ 2hxyyzllqlqlq232121289(62)2(3)2xxc ycc yc yc yc2123(32)xyxc yc yc 321234yc yc yc yc所以所以2389336462xqqx yyc ychh 332322yqqqyyhh 23632xyqqxyxhh左右边界（次要边界）：左右边界（次要边界）：因对称，只考虑一边（如右边界）。因对称，只考虑一边（如右边界）。由于面力分布未知，由于面力分布未知， 由静力等效力系替代。由静力等效力系替代。2222dd
20、0hhxhxhxx lFfyy2222ddhhyhyhxyx lFfyyql 2222dd0hhzhxhxx lMf y yy y 22d0hhxx ly2328933264(62)d0hhqlqyyc ycyhh920hc 90c 22dhhxyx lyql 223263d2hhqlqlyyqlhh qlql 满足满足22d0hhxx ly y2328332646d0hhqlqyyc y y yhh223811102202qlqhh c28310qlqchh2389336462xqqx yyc ychh 332322yqqqyyhh 23632xyqqxyxhh222326345xqyylx
21、yqhhh22112yqyyhh 22364xyqhxyh 故故截面上的应力分布：截面上的应力分布：xyxy)()(103)(3222qxlhq三次抛物线三次抛物线q五五. . 讨论讨论（1）次要边界上的误差）次要边界上的误差按上述解答，梁的左右边界存在水平面力按上述解答，梁的左右边界存在水平面力xxxlf 22345yyqhh 说明在两端与实际不符。说明在两端与实际不符。乃静力等效替代所致，乃静力等效替代所致，但随远离迅速衰减。但随远离迅速衰减。（2）与材力结果比较）与材力结果比较将将3112Ih2282hyS 22()2qMlxQFqx 代入代入22345xMyyyqIhh22112yqy
22、yhh QxyF SbIa）x ： 第一项与材力结果相同，为主要项。第一项与材力结果相同，为主要项。第二项为修正项。当第二项为修正项。当 h / l1，该项误差很小，可，该项误差很小，可略；当略；当 h / l较大时，须修正。较大时，须修正。b）y ： 为梁各层纤维间的挤压应力，材力中未考虑。为梁各层纤维间的挤压应力，材力中未考虑。c）xy ： 与材力结论相同。与材力结论相同。（3）如果事先作更深入的分析，可使计算工作量减少。）如果事先作更深入的分析，可使计算工作量减少。（避免解微分方程）（避免解微分方程）分析如下：分析如下： 直线、直角边界，应力函数可选用多项式。直线、直角边界，应力函数可选
23、用多项式。（几次？）（几次？） 2xxM xxy；x 应为三次多项式应为三次多项式 比比 x 高两次高两次 应为五次多项式。应为五次多项式。 （共（共21项，略去线性项，略去线性和常数项，有和常数项，有18项）项）即：即：54322321234567899a xxa yaxa ya yaxa ya ya ya 43254321011121415161718x a ya ya ya ya ya ya ya y 如前对称性分析如前对称性分析x、y 应为应为 x 的偶函数，的偶函数，xy 应为应为 x 的奇函数的奇函数则则 应是应是 x 的偶函数，即的偶函数，即 423254321245678910
24、11xb ybxb yb yb ybb yb yb yb y 如前边界条件分析如前边界条件分析y 与与 x 无关，则无关，则 中高于中高于 x2 项为零项为零则则 232543212345678xc yc yc ycc yc yc yc y 由相容方程由相容方程40152631530ccycc由由 y 的任意性的任意性1550cc2630cc所以所以2325432123412781153xc yc yc ycc yc yc yc y 再利用边界条件确定六个待定系数再利用边界条件确定六个待定系数附附1：解题步骤小结：解题步骤小结（1）（2）（3）根据问题的条件：几何特点、受力特点、约束特点（如面
25、根据问题的条件：几何特点、受力特点、约束特点（如面由应力分量与应力函数的关系式，求得应力函数的具体形由应力分量与应力函数的关系式，求得应力函数的具体形（4）（5）将具有待定函数的应力函数代入相容方程确定应力函数中将具有待定函数的应力函数代入相容方程确定应力函数中由应力分量与应力函数的关系式，求得应力分量（具有待由应力分量与应力函数的关系式，求得应力分量（具有待由边界条件确定应力分量中的待定常数。由边界条件确定应力分量中的待定常数。用半逆解法求解梁、矩形长板类弹性力学平面问题的基本步骤：用半逆解法求解梁、矩形长板类弹性力学平面问题的基本步骤：力分布规律、对称性等），估计某个应力分量的变化形式。力
26、分布规律、对称性等），估计某个应力分量的变化形式。式（具有待定函数）。式（具有待定函数）。的待定函数形式（具有待定系数）的待定函数形式（具有待定系数） 。定系数）定系数） 。附附2：应力函数确定的：应力函数确定的“材料力学方法材料力学方法”要点：要点：利用材料力学中应力与梁内力的关系，假设某个应力分量的函数形式。利用材料力学中应力与梁内力的关系，假设某个应力分量的函数形式。适用性：适用性： 直梁、长板条等受连续分布面力、杆端集中力、杆端集中力偶等。直梁、长板条等受连续分布面力、杆端集中力、杆端集中力偶等。应力函数常可表示为：应力函数常可表示为：( , )( ) ( )x yf x g y由边界
27、面力先确定由边界面力先确定 f (x) 或或 g (y) 其中之一的规律，然后将其代入其中之一的规律，然后将其代入相容方程确定另外一个函数。相容方程确定另外一个函数。应力分量与梁内力的关系一般可表示为：应力分量与梁内力的关系一般可表示为：12( )( )( )( )xM x fyq x fy3( )( )yq x fyQ4( )( )xyFx fy其中其中M(x)、 FQ(x) 和和 q(x)分别为梁的弯矩、剪力和横向分布力。分别为梁的弯矩、剪力和横向分布力。例：例：悬臂梁，厚度为单位悬臂梁，厚度为单位1， 常数。常数。求：应力函数求：应力函数 及梁内应力。及梁内应力。xyObl解：解：(1)
28、(1) 应力函数的确定应力函数的确定xFQM取任意截面，其内力如图：取任意截面，其内力如图：Q( )Fxb( )()()0M xlx bb lx 取取 作为分析对象，可假设：作为分析对象，可假设：xyQ( ) ( )( )xyFx f ybf y f (y)为待定函数为待定函数xy由由 与应力函数与应力函数 的关系，有：的关系，有：2( )bf yx y 对对 x 积分一次，有：积分一次，有：对对 y 再积分一次，有：再积分一次，有：03( )d( )d( )bxf yyfyyfx 0( )( )bxf yfyy 123( )( )( )bxfyfyfx 由由444422420 xxyy得得(
29、4)(4)(4)123( )( )( )0bxfyfyfx要使上式对任意的要使上式对任意的 x ，y 成立，有成立，有(4)(4)23( )( )0fyfx(4)1( )0fy (4)1( )0fy 321123( )fyc yc yc y(4)(4)23( )( )0fyfx(4)3( )fx (4)2( )fy4323789( )fxc xc xc x4322456( )fyc yc yc y 32432432123456789bx c yc yc yc yc yc yc xc xc x 123( )( )( )bxfyfyfx (4)(4)(4)123( )( )( )0bxfyfyfx
30、(2)(2) 应力分量的确定应力分量的确定22124562621262xbxc ycc yc ycy 2278921282yc xc xcx2212332xybc yc ycx y (3)(3) 利用边界条件确定常数利用边界条件确定常数xyOblx22124562621262xbxc ycc yc ycy 2278921282yc xc xcx2212332xybc yc ycx y 20byy278912820c xc xc7890cccxyx l 212332bc yc yc 21233210bc ybc ybc12310cccb 0 xx l245612620c yc yc4560ccc
31、故故xy0 x0yxy 要点要点:半逆解法的量纲分析法半逆解法的量纲分析法ggxyO 问题问题:楔形体，下部可无限延伸；楔形体，下部可无限延伸；受自重作用，楔形体的密度为受自重作用，楔形体的密度为；侧面受液体压力作用，液体的密度为侧面受液体压力作用，液体的密度为 。求：楔形体应力分布规律求：楔形体应力分布规律 一一. . 应力函数应力函数（1）量纲分析：）量纲分析：应力分量由应力分量由g 、 g、 x、y构成构成2 FL应应力力3 FL比比重重1 L坐坐标标0 L角角度度应力分量须由比重与坐标的乘积构成。应力分量须由比重与坐标的乘积构成。应力分量应是应力分量应是 x、y 的一次多项式的一次多项
32、式3-4 3-4 楔形体受重力和液体压力楔形体受重力和液体压力（2）应力函数的形式：）应力函数的形式：由应力函数与应力分量的关系由应力函数与应力分量的关系即即11xa xb y22ya xb y33xya xb y（不存在常数项）（不存在常数项）11xa xb y23xyy：、22ya xb y32xxy： 、33xya xb y22x yxy：、故设应力函数故设应力函数32231234c xc x yc xyc y二二. . 应力分量应力分量0 xf yfg233226xxf xc xc yy 212262yyf yc xc ygyx223xyc xc yx y 三三. . 应力边界条件应力
33、边界条件ggxyO竖边：竖边：x 0gy0 xxgy 00 xyx46c ygy 320c y30c 46gc 3426xc xc y1262yc xc ygy23xyc xc y xfgy0yf 斜边：斜边：0 xf 0yf tanxy1cosl2sinl N21212()()()()xSyxSxxySySyllfllftantancos()sin()0 xxyxxtantancos()sin()0 xyxyx42cos6sintan0c yc y 212costansin6tan20c yc yc ygy 解之解之221cot2cg3111cotcot63cgg回代回代xg y 32cot2cotcotygxggg y2cotxyg x
