1、相似三角形的判定定理1的运用二例1：如图，D,E分别是ABC的边AB,AC上的点，DEBC,AB=7，AD=5，DE=10，求BC的长.解：DEBC, ADE=B，AED=C. ADEABC (两角分别相等的两个三角形相似). BC=14.ADDEABBCBADEC1例2：如图，ABC中，DEBC,EFAB， 求证：ADEEFC. AEFBCD解: DEBC，EFAB.AEDC，AFEC. ADEEFC. （两角分别相等的两个三角形相似）22.如图，在RtABC中，C=90.正方形EFCD的三个顶点E，F，D分别在边AB，BC，AC上.已知AC=7.5，BC=5，求正方形的边长.解：四边形EF
2、CD是正方形，EDBC,ED=DC=FC=EF.ADE=ACB=90，ADEABC.BCEDACAD.,55757DCDCBCEDACDCACDE=3,即正方形的边长为3.3利用两角判定三角形相似 定理：两角分别相等的两个三角形相似课堂小结课堂小结相似三角形的判定定理1的运用 4讲授新课讲授新课相似三角形的判定定理2一我们来证明一下前面得出的结论：如图，在ABC与ABC中，已知A= A.ABACA BA C在ABC的边AB上截取点D,使AD=AB过点D作DEBC,交AC于点E.DEBC,ADEABC.CAEABADAABCABC.BAC BADEC5 AD=AB， AE=AC. 又A=A. A
3、DEABC， ABCABC.CAACBAAB.CAACCAEABADA6由此得到三角形的判定定理由此得到三角形的判定定理2 2： 两边成比例且夹角相等的两个三角两边成比例且夹角相等的两个三角形相似形相似7解：AE=1.5，AC=2， 又EAD=CAB, ADEABC(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似) BC=3. DE=相似三角形的判定定理2的运用 二例1:如图所示，D，E分别是ABC的边AC,AB上的点，AE=1.5，AC=2，BC=3,且 ，求DE的长.ACB43ABAD.43ACAE3,4ADAB.ADAEABAC43ABADBCDE39.44BC ED8例2:如图，在 ABC 中，
4、CD是边AB上的高，且 求证：ACB=90ABCD解： CD是边AB上的高, ADC= CDB=90.BDCDCDADADCCDB. ACD= B. ACB= ACD+ BCD= B+ BCD= 90.BDCDCDAD91. 如图，D是ABC一边BC上一点，连接AD,使 ABC DBA的条件是 （ ） A. AC:BC=AD:BD B. AC:BC=AB:AD C. AB2=CDBC D. AB2=BDBCD当堂练习当堂练习ABCD102.已知在RtABC与RtABC中， A=A= 90，AB=6cm，AC=4.8cm，AB=5cm，AC=3cm. 求证：ABCABC. 证明： A=A= 90
5、， ABC ABC.64.86,535ABACA BA C113.ABC为锐角三角形，BD、CE为高 . 求证： ADE ABC.证明：BDAC，CEAB， ABD+A=90， ACE+A= 90. ABD= ACE. 又 A= A， ABD ACE. A= A， ADE ABC. .ADAB=AEACABDCEO12利用两边及夹角判定三角形相似 定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似课堂小结课堂小结相似三角形的判定定理2的运用 13讲授新课讲授新课相似三角形的判定定理3一我们来证明一下前面得出的结论：如图，在ABC与ABC中，已知在ABC的边AB上截取点D,使AD=AB过点D作DE
6、BC,交AC于点E.DEBC,ADEABC.,A BB CA CABBCAC又AD=AB,.CBBCCAACBAAB ABCABC.BACBADEC14 AE=AC , DE = BC. ADEABC, ABCABC.由此得到三角形的判定定理3： 三边成比例的两个三角形相似15相似三角形的判定定理3的运用 二 例1:如图所示，在ABC和ADE中， BAD=20,求CAE的度数.ABBCACADDEAE解： ABCADE(三边成比例的两个三角形相似). BAC=DAE. BAC - DAC =DAE-DAC.即 BAD=CAE. BAD=20. CAE=20.,AEACDEBCADABABCDE
7、16 例2:如图，在 RtABC 与 RtABC中， C =C = 90，且 求证： ABCABC. 21ACCAABBA 证明：由已知条件得AB=2AB,AC=2AC 从而BC2 = AB2-AC2 =(2AB)2-(2AC)2 = 4AB 2 4AC2 =4(AB2-AC 2) = 4BC2 =(2BC)2.从而由此得出，BC=2BC因此 ABCABC. (三边对应成比例的两个三角形相似)1.2B CA BA CBCABAC17当堂练习当堂练习1.已知ABC和 DEF,根据下列条件判断它们是否相似.(3) AB=12， BC=15， AC24. DE16， EF20， DF30.(2)AB
8、=4， BC=8， AC10. DE20， EF16， DF8.(1)AB=3， BC=4， AC6. DE6， EF8， DF9.是否否（注意：大对大，小对小，中对中）182.如图, ABC与 ABC相似吗?你用什么方法来支持你的判断?C CB BA AA AB BC C22.1ABACBCA BA CB CABCA B C 相似与.8,2 10,2 2;ABBCAC4,10,2;ABBCAC 解：这两个三角形相似设1个小方格的边长为1，则193.在ABC和ABC中，已知：AB6cm，BC8cm，AC10cm，AB18cm，BC24cm，AC30cm求证：ABC与ABC相似61183 ABA
9、 B，81243 BCB C，101303 ACA C，证明： ABBCACA BB CA C， ABC ABC（三边成比例的两个三角形相似) ) A AC CB BCCAABB20利用三边判定三角形相似 定理：三边对应成比例的两个三角形相似课堂小结课堂小结相似三角形的判定定理3的运用 21导入新课导入新课问题：相似三角形的判定方法有哪些？ 两角对应相等，两三角形相似. 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似. 三边对应成比例,两三角形相似.22讲授新课讲授新课证明相似三角形的判定定理一 在上两节中，我们探索了三角形相似的条件，稍候我们将对它们进行证明定理1：两角分别相等的两个三角形相似.已知
10、：如图，在 ABC 和ABC 中，A = A，B =B. 求证：ABC ABCABCABC23ABCABC证明：在 ABC 的边 AB（或它的延长线）上截取AD =AB，过点D作BC的平行线，交 AC 于点E，则1=B，2 =C， 过点 D 作 AC 的平行线,交 BC 于点 F,则 DEBC, DFAC, 四边形 DFCE 是平行四边形 DE = CF. EDF.ADAEABACADCFABCB，.AECFACCBAEDEACCB，.ADAEDEABACBC1224而 1 = B， DAE = BAC， 2= C， ADE ABC. A = A， ADE = B = B，AD = AB， A
11、DE A B C ABC ABC. ABCABCEDF1225定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.已知：如图，在ABC 和ABC 中，A = A，求证：ABC ABC.CAACBAABABCABCED12证明：在ABC 的边 AB（或它的延长线）上截取 AD = AB，过点 D 作 BC 的平行线，交 AC 于点 E，则 26则 B = 1， C = 2， ABC ADE ，AD = AB， AE =AC. 而 A= A， ADE ABC. ABC ABC.ABACADAECAACBAAB.CAACADAB.CAACAEACABCABCED1227定理3：三边成比例的两个三角形相似.
12、已知：如图，在 ABC 和ABC 中， 求证：ABC ABC .CAACCBBCBAABABCACEDB证明：在ABC 的边 AB（或它的延长线）上截取 AD = AB，过点 D 作 BC 的平行线，交 AC 于点 E，则 28 ，AD = AB，AE = AC， 而 BAC = DAE， ABC ADE. 又 ，AD = AB， DE = BC. ADE ABC . ABC ABC .ABCACEDBCAACBAABABACADAE，.DEBCADABCBBCBAAB.CBBCADAB.CBBCDEBC29相似三角形判定定理的运用 二例：已知:如图,ABD=C，AD=2, AC=8，求AB.
13、 CDAB解： A= A , ABD=C, ABD ACB , AB : AC = AD : AB, AB2 = AD AC. AD = 2 , AC = 8, AB = 4.301.如下图，在大小为44的正方形网格中，是相似三角形的是（ ） 当堂练习当堂练习312.已知：如图，在四边形ABCD中，B=ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD= ，求AD的长. 217解: AB=6，BC=4，AC=5，CD = 又B =ACD, ABCDCA， AD=ABCD.217.ACCDBCAB.ADACACBC.42532相似三角形判定定理的证明定理1：两角分别相等的两个三角形相似.定理的运用定理证
14、明定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角 形相似.定理3：三边成比例的两个三角形相似.课堂小结课堂小结33讲授新课讲授新课运用相似三角形解决高度(长度)测量问题一例1：如下图，如果木杆EF长2 m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，求金字塔的高度BO. 我们来试着用学过的知识解决前面提出的问题34 解：BFED，BAO=EDF， 又AOB=DFE=90， ABODEF， = ， = ， BO=134. 3201因此金字塔高134 m. 2BOEFBOFDOA35物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长测高方法一：测高方法一： 测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成
15、正比例”的原理解决. 36例2：如图，小明为了测量一棵树CD的高度，他在距树24m处立了一根高为2m的标杆EF，然后小明前后调整自己的位置，当他与树相距27m的时候，他的眼睛、标杆的顶端和树的顶端在同一条直线上.已知小明的眼高1.6m，求树的高度.解析：人、树、标杆是相互平行的，添加辅助线，过点A作ANBD交ID于N，交EF于M，则可得AEMACN.AECDFBN37AECDFBN解：过点A作ANBD交CD于N，交EF于M，因为人、标杆、树都垂直于地面，ABF=EFD=CDF=90,ABEFCD, EMA=CNA.EAM=CAN,AEMACN , .AB=1.6m , EF=2m , BD=2
16、7m , FD=24m , , CN=3.6（m），CD=3.6+1.6=5.2（m）.故树的高度为5.2m.ANAMCNEM272427602CN.38测高方法二：测高方法二： 测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用标杆测量高度”的原理解决. 39例3：为了测量一棵大树的高度，某同学利用手边的工具（镜子、皮尺）设计了如下测量方案：如图，在距离树AB底部15m的E处放下镜子；该同学站在距离镜子1.2m的C处，目高CD为1.5m；观察镜面，恰好看到树的顶端.你能帮助他计算出大树的大约高度吗？解：1=2,DCE=BAE=90,DCEBAE. ,解得 BA=18.75（m）.因此，树高约为18
17、.75m.152151.,BAAECEBADCDBACE2140测高方法三：测高方法三： 测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决. 411. 铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m,当短臂端点下降0.5m时,长臂端点升高_m. 8OBDCA1m16m0.5m？2.某一时刻树的影长为8米,同一时刻身高为1.5米的人的影长为3米,则树高为_. 4米当堂练习当堂练习423.如图，为了估算河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B和点C，使ABBC，然后，再选点E，使ECBC，用视线确定BC和AE的交点D，此时如果测得BD=118米，DC
18、=61米，EC=50米，求河的宽度AB.（精确到0.1米）ADCEB43解：ADB=EDC ABD=ECD=90 ECAB,CDBDCDECBDAB)(7 .966150118米答：河的宽度AB约为96.7米.ABDECD（两角分别相等的两个三角形相似），解得444.某同学想利用树影测量树高.他在某一时刻测得小树高为1.5米时，其影长为1.2米，当他测量教学楼旁的一棵大树影长时，因大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上.经测量，地面部分影长为6.4米，墙上影长为1.4米，那么这棵大树高多少米?ED6.41.2？1.51.4ABC解：作DEAB于E得AE=8米，AB=8+1.4=9.4米1.51.2
19、6.4AE，物体的影长不等于地上的部分加上墙上的部分45讲授新课讲授新课相似三角形对应高的比等于相似比一解: ABCABC， B= B又 ADB =ADB =90,ABDABD (两角对应相等的两个三角形相似).从而 A DA Bk ADAB(相似三角形的对应边成比例).问题：如图，ABC ABC，相似比为k，分别作BC，BC上的高AD，AD 求证：.kADDA46由此得到： 相似三角形对应高的比等于相似比类似的，我们可以得到其余两组对应边上的高的比也等于相似比 47相似三角形对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比 二问题：把上图中的高改为中线、角平分线，那么它们对应中线的比，对应角平分线
20、的比等于多少？图中ABC和ABC相似，AD、AD分别为对应边上的中线，BE、BE分别为对应角的角平分线，那么它们之间有什么关系呢？48 证明如下：已知：ABCABC，相似比为k，即 求证： 证明： ABCABC. B= B, 又AD,AD分别为对应边的中线. ABDABD.ABBCCAkA BB CC A. kADAD. kADADABBCA BB C.ABBDA BB D49由此得到： 相似三角形对应的中线的比也等于相似比同学们可以试着自己用同样的方法求证三角形对应边上的角平分中线的比等于相似比50 证明如下：已知：ABCABC，相似比为k，即 求证： 证明： ABCABC B= B, BA
21、C= BAC 又AD,AD分别为对应角的平方线 ABDABD.ABBCCAkA BB CC A513两个相似三角形对应中线的比为 ，则对应高的比为_ .当堂练习当堂练习2.相似三角形对应边的比为2 3,那么对应角的角平分线的比为_.2 31两个相似三角形的相似比为 , 则对应高的比为_, 则对应中线的比为_.122121414152解： ABCDEF， 解得,EH3.2(cm).答：EH的长为3.2cm.AGBCDEFH（相似三角形对应角平线的比等于相似比），4.已知ABCDEF，BG、EH分ABC和DEF的角平分线，BC=6cm,EF=4cm,BG=4.8cm.求EH的长.BGBCEHEF4
22、.86,4EH53相似三角形的性质相似三角形对应高的比等于相似比课堂小结课堂小结相似三角形对应角平分线的比等于相似比相似三角形对应中线的比等于相似比54讲授新课讲授新课相似三角形对应周长的比等于相似比一相似三角形周长的比等于相似比.分析：ABCA1B1C1，相似比为k，,kACCACBBCBAAB111111111111,ABkA B BCkB CkCAkC A. kACCBBAAkCCkBBkAACCBBACABCAB111111111111111111有有问题：求证三角形对应周长的比等于相似比ABCA1B1C155相似三角形面积的比等于相似比的平方二 问题：如图，ABCABC，相似比为k1
23、,它们对应高的比是多少？面积比是多少？ABCABC 如图，分别作出ABC和ABC的高AD和AD.ABC和ABC都是直角三角形，并且B=B，ABDABD.BAABDAADDD56（相似三角形对应高的比等于相似比）.ABCABC.CBBCBAAB.ADkA D 由此可得： 相似三角形面积比等于相似比的平方.2112.12ABCA B CBCADSBCADkkkSB CA DB CA D 57例：53ABADACAEABC ADE .它们的相似比为5：3，面积比为25：9.又ABC的面积为100 cm2 ，ADE的面积为36 cm2 .四边形BCDE的面积为100-36=64（cm2） .解：BAD
24、=DAE，且 ,53ABADACAEBAEDC58当堂练习当堂练习1.连结三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于_,面积比等于_.2.两个相似三角形对应的中线长分别是6cm和18cm，若较大三角形的周长是42cm，面积是12cm2，则较小三角形的周长_cm，面积为_cm2.1:21:4143459 3.判断： （1）一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个三角形的周长也扩大为原来的5倍.（ ） （2）一个四边形的各边长扩大为原来的9倍，这个四边形的面积也扩大为原来的9倍.（ ）604. 若ABC ABC ，它们的周长分别为60cm和72cm，且AB=15cm，BC=24cm，求BC，AC，AB,AC的长. BACABC解： ABC ABC ，它们的周长分别为60cm和72cm，AB=15cm，BC=24cm，BC = 20cm， AC = 25cm， AB=18cm，AC=30cm.61相似三角形的性质相似三角形周长之比等于相似比课堂小结课堂小结相似三角形面积之比等于相似比的平方62
