1、歐亞書局6.4 面積與微積分基本定理面積與微積分基本定理歐亞書局6.4 面積與微積分基本定理面積與微積分基本定理學習目標 求定積分值。 利用微積分基本定理求定積分值。 利用定積分求解邊際分析的問題。 求函數在閉區間的平均值。 利用偶函數與奇函數的性質求定積分。 求年金。P.6-26第六章積分與其應用第六章積分與其應用歐亞書局面積與定積分面積與定積分 在幾何學中，面積為定義某個閉區間尺寸的數字，簡單的形狀，像是矩形、三角形和圓形，都有面積公式。P.6-26第六章積分與其應用第六章積分與其應用歐亞書局面積與定積分面積與定積分P.6-26第六章積分與其應用第六章積分與其應用 本節將學習以微積分來計算
2、不規則形狀的面積，如圖 6.5 中區域R 的面積歐亞書局面積與定積分面積與定積分P.6-26 圖圖6.5第六章積分與其應用第六章積分與其應用歐亞書局範例 1求定積分值 求定積分 。P.6-26第六章積分與其應用第六章積分與其應用202xdx歐亞書局範例 1求定積分值 （解） 此定積分代表圖形 f(x) 2x、x 軸與直線 x 2 所圍成區域的面積，如圖 6.6 所示。這區域的形狀為三角形，高為 4 且底為 2。P.6-26第六章積分與其應用第六章積分與其應用20 12()() 21 ( )( )4 224xdx 三角形的面積公式底 高化簡歐亞書局範例 1求定積分值 （解）P.6-26 圖圖6.
3、6第六章積分與其應用第六章積分與其應用歐亞書局檢查站檢查站 1 1 以幾何的面積公式來求定積分 ，並以簡圖來驗證答案。P.6-26第六章積分與其應用第六章積分與其應用304xdx歐亞書局微積分基本定理微積分基本定理 函數 A(x) 為圖 6.7 中陰影區域的面積。欲知 A 和 f 的關係，可令 x 的增加量為 x，則面積的增加量為 A，再令 f(m) 和 f(M) 分別代表 f 在閉區間 x, x x 的極小值與極大值。P.6-27第六章積分與其應用第六章積分與其應用歐亞書局微積分基本定理微積分基本定理 依圖 6.8，可建立下列的不等式。P.6-27第六章積分與其應用第六章積分與其應用 000
4、 ( )() ( )() lim( )limlim() ( )( )( ) 6.8 ( )xxxf mxAf MxAf mxf MxxAf mf Mxf xA xfxA xx 參見圖每項除以每項取極限導數的定義歐亞書局微積分基本定理微積分基本定理P.6-27 圖圖6.8第六章積分與其應用第六章積分與其應用歐亞書局微積分基本定理微積分基本定理 故 f (x) = A (x) 和 A(x) = F (x) + C，其中 F (x) = f (x) 。因為 A (a) = 0，可得 C = F (a)，所以 A (x) = F (x)F (a)，即由上面的方程式可知，若能找到 f 的反導數，即可利用
5、該反導數來計算定積分 ，此結果稱為微積分基本定理微積分基本定理 (Fundamental Theorem of Calculus)。P.6-27第六章積分與其應用第六章積分與其應用( )( )( )( )baA bf x dxf bF a( )baf x dx歐亞書局微積分基本定理微積分基本定理P.6-27第六章積分與其應用第六章積分與其應用歐亞書局學習提示學習提示 微積分基本定理的介紹有兩種方式：一種以面積函數，如上所示； 另一種則利用加總的程序，參見附錄。P.6-27第六章積分與其應用第六章積分與其應用歐亞書局微積分基本定理微積分基本定理P.6-28第六章積分與其應用第六章積分與其應用歐亞
6、書局微積分基本定理微積分基本定理 在微積分基本定理的推導過程中，假設 f 在閉區間 a, b 為非負值，則定積分就是面積。如今，這個定理可放寬定義，使得函數f 在閉區間 a, b 可部分或全部為負值。更具體的說，若 f 為在閉區間 a, b 的任一連續函數，則從 a 到 b 的定積分定積分可記為其中 F 為 f 的反導數。請注意，定積分不一定代表面積，它可以是負數、零或正數。P.6-28第六章積分與其應用第六章積分與其應用( )( )( )baf x dxF bF a歐亞書局微積分基本定理微積分基本定理P.6-28第六章積分與其應用第六章積分與其應用歐亞書局學習提示學習提示 請確實了解不定積分
7、與定積分的差異。不定積分表示一個函數族，每個成員都是 f 的反導數，然而定積分則是一個數。( )f x dxP.6-28第六章積分與其應用第六章積分與其應用( )baf x dx歐亞書局範例 2以微積分基本定理求面積 求 x 軸與函數圖形 f(x) x2 1，1 x 2 所圍成區域的面積。P.6-29第六章積分與其應用第六章積分與其應用歐亞書局範例 2以微積分基本定理求面積（解） 如圖 6.9 所示，在區間 1 x 2，f(x) 0。故可用定積分來表示該區域的面積，再用微積分基本定理即可求得此面積。P.6-29第六章積分與其應用第六章積分與其應用21233321(1) 3 2121 334 3
8、xdxxx定積分的定義 求反導數應面積 用微積分基 本定理 化簡 所以，該區域的面積為 平方單位。43歐亞書局範例 2以微積分基本定理求面積（解）P.6-29 圖圖6.9第六章積分與其應用第六章積分與其應用歐亞書局檢查站檢查站 2 2 求 x 軸與函數圖形f(x) x2 1，2 x 3所圍成區域的面積。P.6-29第六章積分與其應用第六章積分與其應用歐亞書局學習提示學習提示 在求定積分時，很容易就將正負號弄錯，建議將反導數的積分上下限標示在不同的括號中，如上例所示。P.6-29第六章積分與其應用第六章積分與其應用歐亞書局範例 3求定積分 求定積分 ，並畫出此積分所代表面積的區域。P.6-29第
9、六章積分與其應用第六章積分與其應用120(41)tdt歐亞書局範例 3求定積分 （解） 此區域的圖形如圖 6.10 所示。P.6-29第六章積分與其應用第六章積分與其應用11220013 03 1(41)(41)41 (41) 43151 43331 4 3tdttdtt 同時乘除以求反導數應用微積分 基本定理 化簡歐亞書局範例 3求定積分 （解）P.6-29 圖圖6.10第六章積分與其應用第六章積分與其應用歐亞書局檢查站檢查站 3 3 求 。P.6-29第六章積分與其應用第六章積分與其應用130(23)tdt歐亞書局範例 4求定積分 求下列定積分。P.6-29第六章積分與其應用第六章積分與其
10、應用320214113xe dtdxxxdxa. b. c. 歐亞書局範例 4求定積分 （解）P.6-30第六章積分與其應用第六章積分與其應用33226000221111()201.21221lnln2ln1ln20.69xxe dteeedxxxa. =b. 歐亞書局範例 4求定積分 （解）P.6-30第六章積分與其應用第六章積分與其應用441/21143/2143/213/23/233 3 3/ 2 2 2(41) 2(8 1)xdxxdxxx c. 改寫成有理數求反導數應用微積分基本定理 14 化簡歐亞書局學習提示學習提示 請注意，範例 4(c) 的定積分之值為負數。P.6-30第六章積
11、分與其應用第六章積分與其應用歐亞書局檢查站檢查站 4 4 求下列定積分。P.6-30第六章積分與其應用第六章積分與其應用140521xe dxdxxa. b. 歐亞書局範例 5絕對值的解釋 求 。P.6-30第六章積分與其應用第六章積分與其應用2021xdx歐亞書局範例 5絕對值的解釋 （解） 該定積分代表的區域畫在圖 6.11，由於絕對值的意義為P.6-30第六章積分與其應用第六章積分與其應用1212(21), 2121, xxxxx歐亞書局範例 5絕對值的解釋 （解）P.6-30 圖圖6.11第六章積分與其應用第六章積分與其應用歐亞書局範例 5絕對值的解釋 （解） 再利用定積分的性質 3，
12、將積分改寫成兩個定積分的和。P.6-30第六章積分與其應用第六章積分與其應用21/22001/21/2222 01/2 21(21)(21) 11115 (00)(42)42422xdxxdxxdxxxxx 歐亞書局檢查站檢查站 5 5 求 。P.6-30第六章積分與其應用第六章積分與其應用502xdx歐亞書局邊際分析邊際分析 在介紹導數與微分量時 (3.3 與 4.8 節)，我們討論過邊際分析。在給定成本、收入或利潤函數時，導數可用來估算多生產或銷售一單位產品時的額外成本、收入或利潤。本節則採反向推算；即給定邊際成本、邊際收入或邊際利潤，在多銷售一單位或幾個單位時，以定積分來計算成本、收入或
13、利潤的實際增加量或減少量。P.6-306-31第六章積分與其應用第六章積分與其應用歐亞書局邊際分析邊際分析 譬如，我們想求得銷售量從 x1 增加到 x2 時的額外收入，若已知收入函數 R，只要將 R(x2) 減去 R(x1)；若不知收入函數，但是邊際收入函數為已知時，仍然可用定積分來求得額外的收入，如下所示：P.6-31第六章積分與其應用第六章積分與其應用1121()()xxdRdxR xR xdx歐亞書局範例 6分析利潤函數 某產品的邊際利潤函數可表示為 。a. 求銷售量從 100 增加到 101 時的額外利潤。b. 求銷售量從 100 增加到 110 時的額外利潤。P.6-31第六章積分與
14、其應用第六章積分與其應用0.000512.2dPxdx 歐亞書局範例 6分析利潤函數 （解）a. 當銷售量從 100 增加到 101 時的額外利潤為P.6-31第六章積分與其應用第六章積分與其應用1011011001001012100( 0.000512.2) 0.0002512.2 $12.15dPdxxdxdxxx 歐亞書局範例 6分析利潤函數 （解）b. 當銷售量從 100 增加到 110 時的額外利潤為P.6-31第六章積分與其應用第六章積分與其應用111101001001102100( 0.000512.2) 0.0002512.2 $121.48dPdxxdxdxxx 歐亞書局檢查
15、站檢查站 6 6 某產品的邊際利潤函數可表示為a. 求銷售量從 100 增加到 101時的額外利潤。b. 求銷售量從 100 增加到 110時的額外利潤。P.6-31第六章積分與其應用第六章積分與其應用0.000214.2dPxdx 歐亞書局平均值平均值 函數在某閉區間的平均值的定義如下：在 4.5 節提到以平均成本函數來計算生產量對成本的影響，下個例子將以積分來求得平均成本，來計算時間對成本的影響。P.6-316-32第六章積分與其應用第六章積分與其應用歐亞書局範例 7：決策求平均成本P.6-32第六章積分與其應用第六章積分與其應用 在兩年期間內，生產 CD 播放機的單位成本 c 可表示為c
16、 = 0.005t2 + 0.01t + 13.15, 0 t 24其中 t 是時間 (月)。試估算這兩年內的單位平均成本，是否小於$15？歐亞書局範例 7：決策求平均成本（解） 單位平均成本可由對 c 在 0, 24 積分來算出，所以，單位平均成本小於 $15。P.6-32第六章積分與其應用第六章積分與其應用2420243201(0.0050.0113.15)2410.0050.01 13.1524321 (341.52)24 $14.23 (6 .12)ttdtttt單位平均成本參見圖歐亞書局範例 7：決策求平均成本（解）P.6-32 圖圖6.12第六章積分與其應用第六章積分與其應用歐亞書
17、局檢查站檢查站 7 7 生產直排輪的單位成本 c 可表示為c 0.005t2 0.02t 12.5，0 t 24，其中 t 時間 (月)，試估算兩年內的單位平均成本。P.6-32第六章積分與其應用第六章積分與其應用歐亞書局平均值平均值 若要確認範例 7 所算出的平均值是否合理，可假設從剛開始t 0 到結束 t 24，每個月只生產一單位的產品，當 t 0 時，成本為c = 0.005(0)2 + 0.01(0) + 13.15 = $13.15同理，當 t 1 時，成本為c = 0.005(1)2 + 0.01(1) + 13.15 $13.17P.6-32第六章積分與其應用第六章積分與其應用歐
18、亞書局平均值平均值 每個月的成本是遞增的，其 25 個月的平均值為P.6-32第六章積分與其應用第六章積分與其應用13.15 13.17 13.19 13.23 . 16.17$14.2525歐亞書局偶函數與奇函數偶函數與奇函數 幾個常見的函數圖形往往對稱於 y 軸或原點，參見圖 6.13；若f 的圖形對稱於 y 軸，如圖 6.13(a) 所示，則f(x) f(x) 偶函數且 f 稱為偶函數 (even function)； 若 f 的圖形對稱於原點，如圖 6.13(b)所示，則f(x) f(x) 奇函數且 f 稱為奇函數 (odd function)。P.6-326-33第六章積分與其應用第
19、六章積分與其應用歐亞書局偶函數與奇函數偶函數與奇函數P.6-33 圖圖6.33第六章積分與其應用第六章積分與其應用歐亞書局偶函數與奇函數偶函數與奇函數P.6-33第六章積分與其應用第六章積分與其應用歐亞書局範例 8偶函數與奇函數的積分 求下列定積分。P.6-33第六章積分與其應用第六章積分與其應用222232x dxx dxa. b. 歐亞書局範例 8偶函數與奇函數的積分（解）a. 因為 f(x) x2 為偶函數，故b. 因為 f(x) x3 為奇函數，故P.6-33第六章積分與其應用第六章積分與其應用23222222023281622203330 xx dxx dxx dx歐亞書局檢查站檢查
20、站 8 8 求下列定積分。P.6-33第六章積分與其應用第六章積分與其應用141151x dxx dxa. b. 歐亞書局年金年金 在一時段內，定時地以相同金額付款，稱為年年金金 (annuity)。年金的例子可為薪資儲蓄規劃、房屋貸款月付額，及個人退休帳戶等。年金終年金終值值 (amount of annuity) 為全部支付額再加上利息所得，可由下列的方法算出。P.6-33第六章積分與其應用第六章積分與其應用歐亞書局年金年金P.6-34第六章積分與其應用第六章積分與其應用歐亞書局範例 9求年金終值 若每年以 $2,000 存入 15 年期，年利率為 5% 且連續複利的個人退休帳戶 (IRA)，則 15 年後的 IRA 帳戶餘額為何？P.6-34第六章積分與其應用第六章積分與其應用歐亞書局範例 9求年金終值 （解） 每年存入的所得函數為 c(t) 2000，則 15 年後的年金終值為P.6-34第六章積分與其應用第六章積分與其應用015(0.05)(15)0.050150.050.750( ) 2000 20000.05 $44,680.00TrTrtttec t edteedtee年金終值歐亞書局檢查站檢查站 9 9 若每年以 $1000 存入 10 年期，年利率為 4% 且連續複利的儲蓄帳戶，則 10 年後帳戶有多少錢？P.6-34第六章積分與其應用第六章積分與其應用
