1、线性代数线性代数（Linear Algebra）孙孙*QQ: 790*Mobile: 1897160*Email: sunli*mail.*参考书目参考书目 大学数学大学数学线性代数及其应用，邓泽清主编，线性代数及其应用，邓泽清主编，高等教育出版社，高等教育出版社，2006年年2月第二版月第二版 Linear Algebra and Its Applications (Third Edition), David C. Lay, 电子工业出版社，电子工业出版社，2010 http:/ 平平时成绩（课堂表现、思考题、作业等）时成绩（课堂表现、思考题、作业等）30%+期末考试期末考试70% 用户名：
2、用户名：open* 密密 码：码：hua*代数是什么代数是什么代数学是从代数方程求根发展起来的代数学是从代数方程求根发展起来的.l公元前公元前19-17世纪世纪,古巴比伦解决了一元一次古巴比伦解决了一元一次,一元二次方程求根问题一元二次方程求根问题l公元前公元前4世纪世纪, 欧几里德在欧几里德在几何原本几何原本中中用几何方法求解二次方程用几何方法求解二次方程l公元公元1世纪世纪, 九章算术九章算术, 三次方程和一次三次方程和一次方程组的解法方程组的解法线性代数是什么线性代数是什么线性代数的主要研究对象：线性代数的主要研究对象：矩阵矩阵 线性代数起源于线性方程组求解线性代数起源于线性方程组求解
3、线性代数的理论提供了解决问题的方法线性代数的理论提供了解决问题的方法 线性代数的题目可上机演算（线性代数的题目可上机演算（Matlab软件）软件） 线性代数的问题衍生了新的数学分支（数值线性代数的问题衍生了新的数学分支（数值线性代数等）线性代数等）线性代数的应用范围线性代数的应用范围极值问题、控制理论、解析几何极值问题、控制理论、解析几何Google搜索引擎搜索引擎足球循环比赛的名次确定足球循环比赛的名次确定交通流量的预测交通流量的预测图象压缩等技术图象压缩等技术线性代数特点线性代数特点 概念多概念多 定理（性质、公式）多定理（性质、公式）多如何学好线性代数如何学好线性代数 共性方法共性方法不
4、缺课（内容多不缺课（内容多, 课时少课时少, 例题少例题少, 讲讲得快）得快）预习，听课，复习，作业，小结预习，听课，复习，作业，小结弄清课堂上或作业中不懂的内容弄清课堂上或作业中不懂的内容如何学好线性代数如何学好线性代数 个性方法个性方法 如何掌握和如何掌握和理解理解抽象概念抽象概念? 领会定义中的关键词语领会定义中的关键词语 如何证明定理，性质，公式如何证明定理，性质，公式?(a) 理清定理的条件和结论理清定理的条件和结论(b) 利用熟知的结论证明利用熟知的结论证明 (c) 分清楚充分条件，必要条件，充要条件区别分清楚充分条件，必要条件，充要条件区别(d) 先特殊后一般先特殊后一般 勤思考
5、勤思考做完一道题后，思考如下问题：做完一道题后，思考如下问题：用了哪些条件和哪些知识点；用了哪些条件和哪些知识点；有无其他方法；有无其他方法；结果意味着什么；结果意味着什么；条件能否减弱；条件能否减弱；能否推广到更一般情况；能否推广到更一般情况；能否更进一步推出什么？能否更进一步推出什么？一点希望一点希望要有理想要有理想 要勤奋学习要勤奋学习勤能补拙是良训，一分辛苦一份才勤能补拙是良训，一分辛苦一份才华罗庚华罗庚 网迷网迷 挂科挂科 重修重修 成绩单调递减成绩单调递减要学会学习要学会学习 及时调整学习方法，适应大学学习及时调整学习方法，适应大学学习 学会做人，做事，做学问学会做人，做事，做学问
6、 学海无涯，培养自学能力和创新精神学海无涯，培养自学能力和创新精神牢记华中农业大学校训：牢记华中农业大学校训： 勤读力耕，立己达人勤读力耕，立己达人 大学有极限，当选准青春坐标大学有极限，当选准青春坐标 社会无最值，须解好人生方程社会无最值，须解好人生方程重点重点: : 行列式的性质及计算，行列式的性质及计算，Cramer法则法则难点难点: : 高阶行列式的计算高阶行列式的计算第一章第一章 行行 列列 式式(determinant)行列式的历史行列式的历史1693年，德国数学家莱布尼茨年，德国数学家莱布尼茨(G. W.Leibniz)在在写给法国数学家洛比达写给法国数学家洛比达(G.F.L H
7、ospital) 的的一封信中首次使用了行列式一封信中首次使用了行列式.G.W.Leibniz16461716 行列式的出现源于线性方程组的求解，它最行列式的出现源于线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达式。早是一种速记的表达式。 优良的数学符号和生动的概念是数学思想产优良的数学符号和生动的概念是数学思想产生的钥匙和动力。生的钥匙和动力。是是行列式行列式 D 数：数：按如下规则确定的一个按如下规则确定的一个时，时，当当1 n时时，当当1 n;1111aaD nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 1121211111nnAaAaAa 元素元素行标行标列标列标1.1 1.1
8、行列式的定义行列式的定义111,11,11,1,11,11,11,1,11,11,11,1,1,1,jjnrrjrjrnrrjrjrnnn jn jn naaaaaaaaaaaaaaaa1,1,1,jrjr jrjn jaaaaa,1,1,1,rr jr jr naaaarjM111,11,11,1jrrjaaaa 1,11,1,11,jnrjrnaaaa 1,11,1,1,1rrjnn jaaaa 1,11,1,rjrnn jn naaaa 的的余余子子式式rjarjM(complementary minor)代代数数余余子子式式rjA(algebraic complement)的的余余子子
9、式式ija所所在在的的行行中中划划去去元元素素ijaD:ijM代代数数余余子子式式:ijA.1阶阶行行列列式式和和列列得得到到的的 n.)1(ijjiijMA 1121211111nnAaAaAaD 则则:如如 22211211aaaa .21122211aaaa 2 13 5 13)2(5 13 )1( n111213212223313233aaaaaaaaa+111121213131a Ma Ma M 112233122331133221132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a 三阶行列式三阶行列式291142121.2 计计算算例例
10、33 njnjjjjjAaAaAaD 2211. 1注注ininiiiiAaAaAaD 2211. 2注注111121211111nniiAaAaAaAa nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 按第一列展开按第一列展开按任一列展开按任一列展开按任一行展开按任一行展开求求下下列列行行列列式式的的值值例例 . 1)(000)1(22211211上上三三角角行行列列式式nnnnaaaaaaD .2211nnaaa )(000000)2(2211对对角角行行列列式式nnaaaD )(000321222111下下三三角角行行列列式式）（nnnnaaaaaaD 1.21.2 行列式的性
11、质与计算行列式的性质与计算，则则它它的的若若nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 .212221212111nnnnnnTaaaaaaaaaD 转转置置行行列列式式定定义义 性质性质1 行列式与其转置行列式的值相等行列式与其转置行列式的值相等. .TDD 即即性质性质2 nnnniniinnnnniniinaaaaaaaaakaaakakakaaaa212111211212111211 . 0 D一、行列式一、行列式(determinant)的性质的性质性质性质3若交换两行（列），则行列式反号若交换两行（列），则行列式反号. .推论推论1 若两行（列）相同，则行列式的值为零
12、若两行（列）相同，则行列式的值为零. .推论推论2 若两行（列）元素对应成比例，则行列式若两行（列）元素对应成比例，则行列式的值为零的值为零. .推论推论3 行列式的任一行（列）的所有元素与另一行列式的任一行（列）的所有元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和为零行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和为零. .)(02211jiAaAaAajninjiji 即即 jijiDAaAaAajninjiji02211注注：推论推论3 行列式的任一行（列）的所有元素与另一行列式的任一行（列）的所有元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和为零行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和为零.
13、.)( 02211jiAaAaAajninjiji 即即.224221433334142142114131211AAAAD 求求，已已知知例例0nnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaacccaaaaaabbbaaaaaacbcbcbaaa21211121121211121121221111211 性质性质4判断：判断：hfdbgecahgfedcba ？性质性质5 把行列式的第把行列式的第 j j 行行( (列列) )元素的元素的 k k 倍加到第倍加到第 i i 行行( (列列) )的对应元素上，行列式的值不变的对应元素上，行列式的值不变. . 122211211211kaakaaaa例
14、例.22211211aaaav符号规定符号规定 数数 k 乘第乘第 i 行行 记作记作 kri 交换交换 i j 两行两行, , 记作记作 rirj 第第 j 行的行的 k 倍加到第倍加到第 i 行上行上 记作记作 ri krj 0. 1 D某行某行( (列列) )为为两行两行( (列列) )相同相同两行两行( (列列) )对应成比例对应成比例 值值不不变变D. 2TDD 某行某行( (列列) )倍加到另一行（列）倍加到另一行（列）某行某行( (列列) )可写成两项之和可写成两项之和 值值改改变变D. 3交换两行交换两行( (列列) )，反号，反号乘乘以以某某行行（列列）kkD 二、行列式(d
15、eterminant)的计算3243120121420121 D解解 1 降阶法降阶法3243120121420121 D0121212 rrD003213rr 0 211143rr 021 311202300012134 rr002 2220023001120012132 rr3100002300112001213324 rr.20310321 3120112023000121 D11)1(1 312112230 23rr 220112230 12)1(2 2223 .20)46(2 降阶法降阶法选选哪哪一一行行（列列）展展开开？一一般般原原则则：所所在在的的行行（列列）、找找11最最多多的
16、的那那一一行行（列列）、找找0(02、数数字字小小3)0(1111112210 inaaaaaD计计算算例例爪型法爪型法51111411113111123 D计计算算例例)1(101 njjniiaaa74)4 , 3 , 2 , 1,(44321iaxxaaaaxaaaaxaaaaxDi计算例 4141)()11 (iiiiaxaxaxaaaaxaaaaxaaaaxD 计计算算例例5求和法求和法xaaaaxaaaaxaaaaxD 计计算算例例 53)(3(axax 1)() 1( naxanx0111101111011110)( D研研例例1) 1)(1( nn.0,10 njiDxx则则若
17、若注注：行行列列式式eVandermond113121122322213211111 nnnnnnnnxxxxxxxxxxxxD. )(1 nijjixx)()()()(212132314243440 xxxxxxxxxxxxD 113121122322213211111 nnnnnnnnxxxxxxxxxxxxD. )(1 nijjixx64164127931842111116 D求求例例16行行列列式式eVandermond1260例例7 计算计算n阶行列式阶行列式2112112112112 nD212 nnnDDD211 nnnnDDDD12312 DD递推法递推法1 nDn方方法法归归
18、纳纳降阶法降阶法爪型法爪型法求和法求和法递推法递推法个未知量的线性方程组设含有n的系数矩阵的行列式0212222111211 nnnnnnaaaaaaaaaD则方程组有唯一解，1.3 Cramer法则 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111且), 2 , 1(njDDxjj 中中替替换换是是用用常常数数列列向向量量其其中中DbbbDTnj),(21阶阶行行列列式式。列列得得到到的的的的第第nj满满足足：法法则则解解方方程程组组时时，必必须须用用Cramer相相等等；方方程程个个数数与与未未知知数数个个数数1).002 D（即即系系
19、数数行行列列式式不不等等于于解解线线性性方方程程组组例例 13210132321321321xxxxxxxxx解解132111211 D550120211 . 5 5131111021131 D10112110121312 D35132101113113 DDDx11 , 155 DDx22 , 2510 DDx33 . 7535 则仅有零解；则仅有零解；若若, 0 D., 0 则有非零解则有非零解若若 D. 0 D则则，逆否命题：若有非零解逆否命题：若有非零解 000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa nnnnnnnnnnbxaxaxa
20、bxaxaxabxaxaxa22112222212111212111oABC 应用之一应用之一 欧拉的四面体问题欧拉的四面体问题mnpqr),(111cba),(222cba),(333cba的的六六条条棱棱长长分分别别为为设设四四面面体体ABCO .,rqpnml三三点点的的坐坐标标并并设设CBA,).3 , 2 , 1)(,( icbaiii分分别别为为V面面体体的的体体积积由由立立体体几几何何知知识识知知，四四为为棱棱的的平平行行六六等等于于以以矢矢量量OCOBOA,61面面体体的的体体积积的的组组成成由由空空间间解解析析几几何何知知，当当OCOBOA,右右手手系系时时，体体的的体体积积
21、以以它它们们为为棱棱的的平平行行六六面面3332221116)(cbacbacbaOCOBOAV 236V232323323232313131323232222222212121313131212121212121cbaccbbaaccbbaaccbbaacbaccbbaaccbbaaccbbaacba ) 1 (OCOCOCOBOCOAOCOBOBOBOBOAOCOAOBOAOAOA ，有有由由矢矢量量的的数数量量积积的的定定义义22,rOCOCqOBOB 同同理理22pOAOAOA 又又由由余余弦弦定定理理可可得得2cos222nqpqpOBOA ,2222mrpOCOA 同同理理2222
22、lrqOCOB ），即即得得将将以以上上各各式式代代入入（1222222222222222222222222222236rlrqmrplrqqnqpmrpnqppV 一、一、 行列式的定义行列式的定义二、二、 行列式的性质行列式的性质三、三、 行列式的计算行列式的计算四、四、 Cramer法则法则第一章 小结是是行列式行列式 D 数数：按按如如下下规规则则确确定定的的一一个个时时，当当1 n时时，当当1 n;1111aaD 1121211111nnAaAaAaD 一一、行列式行列式 (determinant) 的概念的概念二、行列式(determinant)的性质 值值为为零零D. 1某行某行
23、( (列列) )为为两行两行( (列列) )相同相同两行两行( (列列) )对应成比例对应成比例 值值不不变变D. 2TDD 某行某行(列列)k倍加到另一行倍加到另一行(列列)某行某行(列列)可写成两项之和可写成两项之和 值值改改变变D. 3交换两行交换两行(列列)，反号反号)列列乘乘以以某某行行(kkD nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111对对于于.0DDxDjj 时时，方方程程组组有有唯唯一一解解当当四、四、Cramer法则法则降阶法降阶法爪型法爪型法求和法求和法递推法递推法三、行列式三、行列式(determinant)的计算的计算
