1、1电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论电子笔2022-6-5第四章 稳定性与李雅普诺夫方法 线性定常系统的稳定性分析方法很多。然而，线性定常系统的稳定性分析方法很多。然而，对于非线性系统和线性时变系统，这些稳定性分析对于非线性系统和线性时变系统，这些稳定性分析方 法 实 现 起 来 可 能 非 常 困 难 ， 甚 至 不 可 能 。方 法 实 现 起 来 可 能 非 常 困 难 ， 甚 至 不 可 能 。Lyapunov稳定性分析是解决非线性系统稳定性问题稳定性分析是解决非线性系统稳定性问题的一般方法。的一般方法。 一百多年以前一百多年以前(1892年年)，
2、俄国数学力学家亚历山，俄国数学力学家亚历山大大 米哈依诺维奇米哈依诺维奇李亚普诺夫李亚普诺夫(A.M.Lyapunov) (1857-1918)，以其天才条件和精心研究，创造性地，以其天才条件和精心研究，创造性地发表了其博士论文发表了其博士论文“运动稳定性的一般问题运动稳定性的一般问题”，给，给出了稳定性概念的严格数学定义，并提出了解决稳出了稳定性概念的严格数学定义，并提出了解决稳定性问题的方法，从而奠定了现代稳定性理论的基定性问题的方法，从而奠定了现代稳定性理论的基础。础。 在这一历史性著作中，在这一历史性著作中，Lyapunov研究了平衡研究了平衡状态及其稳定性、运动及其稳定性、扰动方程的
3、稳状态及其稳定性、运动及其稳定性、扰动方程的稳定性。定性。2电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论电子笔2022-6-5 在此基础上，在此基础上，LyapunovLyapunov提出了两类解决稳定性问提出了两类解决稳定性问题的方法，即题的方法，即Lyapunov第一法和第一法和Lyapunov第二法。第二法。 第一法通过求解微分方程的解来分析运动稳定性，第一法通过求解微分方程的解来分析运动稳定性，即通过分析非线性系统线性化方程特征值分布来判即通过分析非线性系统线性化方程特征值分布来判别原非线性系统的稳定性；别原非线性系统的稳定性； 第二法则是一种定性方法，它无
4、需求解困难的第二法则是一种定性方法，它无需求解困难的非线性微分方程，而转而构造一个非线性微分方程，而转而构造一个Lyapunov函数，函数，研究它的正定性及其对时间的全导数的负定或半负研究它的正定性及其对时间的全导数的负定或半负定，来得到稳定性的结论。这一方法在学术界广泛定，来得到稳定性的结论。这一方法在学术界广泛应用，影响极其深远。一般我们所说的应用，影响极其深远。一般我们所说的Lyapunov方方法就是指法就是指Lyapunov第二法。第二法。 3电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论电子笔2022-6-5第四章 稳定性与李雅普诺夫方法4.1 李雅普诺夫关
5、于稳定性的定义4.2 李雅普诺夫第一法4.3 李雅普诺夫第二法4.4 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用4.5 李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用本章小结和作业4电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论电子笔2022-6-54.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义一、系统状态的运动及平衡状态设系统的齐次状态方程为： f：n维向量函数设其在初始条件 下，有唯一解那么， 实际上描述了系统在n维空间中从初始状态 出发的一条状态运动的轨迹。称为运动轨迹或状态轨迹。平衡状态：若存在状态向量 ，对所有t，都有成立，则称 为系统的平衡状态。平衡状态不一定存在，也不一定唯一。如： 其平
6、衡状态有：(, )Xf X t00( ,)tX00( ;, )Xt X t 00( ;, )Xt X t 00( ,)tXeX(, )0ef X t eX1132122xxxxxx 123000,011eeeXXX 稳定性是相对于平衡点而言的！5电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论电子笔2022-6-5二、稳定性的几个定义1、Lyapunov意义下的稳定如果系统 对任意选定的实数 ，都对应存在实数 ，使当 时，从任意初态 出发的解都满足则称平衡状态 是Lyapunov意义下稳定的。其中，实数 与 有关，一般也与 有关。如果 与 无关，则称这种平衡状态是一致稳
7、定的。 称为欧几里德范数，它的数学意义是：(, )Xf X t00( , )0t 0( , )eXXt 0X000( ;, )et X tXtt eXeXX2221122()()()eeenneXXxxxxxx0t0t6电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论电子笔2022-6-5ex0 x)(S)(S界面)(H),;(00txt2x1x)(S)(S)(ST1x1x2x2x),;(00txtt7电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论电子笔2022-6-52、渐进稳定如果平衡状态 是稳定的，而且当t无限增长时，轨线不仅不超出 ，而
8、且最终收敛于 ，则称这种平衡状态 是渐进稳定的。即有：eXeXeX( )S00lim( ;, )0ett X tX8电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论电子笔2022-6-5ex0 x)(S)(S界面)(H),;(00txt1x2x)(S)(S)(ST1x1x2x2x),;(00txtt9电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论电子笔2022-6-53、大范围渐进稳定如果平衡状态 是渐进稳定的，且渐进稳定的最大范围是整个状态空间，则 为大范围渐进稳定的，其必要条件是整个状态空间只有一个平衡点。线性系统：渐进稳定 大范围渐进稳定
9、非线性系统： 一般较小，小范围渐进稳定。4、不稳定如果对于某个实数 和任一实数 ，不管 多么小，由 出发的状态轨线，至少有一条轨线越过 ，则称 为不稳定。eXeX( )S0eX0( )S( )S10电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论电子笔2022-6-5ex*0 x)(S)(S界面)(H1x)(S)(S)(ST1x1x2x2x),;(00txtt11电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论电子笔2022-6-5李雅普诺夫意义下的稳定于经典控制理论中稳定性的对比经典控制理论经典控制理论(线性系统线性系统)不稳定不稳定 (Re(
10、s)0)临界情况临界情况 (Re(s)=0)稳定稳定 (Re(s)0;（2） 负定，则P负定，记为P0;（4） 半负定，则P半负定，记为P0;3、希尔维斯特判据设实对称阵 为其各阶主子式,即矩阵P或V(X)定号性的充要条件是:()V X()V X111212121,nijjinnnpppppPppppi111211122122,npppPpp 24电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论电子笔2022-6-5(1)若 ，则P正定；(2)若 ，则P负定；(3)若 ，则P半正定；(4)若 ，则P半负定；0 (1,2, )iin 0 (0 (iii为偶数)为奇数)0
11、(0 (iii=1,2, ,n-1)=n)0 (0 (iiii为偶数)0为奇数)=n)25电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论电子笔2022-6-5二、几个稳定判据设系统的状态方程为 ，平衡状态为 ， 如果存在一个标量函数V（X），它满足：（1） V（X）对所有X都具有连续的一阶偏导数；（2） V（X）是正定的（3） V（X）对时间的导数 分别满足以下条件：a， 为半负定，则 是李氏意义下的稳定，此称稳定判据。b， 为负定，或者虽然 为半负定，但对任意初始状态 来说，除去 外，对 ， 不恒为零，则 为渐进稳定；若当 时，则 为大范围渐进稳定。c， 为正定，则
12、 是不稳定的，此为不稳定判据。Xf XeX0ef X()()dV XV Xdt()V X()V X()V X()V XeXeXeX0( )0X t0X 0X()V XeXX ()V X 26电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论电子笔2022-6-5说明：（1） ，则此时 ，系统轨迹将在某个曲面上，而不能收敛于原点，因此不是渐进稳定。（2） 不恒等于0，则说明轨迹在某个时刻于曲面 相交，但仍会收敛于原点，所以是渐进稳定。（3）稳定判据只是充分条件而非必要条件！()0V X ()V XC()V X()V XC0X0X27电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控
13、制理论自动控制理论自动控制理论电子笔2022-6-5【例4-3】已知非线性系统的状态方程，是用李氏第二法判断其稳定性。解：原点 是其唯一平衡点取标量函数 ，显然V（X）正定； 负定，原系统是渐进稳定的。又当 时， 所以也是大范围渐进稳定的。 22121122221212()()xxx xxxxx xx 0eX 2212()V Xxx1 122222222 2121122121212()()222 ()2()2()dV XV Xx xx xdtx xx xxxxx xxxx ()V XX ()V X 28电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论电子笔2022-6-
14、5【例4-3】已知系统的状态方程，是用李氏第二法判断其稳定性。解：线性系统，故 是其唯一平衡点。将矩阵形式的状态方程展开得到： 取标量函数故原系统不稳定。111 1XX0eX 112212xxxxxx 2212()0V Xxx1 1222211221212()()222 ()2()2()0dV XV Xx xx xdtx xxxxxxx29电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论电子笔2022-6-5三、对李氏函数的讨论（1） 是正定的标量函数；（2）并不是对所有的系统都能找到 来证明该系统稳定或者不稳定；（3） 如果存在，一般是非唯一的，但关于稳定性的结论是一
15、致的；（4） 最简单的形式是二次型 ；（5） 只是提供平衡点附近的运动情况，丝毫不能反映域外运动的任何信息；（6）构造 需要一定的技巧。()V X()V X()V X()V X()V X()V X()TV XX PX30电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论电子笔2022-6-54.4 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用一、线性定常连续系统渐进稳定性判据设线性定常系统为： ，则平衡状态 为大范围渐进稳定的充要条件是：对任意给定的正定实对称矩阵Q，必存在正定的实对称矩阵P，满足李雅普诺夫方程：且 就是李氏函数。证明：取 为李氏函数，P为正实对称矩阵，则易知V（X）
16、正定。欲使系统稳定，则 必须负定，即 且 Q正定。XAX0eX TA PPAQ ()TV XX PX()TV XX PX()()()()TTTTTTTTTV XX PXX PXAXPXX P AXX A PXX PAXXA PPA X()TV XX QX ()V X()TQA PPA 31电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论电子笔2022-6-5说明：（1）一般先取正定矩阵Q，带入李氏方程，求出P，判别P的正定性，从而判断系统的稳定性；（2）通常取QI，以方便计算。（3）判据使充分必要的 A的特征值均具有负实部；（4）若 沿任一轨线不恒等于零，那么Q可取半正
17、定，即可取 计算更简单。实际运用中，若有则可以取Q为半正定。0001Q()V X1nTTrank QA QAQn32电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论电子笔2022-6-5【例4-4】 ，分析其稳定性。解：方法一 取QI，设 代入李氏方程得：P是对称矩阵，即 ，展开后可解得 可知故P是正定的，原系统稳定。此时，0123XX11122122ppPpp1112111221222122020110132301TA PPAQpppppppp 1221pp511114P120,0 2211221()(52)4TV XX PXxx xx33电气与新能源学院首页上页下页
18、末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论电子笔2022-6-5方法二判断能否取Q为半正定，即取由于故可以取 ，代入李氏方程，得：解得：2212()()TV XX QXxx 0001Q0 0 0220 103Trank QA Qrankn 0001Q1112111221222122020100132301TA PPAQpppppppp 201016P120,0 34电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论电子笔2022-6-5所以P正定，原系统稳定。此时李氏函数为：此题也验证了4.3节中对李氏函数的讨论之（3）： 如果存在，一般是非唯一的，但关于稳定性的结论是
19、一致的。【例4-5】系统状态方程确定使系统稳定的K的取值范围。解：判别能否取Q为半正定22121()(2)6TV XX PXxx22()TV XX QXx ()V X000000001Q01002101XXk35电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论电子笔2022-6-5由故可以取Q为半正定。代入李氏方程后可解得： 所以k的取值范围是：20000000000000003001001001TTrankQA QAQkkrankkn2126016312206kkkPkkkkk21222223120061223 (12 )360(6726)0kkkkk kkkkkk
20、06k36电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论电子笔2022-6-54.5 李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用李氏第二法用于非线性系统只能说明局部稳定性，而且只是充分条件而非必要条件。一、雅可比（Jacobian）矩阵法又称克拉索夫斯基（krasovski）法设非线性系统： 假设原点 是其平衡状态，系统的雅可比矩阵()Xf X0eX 111122221212()()nnTnnnnfffxxxffffXxxxJ XXfffxxx37电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论电子笔2022-6-5则系统在原点附近稳定的充分条件是：任
21、给定正定实对称矩阵P，使下列矩阵：为正定的。并且是系统的一个李氏函数。如果当 时，有则 是大范围渐进稳定的。证明：选取二次型函数为李氏函数，因为P为正定实对称，故V（X）正定。又：()()()TQ XJX PPJ X ()()()TTV XX PXfX Pf XX ()V X 0eX ()()()TTV XX PXfX Pf X()()()()()TTV XfX Pf XfX Pf X()()()()()()Tdf Xf XdXf XJ XXJ Xf XdtXdt38电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论电子笔2022-6-5若要 负定，则Q（X）正定。若取P
22、I，则称为克拉索夫斯基表达式。此时推论：线性定常系统 若矩阵A非奇异，且矩阵 为负定，则系统在平衡状态 是大范围渐进稳定的。()()()()()()()() ()()()()()() ()() () ()()()() TTTTTTTTV XfX Pf XfX Pf XfX PJ Xf XJ Xf XPf XfXPJ XJX P f XfX Q X f XQ XPJ XJX P ()V X() ()()TQ XJ XJX ()() ()TV XfX f XXAX0eX ()TAA39电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论电子笔2022-6-5【例4-6】系统方程
23、： ，用克拉索夫斯基法分析稳定性。解：取PI112321223xxxxxxx 112311223( )xxxf XXxxxx 111222221231()()113Tffxxf XJ XxffXxx 222222() ()()313162113113226TQ XJ XJXxxx 40电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论电子笔2022-6-5所以Q（X）是正定的。原系统稳定。且李氏函数：当 时，有 ，故系统是大范围渐进稳定的。2122226260,3680226xx 12312122312223 2121223()() ()3( 3)()TxxV XfX f
24、 Xxxxxxxxxxxxxx X ()V X 41电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论电子笔2022-6-5二、变量梯度法变量梯度法又称为舒茨基布逊（Shultz-Gibson）法，由此二人在1962年提出。变量梯度法是基于以下事实：如果能够找到一个李氏函数，证明系统是渐进稳定的，那么这个李氏函数的梯度是必定存在而且是唯一的。则V（X）对时间的导数可表示为：1122( )( )( )( )( )( )nnV XxVV XVV XxV XgradV XXVV Xx42电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论电子笔2022-6-
25、5基本思路：12121212()nnTnnVVVV XxxxxxxxxVVVVXxxxx 先假定 具有某种形式（系数待定）根据 负定确定待定系数由 求 判别 的正定性V()V XV( )V X( )V X43电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论电子笔2022-6-5步骤：（1）假设 为一带待定系数的n维向量：（2）根据 负定来确定待定系数（3）由 求 ：这是一个线积分。线积分与路径无关的条件： 的旋度为0，即：11 1122121 122221 122nnnnnnnnna xa xa xa xa xa xVa xa xa xV()V XijaV( )V X0
26、()()XTV XVdXV44电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论电子笔2022-6-5若满足以上旋度为0的条件，则（4）判别 的正定性说明：即使用以上方法找不到合适的 ，也不能说系统就是不稳定的。【例4-7】用变量梯度法分析以下系统的稳定性。( ,1,2, )jijiVVi jnxx1232113112211(0)1100(,0)(,)2200()()nnnXxxxTxxx xxxx xxxxnnV XVdXVdxV dxV dx( )V X( )V X1122212xxxxx x 45电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理
27、论电子笔2022-6-5解：（1）假设（2）求欲使 负定，可选则11 1122121 12222a xa xVVa xa xV()V X1122111 112221 122222122222311 112211222221 122212()()()TxV XVXVVxxa xa xa xa xxx xa xaax xa xa x xa x x 112212211,1,0aaaa()V X221122()(1)V Xxx xx 46电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论电子笔2022-6-5 为约束条件在此条件下有：（3）求先判断积分条件：满足积分条件。1 21
28、 2101xxxx 11 11221121 122222a xa xVxVa xa xVx( )V X1221112211(0)()1122000(0)()2211221200()()()()11022XxxxxxxxxxxV XV dxV dxV dxx dxx dxxx12210,0VVxx47电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论电子笔2022-6-5（4）V（X）正定所以在 的范围内，平衡点 是渐进稳定的。在步骤（2）中，也可以选取其他的能使 负定的系数 ，渐进稳定的结论不会改变，但约束条件可能发生变化。具体见教材p165。121x x 0eX ()V Xija48电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论电子笔2022-6-5本章小结和作业4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义李氏意义下的稳定、渐进稳定、大范围渐进稳定、不稳定 4.2 李雅普诺夫第一法线性系统A的特征值非线性系统线性化4.3 李雅普诺夫第二法标量函数的符号性质、几个稳定判据、李氏第二法的应用4.4 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用李氏方程4.5 李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用雅可比法、变量梯度法作业：4-1, 4-3, 4-5, 4-9
