1、第二节利用极坐标计算二重积分利用极坐标计算二重积分 二重积分的计算法xbad 上节回顾上节回顾1求曲顶柱体体积求曲顶柱体体积设曲顶柱的底为 型bxaxyxyxD)()(),(21任取, ,0bax 平面0 xx 故曲顶柱体体积为DyxfVd),(yyxfxAxxd),()()()(000201截面积为yyxfxxd),()()(21baxxAd )(截柱体的)(2xy)(1xyzxyoab0 xDXxyokkkrrkkkkkkrrsin,cos对应有一、利用极坐标计算二重积分一、利用极坐标计算二重积分在极坐标系下, 用同心圆 r =常数则除包含边界点的小区域外,小区域的面积kkkkkkrrrr
2、)(21),2, 1(nkk在k),(kkrkkkkrrkkkr221内取点kkkrr221)(及射线 =常数, 分划区域D 为krkrkkkrkkkkkkknkrrrrf)sin,cos(lim10kknkkf),(lim10Dyxfd),(ddrr即Drrf)sin,cos(drrddrd 根据积分区域同极心得位置关系，可以分如下三种情形： 这是二重积分从直角坐标系过渡到极坐标的转换公式Do)(1r)(2r)()(21d)sin,cos(rrrrf,)()(:21rDDrrrrfdd)sin,cos(d情形1 极心在积分区域外(1)若极点在区域D之外. 为了 的确定的变化范围，过原点作两射
3、线： 使D恰好被夹在此二射线之间，那么，便知积分区域D可以记为：, 同理情形2，极心在积分区域边界上0( ):rD Drrrrfdd)sin,cos(d)(0d)sin,cos(rrrrf情形3，极心在积分区域内部Drrrrfdd)sin,cos(20d)(0d)sin,cos(rrrrf)(roD0( ):02rD 若 f 1 则可求得D 的面积Ddd)(21202例例1. 计算,dd22Dyxyxe其中.:222ayxD解解: 在极坐标系下,200:arD原式Drerard02are02212)1(2ae2xe的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角2reddrr20d由于故坐标计算.例
4、例2. 求球体22224azyx被圆柱面xayx222)0( a所截得的(含在柱面内的)立体的体积. 解解: 设由对称性可知20,cos20:arDdd4422rrraVD20d4cos2022d4arrrad)sin1 (3322033a)322(3323aoxyza2ararccoscosar oxa)0(d),(dcos022arrfIa提示提示: 积分域如图rrar0dararccosararccosId),(rf例3交换积分 将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分，需依下列步骤进行：（1）将 代入被积函数，（2）将区域D的边界曲线换为极坐标系下的表达式，确定相应的积分上下
5、限，（3）将面积元 转化为 dxdyrdrdcos ,sinx ry r例4 将 化为极坐标形式的二次积分，其中( , )d dDf x yx y2( , )11,01 .Dx yxyxx cos ,sin ,xy解：因为圆的方程为1,直线方程为1,sincos所以( , )d dDf x yx y1210sincosd(cos ,sin) d .f 1 yx122 yx1例5 求 ，其中解：一般, 若D的表达式中含有 时，可考虑用极坐标来积分。 令 则cos ,sinxryr22xy221xy221,Dxy dxdy22:1D xy的极坐标方程为1r 221Dxy dxdy10222220s
6、incos1rdrrrd102201rdrrd )(12121022rdr10232)1(32r32. 41:,dd)sin(222222 yxDyxyxyxD求求利用对称性利用对称性解：积分区域关于坐标轴对称积分区域关于坐标轴对称,被积函数关于坐标轴对称被积函数关于坐标轴对称 1dd)sin(4dd)sin(22222222DDyxyxyxyxyxyx例6 dsind42120 . 4 极坐标计算中合理利用对称性求解积分例7.4)()2()(2)()1(:,dd22222222xyyxyxyxDyxxyID 双纽线所围成双纽线所围成由下列由下列其中积分区域其中积分区域计算计算,2cos2)1(2 双纽线的极坐标方程为双纽线的极坐标方程为,是奇函数是奇函数关于关于而被积函数而被积函数轴对称轴对称关于关于由于积分区域由于积分区域yxyxD解. 0dd Dyxxy故故,2sin2)2(2 双纽线的极坐标方程为双纽线的极坐标方程为.见图见图其所围区域其所围区域 D,关于原点对称关于原点对称由于积分区域由于积分区域D满足满足而被积函数而被积函数xyyxf ),(,)()()fxyxy ),(yxfxy ,dd21 DyxxyI故故.1轴上方的部分轴上方的部分的关于的关于为为其中其中xDD
