1、例题例题（第（第3 3章）章） 例题例题3-1 3-1 （见（见3-13-1）试考察应力函数试考察应力函数 在图在图3-1所示的矩形板和坐标所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计）。系中能解决什么问题（体力不计）。3ay图图3-1xyxPe解解: 首先考察给定的应力函数应力函数是是否否满足相容方程。满足相容方程。代入代入后后满足，说明该函数可作满足，说明该函数可作应力应力函数函数 。 当体力不计时，将当体力不计时，将代入应力分量公式可得：代入应力分量公式可得：0244224444yyxx00 ,622222yxxayyxyyx 当当 时，考察左、右两端的时，考察左、右两端的 分布情况：
2、分布情况：左端左端 右端右端应力分布如图所示，当应力分布如图所示，当 时应用圣维南原理能解决各时应用圣维南原理能解决各种偏心拉伸的问题。种偏心拉伸的问题。因为在因为在A点的应力为零。设板宽为点的应力为零。设板宽为b，集中荷载集中荷载P的偏心距为的偏心距为e。则：则：,6e 0, 61 , 06)(2hheFPbhPebhPAx0)( ,6)( , 0)(0)( ,6)( , 0)(00000lxxyhylxxylxxxxyhyxxyxxahahx0ahl 例题例题3-2 3-2 （习题（习题3-73-7）设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩作用，体设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩作
3、用，体力可以不计，图力可以不计，图3-2，试用应力函数，试用应力函数求解应力分量。求解应力分量。332DxyCyByAxy图图3-2解解: 本题是较典型的例题本题是较典型的例题, 已经给出了应力函数已经给出了应力函数, 可按下列可按下列步骤求解。步骤求解。 1. 将将代人相容方程代人相容方程, 显然是满足的。显然是满足的。2. .将将代入应力代入应力关系式关系式, , 求出应力分量求出应力分量 )3(, 0 ,6622DyADxyCyBxyyx3. 考察边界条件考察边界条件: : 主要边界主要边界 y= y=h/2h/2上上, , 应精确满足式应精确满足式(2-(2-15), 15), 043
4、 , 0)( , 0)(22/2/DhAhyxyhyy得满足； 在次要边界在次要边界x=O=O上上, , 只给出了面力的主矢量和主矩只给出了面力的主矢量和主矩, , 应应用圣维南原理用圣维南原理, , 用三个积分的边界条件代替。注意用三个积分的边界条件代替。注意 x=O x=O 是是负负x x面面, , 图图 3-5 3-5 中表示了负中表示了负 x x 面上面上x x 和和xyxy 的正方向的正方向, , 由此得由此得 。，）解出），（由式（。得求得求得332/2/032/2/02/2/02 23 41 , )(;2 ,)( ;2 ,)(hFDhFAbaFDhAhFdyhMCMdyyhFBF
5、dysssshhxxyhhxxNNhhxx 最后一个次要边界条件最后一个次要边界条件 (x=l上上 ), 在平衡微分方程和上述边在平衡微分方程和上述边界条件均已满足的条件下界条件均已满足的条件下, 是必然满足的是必然满足的, 故不必再校核。故不必再校核。 代入应力公式代入应力公式, , 得得 。)41 (23, 0 ,12122233hyhFxyhFyhMhFSxyySNx例题例题3-3 3-3 （习题（习题3-113-11）挡水墙的密度为挡水墙的密度为1, 厚度为厚度为 b, 图图 3-6, 水的密度水的密度为为2, , 试求试求应力分量。应力分量。 解解: 用半逆解法求解。用半逆解法求解。
6、 1.1.假设应力分量的函数形式。因为在假设应力分量的函数形式。因为在 y =- -b/2 边界上边界上, , y =b/2边界上边界上, , 所以可假设在区域内所以可假设在区域内 为为 ; 0y;2gxy);(yxfyy2. 2. 推求应力函数的形式。由推求应力函数的形式。由 推测推测的形式的形式, , y 。则)()()(6 ),(2 ),(2131222yfyxfyfxyfyfxxyxfxy3.3.由相容方程求应力函数。将由相容方程求应力函数。将代得代得 04。得得得，处都成立，必须要使上式在任意的。2324242345122414234422424414443 , 0;610 , 02
7、; 0026FyEyfdyfdIyHyGyyByAfdyfddyfdDCyByAyfdyfdxdyfdxdyfddyfdxdyfdx代人代人, , 即得应力函数的解答即得应力函数的解答, , 其中巳略去了与应力无关的其中巳略去了与应力无关的一次式。一次式。 4.4.由应力函数求应力分量。将由应力函数求应力分量。将代人式代人式 (2-24), (2-24), 注意体力注意体力 ，求得应力分量为求得应力分量为 0 ,1yxfgf。)23322( )23(2),(,)26( )2622(32342222322123322IHyGyyByACByAyxyxDCyByAyxyfxgxFEyHGyByAy
8、xBAyxxfyxyyyxx5. 5. 考察边界条件考察边界条件 : : 在主要边界在主要边界 y = y = b/2 b/2 上上, , 有有）（）（由上式得到得得得feIHbbGbBbAdcCBbbAIHbbGbBbACBbbAxDbCbBbAxgxDbCbBbAxgxbyxybyybyy, 0)431232( , 0)43( 0)431232( )43(2 ; 0)(b) ; 0)248( ; 0)(a) ;)248( ;)(2342234222/232/22322/。由此得。得）（得）（得）（得）（求解各系数，由gbCgbACbAdcgDBdcgbCbAbagDbBba22332232
9、223 ,2043 )(,21 , 0 )(,2124 )(,214 )(）（，得代入。得）（得）（又有gbGgbIAIbGbAfeHfe 4316 04332 )(, 0 )(2224）（，得代入。得）（得）（又有。由此得gbGgbIAIbGbAfeHfegbCgbA 4316 04332 )(, 0 )(23 ,22224223gbGgbIhgEydyFdyGbgbIdyxbbxxbbxxbbxxy222/2/02/2/0222/2/0101 800 , 0, 0 , 0(h) ,480, 00，）解出），（由式（。得）（得）（得）（界条件：上，列出三个积分的边在次要边界（小边界）)801
10、03()432(),2132(,4532332332233213322332ybbybygybbygxbybygxgxxybgxybgyxbgxyyx，得应力解答：代入应力分量的表达式已知 试问它们能否作为平面问题的应力函数 ?解解: : 作为应力函数, 必须首先满足相容方程, 例题例题3-43-4,)(),()()(42223422222EyDxyyCxyBxAxbyxCBxyxaAya 将代入,(a) 其中 A=0, 才可成为应力函数 ;(b) 必须满足 3(A+E)+C =0, 才可成为应力函数。 04例题例题3-53-5图图 3-7 所示的所示的矩矩形截面柱体形截面柱体 , 在在顶部受
11、有集中力顶部受有集中力 F 和力矩和力矩 M=Fb/2的作用，的作用，试用应力函数试用应力函数 求解图示问题的应力及位移求解图示问题的应力及位移, , 设设在在 A A 点的位移和转角均为零。点的位移和转角均为零。 23BxAx 图图 3-7解解: 应用应力函数求解应用应力函数求解:(1) 校核相容方程校核相容方程 , 满足。满足。(2) 求应力分量求应力分量，在无体力时在无体力时，得得(3) 考考察察主要边界条件主要边界条件, 均己满足。均己满足。考察次要边界条件考察次要边界条件, , 在在 y=0 y=0 上上 , , 040 ,26xyxyBAx0 , 0 ,xyxbx满足； , 0)
12、(0yxy0 ,2312 ,2312400 ,2312;8 ,2)(;2 ,)(4200 xyyxxyxybbyybbyybxEbFbxEbFbxbFbFAbFxdxbFBFdx）求应变分量，（因而是上述问题的解。和全部边界条件，和应力已满足了上述代入，得应力的解答，求得求得0 ,2312 ,2312400 ,2312;8 ,2)(;2 ,)(4200 xyyxxyxybbyybbyybxEbFbxEbFbxbFbFAbFxdxbFBFdx）求应变分量，（因而是上述问题的解。和全部边界条件，和应力已满足了上述代入，得应力的解答，求得求得);(232 ,2312);(232 ,2312 )5(2
13、12xfbxyyEbFvybxEbFyvyfbxxEbFuxbxEbFxuyx积分，得对由积分，得对由求位移分量。即等于常数两边分开变量，并令都代入几何方程第三式将yEbFdyydfdxxdfxvyuvuxy21243)()(,0,0022202210223283232,83)(,)(vxbxyyEbFvuyyEbFbxxEbFuvuuyyEbFyfvxxf，得代入。从上式分别积分，求出 ：，得到位移分量的解答代入。得得得再由刚体约束条件，vuhEbFvvhEbFuuhEbFxuhyxhyxhyx,2, 0;83, 0;43, 00, 0220, 02, 0再由刚体约束条件，得代入。从上式分别
14、积分，求出0022202210223283232,83)(,)(vxbxyyEbFvuyyEbFbxxEbFuvuuyyEbFyfvxxf 。，在顶点：，得到位移分量的解答代入。得得得hEbFv0yxbxy)yh(EbFv)yh(EbFbxxEbFuv ,uhEbFv,v;hEbFu,u;hEbF,xuyxhy ,xhy ,xhy ,x22328323220830430022200220020例题例题3-63-6矩形截面的简支梁上矩形截面的简支梁上, , 作用有三角形分布荷载作用有三角形分布荷载, , 图图3-83-8 试用下列应力函数试用下列应力函数求解应力分量。求解应力分量。,333533
15、FxyExDxyyCxBxyyAx图图3-83-8FxyExDxyyCxBxyyBxBABA33353343535 , 0120720由此，。得解解: 应用上述应力函数求解应用上述应力函数求解 :(1) 将将代人相容方程代人相容方程 ,。下，得求应力分量，在无体力）（)33515(,6610,62010 222422333FDyCxByyBxExCxyBxyDxyxyyBxxyyx043156041530)43156(4153, 0 , 2/2/32422422FDhBhBhCxFDhBhBhCxhyhyxy，此得值，上式均应满足，由对于任意的。）（得）考察主要边界条件（ 4 5 2345 1
16、2 6345, , 2/ , 06345, 0 , 2/2/33233lhqClhqBaeelhqCBhdclqEdcdlxqEChBhxlxqhycEChBhxhyhyyy，）得（）由（）（。）得（）由（。）得（）由（）（。）（得）（）（得）考察主要边界条件（。）解出）和式（由式（），由条件（）考察小边界上的边界（hllhqFlhhlqDfbqldyxhhxxy480,1013,6)(0432/2/0：力表达式，得应力解答于是，将各系数代入应显然是满足的。，另两个积分的边界条件, 0)( 0)( 2/2/02/2/0hhxxhhxxydydy例题例题3-73-7矩形截面的矩形截面的柱体受到顶
17、部的集中力柱体受到顶部的集中力和力矩的作用，和力矩的作用，图图3-93-9，不计体力，不计体力，试用下列应力函数试用下列应力函数求解应力分量。求解应力分量。332DyCxyBxyAy图图3-93-9）（。满足；）边界（考察边界条件。在主要。力下，得）求应力分量，在无体（，满足。）代入相容方程，（求解：解：应用上述应力函数aqCbBqbybyCyBDyCxyAyxyxyyx 43 , , 0 ,2 2/)3()3( , 0 ,66 201222。得得得在次要边界bFCbBFCyByFdybMDMDyyAMydybFAFDyAyFdyxbbbbxxybbbbxxbbbbxx22/2/32/2/03
18、2/2/322/2/02/2/22/2/041 ,)( ,)(;2,)22( ,)(;,)3( ,)(, 0。代入，得应力解答，22326)3(21, 0,1212ybFqbbFqybMxybFqbbFxyyx。）式解出）（再由（)3(21),(2 2bFqBbFqbCba例题例题3-83-8试用下列应力函数试用下列应力函数,arctan)(222xyxyyxq求解图求解图3-103-10所示的半无限平面体在的边界上受均布压力所示的半无限平面体在的边界上受均布压力q q的的问题。问题。图图3-103-10应力解为就可求出其应力分量。均满足，边界条件，若这些条件解：应校核相容方程和 。222222,arctan,arctanyxxyqyxxyxyqyxxyxyqxyyx
