1、3.4 3.4 控制系统的结构分解控制系统的结构分解cox 系统结构的分解也称为卡尔曼标准分解。它系统结构的分解也称为卡尔曼标准分解。它是讨论不完全能控和不完全能观的系统状态是讨论不完全能控和不完全能观的系统状态的分解。系统通过代数等价变换，可以将状的分解。系统通过代数等价变换，可以将状态变量分解成四个部分：能控能观部分态变量分解成四个部分：能控能观部分 。能控不能观部分能控不能观部分 ，不能控能观部分，不能控能观部分 和和不能控不能观部分不能控不能观部分 。这样系统可以分解为。这样系统可以分解为相应的四个子系统，称为系统的结构分解。相应的四个子系统，称为系统的结构分解。coxcoxcox 研
2、究系统的结构分解可以更深刻地了解系统的结构研究系统的结构分解可以更深刻地了解系统的结构特性，也有助于更加深入地揭示系统的状态空间描特性，也有助于更加深入地揭示系统的状态空间描述和输入输出描述之间的本质区别。述和输入输出描述之间的本质区别。( ,)A B C能控性、能观性在线性非奇异变换下的性质能控性、能观性在线性非奇异变换下的性质 对于线性定常系统对于线性定常系统 ，经过线性非奇异，经过线性非奇异变换为变换为 ，即两者之间具有如下的关系，即两者之间具有如下的关系 其中，其中，P P为非奇异矩阵，从而必有为非奇异矩阵，从而必有 ( , , )A B C11,APAPBPBCCP,ccoorank
3、QrankQrankQrankQ 表明了线性非奇异变换不改变系统的能控性表明了线性非奇异变换不改变系统的能控性和能观性。和能观性。线性定常系统能控性结构分解线性定常系统能控性结构分解xAxBuyCx考虑不完全能控线性定常系统考虑不完全能控线性定常系统 进行系统的能控性分解，首先要选取非奇异进行系统的能控性分解，首先要选取非奇异矩阵。下面给出具体的算法。矩阵。下面给出具体的算法。1ncrank QB ABABcrank Qk 算法（能控性结构分解的求取）算法（能控性结构分解的求取）1.列写系统的能控性矩阵列写系统的能控性矩阵 并求出并求出 。2. 在能控矩阵中任意取在能控矩阵中任意取k个线性无关
4、的列向量：个线性无关的列向量： ，再在，再在 中任意选取中任意选取(n-k)个列向量：个列向量： ，使得矩阵，使得矩阵 是可是可逆的。逆的。1,2,kq qqnR1,2,kknqqq11,kknqq qq3. 按下列方式组成变换矩阵，按下列方式组成变换矩阵，11,kknPqq qq4. 计算计算11,AP AP BP B CCP1xP x( ,)A B C 定理定理1：对不完全能控的系统，利用上述算法求：对不完全能控的系统，利用上述算法求取系统在线性非奇异变换取系统在线性非奇异变换 下的代数等价下的代数等价系统系统 ，具有如下的能控性分解的规范表，具有如下的能控性分解的规范表达形式，即达形式，
5、即1200cccccccccccxxAABuxxAxyCCx,()cccxkA Bxn kcc维能控状态分量，即能控；维不能控状态分量，k=rank Q式中，式中，对系统的能控性的结构分解做几点说明对系统的能控性的结构分解做几点说明（1）在系统的能控性分解中，系统被分解为完全能）在系统的能控性分解中，系统被分解为完全能控和完全不能控的两个子系统。控和完全不能控的两个子系统。（2）能控子系统的传递函数等于整个系统的传递函）能控子系统的传递函数等于整个系统的传递函数，即数，即（3）从系统能控性分解的框图中可以看出：系统的）从系统能控性分解的框图中可以看出：系统的不能控部分既不受输入不能控部分既不受
6、输入u的直接影响，也没有通过的直接影响，也没有通过能控状态而受到能控状态而受到u的间接影响。因此，系统的不能的间接影响。因此，系统的不能控部分不能由输入控部分不能由输入u和输出和输出y之间的传递关系来反映。之间的传递关系来反映。换言之，系统的传递函数（矩阵）没有完全反映系换言之，系统的传递函数（矩阵）没有完全反映系统的内部不能控状态分量的动态品质。统的内部不能控状态分量的动态品质。11()()cccCsIABC sIAB例例1 1 给定线性定常系统，进行能控性分解。给定线性定常系统，进行能控性分解。011110010101111xxucQ解：解： 在在 中取线性无关的列向量中取线性无关的列向量
7、 ，再任取再任取 ，从而构成矩阵，从而构成矩阵23crank Qrank B AB12010 ,101TTqq3100Tq 1P 通过求逆，可得矩阵通过求逆，可得矩阵P P。 于是可计算于是可计算11,APAPBPB CCP100011210100000021ccccccxxuxxxyx线性定常系统能观性结构分解线性定常系统能观性结构分解 系统按能观性的结构分解的所有结论，都对偶于系统按能观性的结构分解的所有结论，都对偶于系统按能控性的结构分解的结果。系统按能控性的结构分解的结果。 对给定不完全能观的线性定常系统对给定不完全能观的线性定常系统 按如下算法求取系统的能观性结构分解。按如下算法求取
8、系统的能观性结构分解。xAxBuyCx算法（能观性结构分解的求取）算法（能观性结构分解的求取）1.1. 列写系统的能观性判别矩阵列写系统的能观性判别矩阵 并计算并计算 。1onCCAQCAorank Ql3. 按下列方式构成非奇异变换矩阵按下列方式构成非奇异变换矩阵11,TllnFhh hh2. 在在 中任意选取中任意选取 个线性无关的行向量个线性无关的行向量 ， 再任取再任取 个行向量个行向量 ，使得，使得 线性无关。线性无关。oQl12,lhhh()n l1,lnhh11,llnhh hh4. 计算计算1,A FAF1,BFBCCF 定理定理2：对不完全能观的系统，利用上述算法求：对不完全
9、能观的系统，利用上述算法求取系统在线性非奇异变换取系统在线性非奇异变换 下的代数等价下的代数等价系统系统 ，具有如下的能观性分解的规范表，具有如下的能观性分解的规范表达形式，即达形式，即( , A,)B CxFx0oooxyCxooxxooooxBuxB 0oA21oAA对系统的能观性的结构分解做几点说明对系统的能观性的结构分解做几点说明（1 1）在系统的能观性分解中，系统被分解为完全能）在系统的能观性分解中，系统被分解为完全能观和完全不能观的两个子系统。观和完全不能观的两个子系统。（2 2）能观子系统的传递函数等于整个系统的传递函）能观子系统的传递函数等于整个系统的传递函数，即数，即（3 3
10、）从系统能观性分解的框图中可以看出：系统的）从系统能观性分解的框图中可以看出：系统的输出只与能观子系统的状态有关，而不能观子系输出只与能观子系统的状态有关，而不能观子系统的状态无法影响能观子系统的状态，因此，输统的状态无法影响能观子系统的状态，因此，输出信号不能反映不能观子系统的状态信息。出信号不能反映不能观子系统的状态信息。oC11()()oosIABC sIAB 按能控性和能观性分解按能控性和能观性分解 对对n n维线性定常系统维线性定常系统 一般情况下，系统可能既不完全能控，也不完全能观。设一般情况下，系统可能既不完全能控，也不完全能观。设系统能控性判别矩阵的秩和能观判别矩阵的秩分别为系
11、统能控性判别矩阵的秩和能观判别矩阵的秩分别为xAxBuyCx12corank Qnnrank Qnn 通过线性非奇异变换可实现系统结构的规范分解，其规范通过线性非奇异变换可实现系统结构的规范分解，其规范分解的表达式为分解的表达式为132123244300000000000cocococococococococococococococococococoxxAABxxAAAABuxxAxxAAxxyCCxx 对系统的能控和能观性结构分解做几点说明对系统的能控和能观性结构分解做几点说明（1 1）在系统的规范型分解中，系统被分解为完全能控能观、）在系统的规范型分解中，系统被分解为完全能控能观、能控但不
12、能观、不能控但能观和不能控不能观四个子系统。能控但不能观、不能控但能观和不能控不能观四个子系统。（2 2）反映系统输入输出特性的传递函数矩阵只能反映系统中）反映系统输入输出特性的传递函数矩阵只能反映系统中能控且能观的那个子系统的动态特性，即能控且能观的那个子系统的动态特性，即（3 3）从系统能观性分解的框图中可以看出：对上述不完全能）从系统能观性分解的框图中可以看出：对上述不完全能控、不完全能观系统，其传递函数矩阵的描述只是对系统控、不完全能观系统，其传递函数矩阵的描述只是对系统结构的不完全描述。若在系统中添加或删除不能控或不能结构的不完全描述。若在系统中添加或删除不能控或不能观子系统，并不影
13、响系统的传递函数矩阵。所以说系统的观子系统，并不影响系统的传递函数矩阵。所以说系统的输入输出描述，只有对完全能控且完全能观的系统，才是输入输出描述，只有对完全能控且完全能观的系统，才是完全的描述。完全的描述。11( )()()cococoG sC sIABCsIAB 线性定常系统由线性定常系统由JordanJordan标准型的结构分解标准型的结构分解 若已将系统化为若已将系统化为JordanJordan标准型，然后按能控判别标准型，然后按能控判别法和能观判别法各状态变量的能控性和能观性，法和能观判别法各状态变量的能控性和能观性，最后按能控能观、能控不能观、不能控能观和不最后按能控能观、能控不能
14、观、不能控能观和不能控不能观四种类型分别排列，也可进行系统的能控不能观四种类型分别排列，也可进行系统的规范分解。规范分解。例：给定系统的例：给定系统的Jordan标准型为标准型为11223344556677881233110357341400046111000159120500 xxxxxxxxuxxxxxxxxyy3050036100071421x根据根据Jordan标准型的能控能观性的判别准则，可标准型的能控能观性的判别准则，可以判定：以判定：1.1. 能控状态变量为：能控状态变量为：2.2. 不能控状态变量为：不能控状态变量为：3.3. 能观测状态变量为：能观测状态变量为：4.4. 不能
15、观状态变量为：不能观状态变量为：12357,x x x x x468,x x x12478,x x x x x356,x x x写成分状态的形式为写成分状态的形式为13426587,cocococoxxxxxxxxxxxx 按此顺序重新排列系数矩阵按此顺序重新排列系数矩阵A A，B B，C C的行和列，有的行和列，有1230003110300057005091200034140006111000405000013300560170001421cocococococococoxxxxuxxxxyycocococoxxxx 相当于对原系统矩阵进行行操作、列操作，相当于对原系统矩阵进行行操作、列操作，即进行代数等价变换。上述分解仅仅适用即进行代数等价变换。上述分解仅仅适用于特征值几何重数都为于特征值几何重数都为1 1的情形。的情形。
