1、6.5 函数的极值与最大函数的极值与最大(小小)值值 由单调性的判定法则，结合函数的图形可知，由单调性的判定法则，结合函数的图形可知，曲线在升、降转折点处形成曲线在升、降转折点处形成“峰峰”、“谷谷”，函，函数在这些点处的函数值大于或小于两侧附近各点数在这些点处的函数值大于或小于两侧附近各点处的函数值。函数的这种性态以及这种点，无论处的函数值。函数的这种性态以及这种点，无论在理论上还是在实际应用上都具有重要的意义，在理论上还是在实际应用上都具有重要的意义，值得我们作一般性的讨论值得我们作一般性的讨论.一、函数极值的定义一、函数极值的定义oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6xoxyoxy
2、0 x0 x.)()(,)()(,;)()(,)()(,),(,),()(000000000的一个极小值的一个极小值是函数是函数就称就称均成立均成立外外除了点除了点任何点任何点对于这邻域内的对于这邻域内的的一个邻域的一个邻域如果存在着点如果存在着点的一个极大值的一个极大值是函数是函数就称就称均成立均成立外外除了点除了点任何点任何点对于这邻域内的对于这邻域内的的一个邻域的一个邻域如果存在着点如果存在着点内的一个点内的一个点是是内有定义内有定义在区间在区间设函数设函数xfxfxfxfxxxxfxfxfxfxxxbaxbaxf 定义定义函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使
3、函数取得使函数取得极值的点称为极值的点称为极值点极值点.二、函数极值的求法二、函数极值的求法 设设)(xf在在点点0 x处处具具有有导导数数, ,且且在在0 x处处取取得得极极值值, ,那那末末必必定定0)(0 xf. .定理定理1 1( (必要条件必要条件) )定义定义.)()0)(的驻点的驻点做函数做函数叫叫的实根的实根即方程即方程使导数为零的点使导数为零的点xfxf 注意注意:.,)(是极值点是极值点但函数的驻点却不一定但函数的驻点却不一定点点的极值点必定是它的驻的极值点必定是它的驻可导函数可导函数xf例如例如,3xy , 00 xy.0不不是是极极值值点点但但 x注注这个结论又称为这个
4、结论又称为Fermat定理定理如果一个可导函数在所论区间上没有驻点如果一个可导函数在所论区间上没有驻点 则此函数没有极值，此时导数不改变符号则此函数没有极值，此时导数不改变符号不可导点也可能是极值点不可导点也可能是极值点可疑极值点：可疑极值点：驻点、不可导点驻点、不可导点 可疑极值点是否是真正的极值点，还须进一步可疑极值点是否是真正的极值点，还须进一步判明。由单调性判定法则知，若可疑极值点的左、判明。由单调性判定法则知，若可疑极值点的左、右两侧邻近，导数分别保持一定的符号，则问题右两侧邻近，导数分别保持一定的符号，则问题即可得到解决。即可得到解决。(1)(1)如果如果),(00 xxx 有有;
5、 0)( xf而而),(00 xxx, , 有有0)( xf，则，则)(xf在在0 x处取得极大值处取得极大值. .(2)(2)如果如果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx 有有0)( xf，则，则)(xf在在0 x处取得极小值处取得极小值. .(3)(3)如果当如果当),(00 xxx 及及),(00 xxx时时, , )(xf符号相同符号相同, ,则则)(xf在在0 x处无极值处无极值. .定理定理2(2(第一充分条件第一充分条件) )xyoxyo0 x0 x (是极值点情形是极值点情形);,( )(,)(, ) 3 () 2(),1 (0000000 xxx)f
6、(xf(x)xfxx0 xfxx单调增上在区间，所以上因为在区间类似证明。与只证证为极大值。故）。单调减，所以时，当 ) ( ,( ) ()()(0)(,000000 xfxxxxfxfxfxfxxxxyoxyo0 x0 x 求极值的步骤求极值的步骤: :);()1(xf 求导数求导数;0)()2(的根的根求驻点，即方程求驻点，即方程 xf;,)()3(判断极值点判断极值点在驻点左右的正负号在驻点左右的正负号检查检查xf .)4(求极值求极值(不是极值点情形不是极值点情形)例例1 1解解.593)(23的极值的极值求出函数求出函数 xxxxf963)(2 xxxf，令令0)( xf. 3, 1
7、21 xx得驻点得驻点列表讨论列表讨论x)1,( ), 3( )3 , 1( 1 3)(xf )(xf 00 极大值极大值极小值极小值)3(f极小值极小值.22 )1( f极大值极大值,10 )3)(1(3 xx593)(23 xxxxfMm图形如下图形如下.) 1()(32的极值求函数xxxf3323253)1(2)(xxxxxxf3解不存在。时，；当得驻点令)(00)(xfx52xxf列表讨论如下： 20253 0( 0 ),52( 52 )52(0, 0 )0,( 3（极小）极大）不存在 f(x) (x)fx2例320)(0)0(520 25352ffxx，极小值为极小点。极大值为极大点
8、， 设设)(xf在在0 x处具有二阶导数处具有二阶导数, ,且且0)(0 xf, , 0)(0 xf, , 那末那末(1)(1)当当0)(0 xf时时, , 函数函数)(xf在在0 x处取得极大值处取得极大值; ;(2)(2)当当0)(0 xf时时, , 函数函数)(xf在在0 x处取得极小值处取得极小值. .定理定理3(3(第二充分条件第二充分条件) )证证)1(xxfxxfxfx )()(lim)(0000, 0 异号，异号，与与故故xxfxxf )()(00时，时，当当0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 时，时，当当0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 所以所以,函数函数)
9、(xf在在0 x处取得极大值处取得极大值例例2 2解解.20243)(23的极值的极值求出函数求出函数 xxxxf2463)(2 xxxf，令令0)( xf. 2, 421 xx得驻点得驻点)2)(4(3 xx, 66)( xxf )4(f, 018 )4( f故极大值故极大值,60 )2(f, 018 )2(f故极小值故极小值.48 20243)(23 xxxxf图形如下图形如下Mm注意注意: :. 2,)(,0)(00仍用定理仍用定理处不一定取极值处不一定取极值在点在点时时xxfxf 例例3 3解解.)2(1)(32的极值的极值求出函数求出函数 xxf)2()2(32)(31 xxxf.)
10、(,2不存在不存在时时当当xfx 时，时，当当2 x; 0)( xf时，时，当当2 x. 0)( xf.)(1)2(的极大值的极大值为为xff .)(在该点连续在该点连续但函数但函数xf注意注意: :函数的不可导点函数的不可导点,也可能是函数的极值点也可能是函数的极值点.M例例4)0(12,02 aeaxxxx时时证明证明证证xeaxxxf 12)(2记记xeaxxf 22)(则则（不易判明符号）（不易判明符号）xexf 2)(2ln0)( xxf得得令令0)(,2ln xfx时时当当0)(,2ln xfx时时当当的的一一个个极极大大值值点点是是)(2lnxfx 而且是一个最大值点，而且是一个
11、最大值点， )2(ln)(fxf 222ln2 a0 )(,0 xfx时时0)0()( fxfxeaxx 122即即例例5 设设f ( x )连续，且连续，且f ( a )是是f ( x )的极值，问的极值，问f 2( a )是否是是否是 f 2( x )的极值的极值证证分两种情况讨论分两种情况讨论0)(),()( afafxf且且设设时，有时，有使当使当),(, 0 aax)()(22afxf 所以所以 f 2( a ) 是是 f 2( x ) 的极小值的极小值设设f ( a ) 是是f ( x )的极小值，且的极小值，且0)( af时，有时，有使当使当),(, 0111 aax)()(af
12、xf 又又f ( x )在在 x = a 处连续，且处连续，且0)( af时，有时，有使当使当),(, 0222 aax0)( xf,min21 令令时，有时，有则当则当),( aax0)()( xfaf)()(22afxf f 2( a )是是 f 2( x )的极大值的极大值同理可讨论同理可讨论f ( a ) 是是f ( x )的极大值的情况的极大值的情况例例6 假定假定f(x)在在x=x0处具有直到处具有直到n阶的连续导数，且阶的连续导数，且0)(, 0)()()(0)(0)1(00 xfxfxfxfnn但但证明当证明当n为偶数时，为偶数时， f(x0)是是f(x)的极值的极值当当n为奇
13、数时，为奇数时， f(x0)不是不是f(x)的极值的极值证证由由Taylor公式，得公式，得nnxxnfxfxf)(!)()()(0)(0 )(0之间之间与与在在xx 处连续处连续在在又又0)()(xxfn0)()(lim0)()(0 xfxfnnxx因此存在因此存在x0的一个小邻域，使在该邻域内的一个小邻域，使在该邻域内同号同号与与)()(0)()(xfxfnn同号同号与与)()(0)()(xffnn 下面来考察两种情形下面来考察两种情形n为奇数，当为奇数，当x 渐增地经过渐增地经过x0时时nxx)(0 变号变号!)()(nfn 不变号不变号)()(0 xfxf 变号变号)(0 xf不是极值
14、不是极值n为偶数，当为偶数，当x 渐增地经过渐增地经过x0时时nxx)(0 不变号不变号!)()(nfn 不变号不变号)()(0 xfxf 不变号不变号)(0 xf是极值是极值且当且当0)(0)( xfn时时)(0 xf是极小值是极小值0)(0)( xfn当当时时)(0 xf是极大值是极大值例例4 4 .010)(2的极值的极值求出函数求出函数 xxxxxfx)ln1(2)(02xxxfxx 时，时，.)(,0可可能能不不存存在在时时当当xfx ,1 ex得驻点得驻点无驻点，无驻点，时，时，, 1)(0 xfx, 01 exx有两个可疑点：有两个可疑点：是是极极小小值值的的极极大大值值，为为经
15、经判判断断知知，)()(1)0(1 efxff.)(在该点连续在该点连续但函数但函数xf解解例例5 5 解解呢？呢？若若的极值点的极值点是不是是不是问问有有设设0)(, 0)()()(?)(, 0)(, 0)()()(0)4(0000000 axfxfxfxfxfxaxfxfxfxf)()(! 3)()()(303000 xxoxxxfxfxf 的极值点。的极值点。不是不是)(0 xfx)()(! 4)()()(40400)4(0 xxoxxxfxfxf 的极值点。的极值点。是是)(0 xfx函数最大值和最小值的一般求法：(一) y=f(x) xa,b (1)求出f(x)的导数f(x)；令f(
16、x)=0，求出驻点；(2)求出驻点处的函数值以及端点处的函数值；(3)比较这些值的大小，其中最大的就是函数的 最大值，最小的就是最小值.三.函数的最值6.( )1 81.f xxx例求函数在闭区间，上的最大值和最小值解：(1).f(x)的定义域为(-，1 ，-8，1 (-，+1 (2).x1211)x( f(3).令f(x)=0，解之得驻点为 43x (5).比较大小得，在-8，1上的最大值为 ，最小值为-5.45(4).1) 1 (f , 5)8(f ,45)43(f2, 252)() 1 (24xxxxf求最大值，最小值：无不可导点。驻点为解：, 1, 00) 1(444)(23xxxxx
17、xf13)2(,13)2(,4)1(,5)0(ffff。，最小值为最大值为4137例，0)()2(22xexxfx是最小值，所以解：显然0)0(0ff10)1(2)22()(223xxexxexxxfxx，驻点为，efexexxfefxxxxx1) 1 ( , 0limlim)(lim ) 1 ( 22221所以最大值为，因为 例8.求函数f(x)=x2-2x+6的最值.(1).f(x)的定义域为(-，+). 解：(2).f(x)=2x-2=2(x-1) (3).令f(x)=0，解之得驻点为x=1. 当x(-，1)时，f(x)0,单调递增. . 5) 1 (f1x小值为是函数的最小值点，最(二
18、)若函数在一个开区间或无穷区间 (-，+)内可导， 且有唯一的极值点 .0 x.)x(f)x(f00就是该区间上的最大值是极大值时，那么当.)x(f)x(f00就是该区间上的最小值是极小值时，那么当 例9.在半径为R的半圆内作内接梯形，使其底为直径其他三边 为圆的弦，问应怎样设计，才能使梯形的面积最大？解：22xRhx2，则高设梯形的上底为)Rx0(xR)Rx(2222222222xRx2RxRxR)xR(xxR S2Rx0 S ，得令.2Rx大值存在是唯一驻点，又面积最.2Rx就是最大值点.SR梯形最大时，即当上底长为(三)：解决实际问题中的最大值问题的步骤：(1).根据题意建立函数关系式.
19、(2).确定函数的定义域.(3).求函数f(x)在给定区域上的最大值或最小值.22xR)R2x2(21S于是梯形面积积最小。所用材料最省是指表面解24 ddhSShd，则有：，表面积为，高为设圆柱体的底面直径为0 44 4 22dddVShdV，所以，又。，解得唯一驻点令 2 03VdS10例所用的材料最省？与高，使得样选择它的直径的圆柱形煤气柜，问怎建造一个具有已知容积 V就是最小点，此时所以唯一驻点32 Vd 4 32VdVh时所用材料最省。，高因此，当直径332VhVd一定存在，知最小表面积又由问题的实际意义可S 。，求得唯一驻点令10)(,)1 ()( xxfexxfxkefxfxfx
20、fxfxfx1) 1 ( , )(10)(10)(1最大值的最大值点是故单调减少，时，单调增加；当，时，当0 )( 0 )( , 000)(lim)(lim2121xfxfxxkxfxfxx，使，所以存在，又，令解,)(xkxexfx11例.)0( 实根的个数讨论方程kkxex实根；没有零点，原方程没有时，函数，即若fekkef101) 1 ( ；有唯一实根，原方程有唯一零点时，函数，即若11101) 1 ( xxfekkef内有唯一零点。在，所以内单调增加且在时，函数，即当1,0) 1 ()(1,101) 1 ( 1ffxffekkef程有两个实根。有唯一零点，从而原方内在同理, 1, f1
21、）求出函数的定义域；2）求出函数f(x)的导数f(x)；3）令f(x)=0,解出方程f(x)=0的全部解，得到f(x)的 全部驻点。4）列表考察f(x)的符号，以确定该驻点是否为极值点， 并由极值点求出函数的极值。求函数极值的步骤：极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念: :极大值可能小于极小极大值可能小于极小值值,极小值可能大于极大值极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为驻点和不可导点统称为临界点临界点. .函数的极值必在函数的极值必在临界点临界点取得取得.判别法判别法第一充分条件第一充分条件;第二充分条件第二充分条件;(注意使用条件注意使用条件)小结小结最值问题的两种类型：(1)
22、求出给定解析式的导数f(x)；令f(x)=0，求出驻点；(2)求出驻点处的函数值以及端点处的函数值；(3)比较这些值的大小，其中最大的就是函数的 最大值，最小的就是最大值.1.已知函数解析式及闭区间求最值.2.实际问题求最值.(1)根据题意建立函数关系式y=f(x)；(2)根据实际问题确定函数的定义域； (3)求出函数y=f(x)的导数，令f(x)=0，求出驻点； 若定义域为开区间且驻点只存一个，则由题意判定函数 存在最大或最小值，则该驻点所对应函数值就是所求.思考题思考题下命题正确吗？下命题正确吗？ 如如果果0 x为为)(xf的的极极小小值值点点，那那么么必必存存在在0 x的的某某邻邻域域，在在此此邻邻域域内内，)(xf在在0 x的的左左侧侧下下降降，而而在在0 x的的右右侧侧上上升升.思考题解答思考题解答不正确不正确例例 0, 20),1sin2(2)(2xxxxxf当当0 x时，时， )0()(fxf)1sin2(2xx 0 于是于是0 x为为)(xf的极小值点的极小值点当当0 x时，时，当当0 x时时，, 0)1sin2(2 xxx1cos在在1和和1之间振荡之间振荡因因而而)(xf在在0 x的的两两侧侧都都不不单单调调.故命题不成立故命题不成立xxxxf1cos)1sin2(2)(
